Appunti lezioni di Statistica

Statistica

Prof. Giuseppe Ricciardo Lamonica 25.09.2018

Gli ingredienti fondamentali per la statistica

• 1. Fenomeno da studiare: rappresentato con X, prende il nome di variabile
• 2. Collettivo statistico: popolazione dove studiare il fenomeno, rappresentato con U

Es. X reddito mensile delle famiglie; U famiglie residenti in Ancona.

La statistica fornisce gli strumenti che consentono di analizzare il fenomeno nella popolazione oggetto di studio, alla fine di individuare le caratteristiche fondamentali del fenomeno stesso.

Supporremo che X ed U siano già dati, inseriremo quindi solo gli strumenti necessari per raggiungere lo scopo.

Rilevazione del fenomeno

Già supposto su ogni unità che andremo ad analizzare.

Insieme dei dati elementari o grezzi

Raccolta in un insieme X di tutte le misurazioni del fenomeno sulle varie unità.

X={x(U );x(U );x(U )} x(U )=x' X={x' ;x' ;x' }1 2 n i i 1 2 n

Scale di misura

Modo attraverso il quale si rileva la variabile nel collettivo.

Scala nominale

Prese due generiche informazioni nell’insieme X che contiene dati in forma elementare posso dire se esse siano uguali o diverse tra loro.

• 1. x’ = x’1 2
• 2. x’ x’1 ≠ 2

Scala ordinale

Prese due generiche informazioni nell’insieme X che contiene dati in forma elementare posso affermare quale delle due precede l’altra.

• 1. x’ = x’1 2
• 2. x’ x’1 ≠ 2
• 3. x’ >< x’1 2

Scala intervallare

Prese due generiche informazioni nell’insieme X che contiene dati in forma elementare posso quantificare quanto un'informazione sia diversa dall'altra. L'origine di questa scala è fissata in modo soggettivo e non in modo naturale (es. Temperatura A=°C; B=°K).

• 1. x’ = x’1 2
• 2. x’ x’1 ≠ 2
• 3. x’ >< x’1 2
• 4. x’ - x’1 2

Scala proporzionale o di rapporto

Prese due generiche informazioni nell'insieme X che contiene dati in forma elementare stabilire il rapporto tra le due informazioni (l'intensità con la quale un'informazione è più grande o più piccola dell'altra). Ha origine naturale.

• 1. x’ = x’1 2
• 2. x’ x’1 ≠ 2
• 3. x’ >< x’1 2
• 4. x’ - x’1 2
• 5. x’ / x’1 2

26.09.2018

Se questi fenomeni venissero misurati con una delle prime due scale, la variabile prenderebbe il nome di variabile qualitativa, mentre per le altre due, prenderebbe il nome di variabile quantitativa o numerica. Le variabili quantitative si suddividono a loro volta in:

• 1. Discrete, sono frutto di un conteggio (es. numerosità familiare), e sono valori discreti;
• 2. Continue, sono frutto di un processo di misurazione (bisogna utilizzare uno strumento di misurazione ad es. altezza).

1 In matematica: sommatoria e produttoria

Sommatoria

Sommatoria: modo sintetico per indicare la somma di n numeri, =1∑

Proprietà:

• 1. Tutti i numeri uguali x =x per ogni i;j x=a =1∑ = i j
• 2. Costante a che somma x +a ==1 =1∑ ∑ + + i
• 3. Costante b che moltiplica x *b ==1 =1∑ ∑ ∗ ∗ i
• 4. Due serie +=1 =1 =1∑ ∑ ∑ +
• 5. Costante a che somma e costante b che moltiplica =1 =1∑ ∑ + ∗ + ∗

False generalizzazioni:

• 1. Potenze 2 ≠ -> =1 2 =1 2 =1 2 =1 2 =1∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑( + ) + + + 2 ∗ =1
• 2. Moltiplicazione ≠=1 =1 =1∑ ∑ ∑ ∗ ∗

Produttoria

Produttoria: diversamente dalla somma analizziamo il prodotto. Non gode di particolari proprietà.

=1∏

Rilevazione del fenomeno

Riorganizzazione dei dati attraverso 3 strumenti:

• 1. Distribuzioni di frequenza
• 2. Rappresentazione grafica
• 3. Funzione di ripartizione

27.09.2018

1. Distribuzioni di frequenza

Supporto della variabile

La distribuzione di frequenza di una variabile S = {x ;x ;…;x }X 1 2 K continua è uguale a quella di una variabile discreta. Essendo, quella delle variabili continue, una distribuzione molto lunga, per una questione di comodità, si suddivide il supporto della variabile in classi contigue tra loro.

Modalità della variabile

x x … x1 2 K

Frequenza assoluta

Numero di volte che osservo la modalità all’interno del supporto: n i

La frequenza assoluta – la frequenza relativa sono strettamente correlate alle probabilità, inoltre può capitare di dover confrontare un fenomeno in circostanze diverse.

