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Limiti di successioni notevoli

Limiti di successioni con parametro a

Dato a risulta:

  • ∞ se a > 1
  • 1 se a = 1
  • -10 se < a < 1
  • Non esiste se a ≤ -1

Per ogni a > 0 si ha:

  • √n, an → 1 quando n → +∞

Limiti di successioni con parametro b

Dato b risulta:

  • ∞ se b > 0n
  • 0 se b < 0n

Per ogni b si ha:

  • √n, bn → 1 quando n → +∞

Limiti coinvolgenti funzioni trigonometriche

Per ogni successione xn → 0 si ha:

  • lim sin(xn) = 0
  • lim cos(xn) = 1

Inoltre:

  • lim sin(xn)/xn = 1
  • lim (1 - cos(xn))/xn2 = 1/2

Limiti coinvolgenti funzioni esponenziali e logaritmiche

Per ogni a > 1 risulta:

  • → +∞ se xn → +∞
  • → 1 se xn → 0
  • axn → ax se xn → x

Ed anche:

  • → +∞ se xn → +∞
  • → 0 se xn → 1
  • lim loga(xn) = loga(x) se xn → x > 0

Per ogni successione xn → +∞ si ha:

  • lim (1 + 1/xn)xn = e

Per ogni x > 0 risulta:

  • xn - 1 e log(1 + xn) = 1

Inoltre, per ogni α ed ogni x > 0 si ha:

  • lim (1 + xn)-α = α

Infiniti di ordine crescente

Osservato che per ogni b > 0 e a > 1 risulta:

  • lim logb n = lim n = lim an = lim n! = lim n = +∞

Valgono:

  • lim logb n = lim n = lim an = lim n2

La relazione di asintotico

Due successioni (an) e (bn) sono dette asintotiche per n → +∞, e si scrive an ~ bn se:

  • lim an/bn = 1

In particolare, se lim an = ` allora an ~ `.

Sono immediate le seguenti proprietà:

  • a) Se an ~ bn e lim bn = ` allora lim an = `.
  • b) Se an ~ bn e bn ~ cn allora an ~ cn.
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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sig.Pericle99 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Napoli - Parthenope o del prof Volzone Bruno.
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