Appunti Matematica finanziaria

Appunti di matematica finanziaria 1

Legenda & indice

1. Funzioni elementari……………………………………………………………………………4

1.1 Funzione valore……………………………………………………...…………………5

1.2 Funzione montante………………………………………………………..………………6

2. Attualizzazione e capitalizzazione…………………………………………….……………….7

Capitalizzazione…………………………………………..………………..………..…….7

2.1 Regime semplice…………...……………………………………….....…………….8

2.1.a Regime composto………………………...………………………….………...…….8

2.1.b Interesse……………………………………….………………………………...……………….9

3. …………………………………………………………..……………….9

3.1 Tasso di interesse

3.2 T.I.R. = Tasso interno di rendimento variabile…………….……………………………….9

Piani di ammortamento…………………………..…………………………………………….10

4. Italiano…………………………..……………..……………….10

4.1 Piano di ammortamento

4.2 Piano di ammortamento francese………………………………………...……………….11

4.3 Piano di ammortamento americano o a due tassi………………………...……………….11

Debito residuo e debito estinto…………………………..…………………….……………….12

5. Montante…………………………..……………...……………….14

6. Funzione valore e funzione

6.1 Funzione valore…………………………..………………………………..……………….14

6.1.a Funzione valore a termine……..…………………………………………………….14

6.1.b Funzione valore a pronti……..…………………………………………….………...14

6.1.2 Proprietà funzione valore…………………………..…………………………………….15

6.2 Funzione montante…………………………..……………………………………………..16

6.2.a Funzione montante a termine…………………………..………………..…………..16

6.2.b Funzione montante a pronti…………………………..…………………..…….……17

6.2.2 Proprietà funzione montante…………………………..………………………………….17

Tasso di interesse…………………………..………………………..…………...……………...18

7. 7.1 Funzione tasso di interesse………………….……………….……………….…………….19

7.2 Funzione montante nei regimi di capitalizzazione………………….……………………...19

7.3 Proprietà di scindibilità………………….……………….……………….………………...21

Valore attuale………………….……………….……………….……………….………………21

8. 8.1 Formula utile………………….……………….……………….……………….………….22

Piano di ammortamento francese………………….……………….……………….…………..22

9. 9.1 Cambio di tasso………………….……………….……………….……………….……….22

Piano di ammortamento americano………………….……………….……………….………..23

10. 10.1 Tasso effettivo………………….……………….……………….………………………..23

T.I.R. = Tasso interno di rendimento………………….……………….……………….……..24

11. 11.1 Teorema di esistenza ed unicità del T.I.R….……………….……………….……………24

B.T.P. = Buono del Tesoro Poliennale………………….……………….……………………..25

12. 12.1 Aspetti fiscali………………….……………….……………….……………….………...26

Come risolvere gli esercizi………………………………………………………………..27

12.2 Simbologia e schema B.T.P….……………….……………………………….………….28

12.3 Spread………………….……………….……………….……………….………………..29

12.4 Leasing………………….……………….……………….……………….……………………30

13. 2 Rendite finanziarie………………….……………….……………….……………….………...30

14. 14.1 Rendite finanziarie temporanee………………….……………….……………….………31

Finanziarie perpetue………………….……………….……………….………….31

14.2 Rendite

Opzioni finanziarie………………….……………….……………….…………...……………32

15. 15.1 Opzione call………………….……………….……………….……………….………….32

15.1.1 Funzione guadagno………..….……………….……………….…………………33

15.2 Opzione put…………………………….……………….……………….………………..35

15.2.1 Funzione guadagno…..……….……………….……………….…………………35

15.3 Combinazioni di opzioni finanziare.…………….……………….……………….………37

…38…………………………………………..15.4 Limitazioni razionali per il prezzo delle opzioni

15.5 Relazioni di parità fra i prezzi di opzioni call e put………………………………………39

Durata media finanziaria………………….……………….……………….…………………..40

16. Immunizzazione finanziaria………………….……………….……………….……………….40

17. 17.1 Teorema di Fisher-Weil………………….……………….……………….……………....40

17.2 Teorema di Reddington………………….……………….……………….………………40

18. Pre-ammortamento……………………………………………………………………………..41

31.

Funzioni elementari

In Matematica finanziaria vi sono due funzioni dette elementari legate tra loro da un rapporto di reciprocità, infatti l’una è il reciproco dell’altra, e sono:

• Funzione valore
• Funzione montante

Prima di affrontare il discorso è bene introdurre il concetto di scadenzario, ovvero un grafico sul quale si inseriscono delle specifiche date:

• T = data di stipula di un contratto
• T = data di pagamento o data di valutazione finanziario tra
• S = data di scadenza due soggetti

Inoltre vi sono due tipi di scadenze, quelle generiche e quelle equidistanziate.