Frequenza relativa

La frequenza relativa rappresenta il rapporto tra la frequenza assoluta e il totale delle osservazioni: p i

1 -> condizione di normalizzazione =1 ∑ = = =

Densità di frequenza

Viene definita densità di frequenza in = quanto:

• Densità poiché ci dice di quanto è concentrata la frequenza all’interno di una classe a parità di ampiezza delle classi (più è grande la densità di frequenza, più è concentrata la frequenza in nella classe);
• Frequenza poiché correlata con le frequenze relative.

Proprietà della densità di frequenza

• 1. ≥ 0;
• 2. La somma delle aree sottostanti la densità sono sempre pari ad 1 +1=1 =1 ∑ ∑ = = 1∫

2. Rappresentazione grafica

Le variabili discrete si possono rappresentare tramite:

• Diagramma circolare
• Diagramma a rettangoli distanziali
• Diagramma per ordinata

Le variabili continue si possono rappresentare con:

• Istogramma osservato
• Istogramma teorico

02.10.2018

L’istogramma teorico o anche curve teoriche, serve per tante variali per cui è possibile passare dagli istogrammi osservati a delle vere e proprie curve teoriche.

1 −- Andamento a densità che tendono a zero: () = ∗ 

Funzione di ripartizione di variabili numeriche

Si rappresenta con F(x). Il supporto della variabile deve essere ordinato in modo crescente. La funzione di ripartizione è una funzione definita nell’insieme dei reali, che associa ad ogni elemento di questo insieme un numero compreso tra 0 e 1. L’associazione tra i numeri reali e l’intervallo [0;1] avviene in modo che F(x)=P(X ≤ x). In modo generale:

Discrete

Rappresentazione grafica a gradini.

x p F(x )i i i

x p p1 1 1

x p x ≤ x < x = p +p =12 2 1 2 1 2 ∑

… … …

x p x ≤ x < x = p +p +…+pi i i i+1 1 2 i

… … …

x p x ≥ x = 1K K K

Proprietà

• 1. 0 ≤ F(x) ≤ 1
• 2. lim () = 1; lim () = 0→∞ →−∞
• 3. Monotona non decrescente x ; x x <x -> F(x ) ≤ F(x )i j i j i j x = x -> F(x ) > F(x ) dimostrazione per assurdo j i+1 i i+1

03.10.2018

x p F(x )i i i

x p p1 1 1

x p x ≤ x < x = p +p2 2 1 2 1 2 +1∑ =1

… … …

x p x ≤ x < x = p +p +…+pi i i i+1 1 2 i

x p x ≤ x < x = p +p +…+p +pi+1 i+1 i i+1 1 2 i i+1

… … …

x p x ≥ x = 1K K K

• 4. È una funzione continua a destra - )lim () = (+→ - )lim () = (−1−→

Continue

• 1. Conosco i dati in forma elementare. Si costruisce così come quella per la variabile discreta
• 2. Non sono noti i dati ma è nota solo la distribuzione di frequenza

Ipotesi di uniforme distribuzione delle osservazioni all’interno delle classi (ossia, all’interno della classe non ci sarà mai un punto con maggiore distribuzione piuttosto che in un’altra, quindi sono equo distribuiti all’interno di una classe).

P(X=x) = = 0∫

Questo comporta che se a;b appartiene R a<b, allora P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) -> () ∫

Così come P(X ≤ a) = P(X < a)

Nel calcolare la frequenza di valori, mettere = o meno negli intervalli, non ci cambia nulla al fine del calcolo.

In generale: P(X ≤ x) = (per evitare fraintendimenti tra la x dell’estremo e la x della variabile posso () ∫−∞ riscriverla come () ∫−∞

x ; x F(x)1 k+1

x < x F(x)=01

… …

x ≤ x < x F(x)=F(x )+f (x-x )i i+1 i i i

… …

x ≥ x F(x)=1k+1

04.10.2018

F(x) = F(xi) + fi (x- xi)

È una retta inclinata positivamente con coefficiente angolare fi (saranno tutte rette attaccate l’una all’altra).

()x ≤ x < x

Presenta però punti angolosi: di F(X) = F(xi) + fi (x- xi) -> = 0 + − 0 = i i+1

Quartile

Si rappresenta con x con 0 < p < 1. È una costante. p

Esempio:

p= 0.5 quantile x = 1. 0.5 2. 0.50.5

Divide la distribuzione in due sottoinsiemi:

• 1. Frequenza di casi pari a p p=0.25 quantile x = 1. 0.25 2. 0.75
• 2. Casi pari a 1-p 0.25

Media di una variabile

La media è una costante che ha l’obiettivo di sintetizzare a distribuzione di un fenomeno. Ci sono due metodi diversi per determinare la media:

• 1. Metodo del minimo danno
• 2. Metodo derivante dalla natura del problema oppure metodo di Chisini

1. Conviene partire dai dati in forma elementare.

Es. x= condizione professionale = {OCC; OCC; OCC; OCC; OCC}

c è la costante che deve riassumere queste osservazioni.