• Equidistanziate, in cui ogni data di pagamento è equidistanziata alla precedente e alla successiva, e sono del tipo t + j, dove j = 1,…,n +∈ N. Inoltre si parla di scadenza unitaria quando si fa riferimento all’anno, ovvero ogni scadenza ha la durata di un anno. Sullo scadenzario vengono rappresentate come segue:
• Generiche, in cui si hanno diversi periodi di scadenza, possono essere di diversa lunghezza temporale e sono del tipo t con j = 1,…,n +∈ N. Sullo scadenzario vengono rappresentate come segue:

j

Alcune date fondamentali sullo scadenzario sono rappresentate dalle seguenti notazioni:

• T = t: data di stipula del contratto finanziario, data iniziale
• T: scadenza
• T + n: scadenza n-esimo anno

0

n

Inoltre in tutti gli argomenti del corso si considereranno le situazioni dove il rischio è nullo, ovvero situazioni di certezza, salvo indicazione esplicita.

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Funzione valore

1.1 Funzione valore

La funzione valore, indicata come “v (t, T, s)”, è esattamente il prezzo che un soggetto paga, infatti, presi due soggetti uno paga all’altro “un qualcosa” e alla scadenza il soggetto che viene pagato incassa un’unità monetaria. In altri termini “v (t, T, s)” è il prezzo da pagare in T per avere diritto a riscuotere un’unità monetaria a scadenza.

Rappresentazione sullo scadenzario:

“v (t, T, s)”

Ovviamente se si varia uno degli argomenti della funzione valore varierà la funzione stessa, invero

• In questo caso è stata variata la data di stipula t

Studiando il comportamento della funzione valore tra due soggetti, indicando sulla data di scadenza l’unità monetaria riscossa dal soggetto pagato, si può osservare come, a seconda del soggetto preso in considerazione il segno cambi, sia esso della funzione valore e riscossa s dell’unità monetaria. In questo caso:

• Il soggetto 1 ha una funzione valore negativa poiché incassa in s l’unità monetaria
• Il soggetto 2 ha una funzione valore positiva poiché esborsa in s l’unità monetaria, infatti vi è associato il “-1”
• La data di pagamento è compresa tra la data di stipula e la data di scadenza, al più può coincidere con una di esse.

La funzione valore non può essere nulla, v (t, T, s) = 0, poiché significherebbe che non vi è alcun esborso da parte del soggetto pagante, ciò darebbe vita all’ipotesi di regalo, ovvero la situazione in cui non vi è un pagamento di un soggetto nei confronti dell’altro.

Per cui:

• Av (t, T, s) > 0, si escludono le ipotesi regalo (1 proprietà della funzione valore)
• < 0, un soggetto ha 2 incassi e l’altro 2 esborsi: v (t, T, s) ipotesi di doppio regalo
• 0 < v (t, T, s) 1, v (t, T, s) = 1 T = s (caso limite)

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• T che dovrebbe trovarsi tra t ∧ s ora risulta coincidere con s, T = s
• Quando t = T allora v (t, T, s) > 0
• –s T = durata effettiva
• v (t, T’, s) ≠ v (t, T”, s)
• T’ < T”
• In generale, si può notare come più si è prossimi ad s più la funzione valore cresce per cui: v (t, T’, s) < v (t, T”, s)

Funzione montante

1.2 Funzione montante

Nel contratto finanziario stipulato tra due soggetti si prevede che in T si versi una somma di denaro, quindi il soggetto investe un’unità monetaria, la funzione montante m (t, T, s) si trova in s.

In questo caso:

• Il soggetto 1 ha funzione montante positiva poiché investe un’unità monetaria in T, infatti la esborsa quindi il valore “-1”
• Il soggetto 2 incassa in T l’unità monetaria “+1” ma la funzione montante è negativa perché non investe nulla in T
• M (t, T, s) ≥ 1, ciò vale a dire che se all’inizio si investe 1 alla fine riceve più di 1
• M (t, T, s) = 1 T = s

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• S’ – T < s” – T => m (t, T, s’) < m (t, T, s”)
• La funzione montante del secondo contratto è strettamente maggiore di quella del primo poiché il periodo che intercorre tra la data di pagamento e la data di scadenza è maggiore nel secondo contratto che nel primo, perciò gli interessi maturati saranno maggiori, dunque più profitti

Attualizzazione e capitalizzazione

• Attualizzazione: portare un importo indietro nel tempo, per cui l’importo finale sarà minore; si utilizza la funzione valore v (t, T, s)
• Capitalizzazione: p