In questo caso c=OCC quindi x ’=c. la costante di sintesi riassume perfettamente il fenomeno osservato perché tutte le osservazioni coincidono con c. i

Se x ’=c si dice che la sintesi è avvenuta in modo perfetto poiché non si perde alcuna informazione. Bisogna sempre determinare la c in modo che la perdita d’informazioni sia la più piccola possibile.

Posso immaginare questa costante come un danno che subisco ogni volta che la c si va a sostituire con la singola informazione, ossia ogni volta che la c è diversa dall’osservazione.

09.10.2018

Danno globale nelle variabili qualitative

S’ è il danno che devo sopportare o perdita d’informazione.

S’ = si può calcolare come la differenza tra il totale delle frequenze e quella scelta come c.

=1∑ ( ; ) ∗ ( ; )

• 1. = 0 x = c x ≠ c( ; )=1i i
• 2. > 0 x ≠ c x = c( ; )=0i i

La funzione di danno globale sarà minima in corrispondenza della p osservata con la più alta frequenza. ix p S’i i

x p =2∑ = 1 − 1 1 1

x p =1 =1∑ ∑c= x = 1 − = 1 − 2 2 j 2 ≠2 ≠

… … =1 S’ è minimo quando p è massimo = moda di distribuzione ∑ = 1 − j … ≠⋯

x p =1∑ = 1 − i i ≠ … … =1∑ = 1 − … ≠⋯

x p =1∑ = 1 − K K ≠

Pregi della moda

• 1. È l’unica costante di sintesi che si può calcolare per le variabili qualitative
• 2. È il calcolo più immediato (basta guardare la tabella e individuare la frequenza più alta)

Difetti della moda

• 1. Ci possono essere distribuzioni con più mode
• 2. Ci possono essere situazioni in cui la moda corrisponde a tutto il supporto

Nelle classi:

• Classi omogenee: si prende la classe con la frequenza più alta;
• Classi eterogenee: si prende la classe che ha la più alta densità

Una volta definita la classe modale, si prende il valore centrale che corrisponde alla media: x +x / 2 =i i+1

Valore mediano

Danno globale nelle variabili numeriche

Per quantificare il danno ci sono diversi metodi.

( ; )

• 1. = 0 x = ci
• 2. = |x -c| x ≠ ci i

S’ = =1∑ | − | ∗

• 1. (x – c) > 0 x > c +i i
• 2. (x – c) ≤ 0 x ≤ c -i i

Quindi: S’ = ∑ ( ∑ ( ∑ ∑ ∑ ∑− ) ∗ + − − ) ∗ = ∗ + ∗ + ∗ + ∗ > ≤ > > ≤ ≤

Faccio le derivate ′ ′ ∑ ∑ ∑ ∑= 0 − − 0 + = 0 → = − = 0> ≤ ≤ >

∑ ∑ = ≤ >

• 1. ∑ = 0.5≤
• 2. ∑ = 0.5>

F(c)= è quel valore che “spacca” a metà preciso p .i

10.10.2018

′ ∑ ∑= − = 0 ≤ >

Casi:

• 1. -> funzione decrescente ∑ ∑ > <0 ≤ > ′
• 2. -> funzione costante ∑ ∑ = =0 ≤ > ′
• 3. -> funzione crescente ∑ ∑ < >0 ≤ >

F(c)=0.5

Calcolo della mediana

• Se abbiamo a che fare con una variabile continua abbiamo sicuramente un valore che uguale a 0.5
• Se abbiamo a che fare con una variabile discreta potrebbe esistere o coincidere con infiniti valori

Definizione

Sia x una variabile numerica (sia essa discreta, continua o curva teorica), il cui supporto è ordinato in modo crescente, la mediana della variabile è il più piccolo valore del supporto in corrispondenza del quale la funzione di ripartizione è uguale a 0.5 oppure supera 0.5 per la prima volta.

∈ : () ≥ 0.5

Variabile continua divisa in classi

) ( )() = ( + − )0.5−( [calcolo della mediana della distribuzione di una variabile continua divisa in classi]= +

Variabile continua curva teorica

• Divido il supporto in classi -> h
• Si prende il valore centrale -> x *i
• Si associa ad ogni x * la frequenza in cui cade -> f(x *)ai i i

ℎ ∗ ∗[( ) ] = ∑ ∗ ∗ =1

• Quando la media è più precisa ℎ → ∞ ℎ ∗ ∗[( ) ] = lim ∑ ∗ ∗ = ∫ ∗ () ℎ→ ∞ =1

Variabile discreta

=1∑ = ∗ = = ()

11.10.2018

[x ; x +1] p fi i i i

[x ; x ) p f1 2 1 1

… … ...

[x ; x +1) p fi i i i

… ... …

[x ; x +1) p fk k k k

2 3+1 +1+1µ = ∗ () = ∗ (1) + ∗ (2) + … + ∗ () + ⋯ + ∗ () ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 2 2 22 +1 ( )( ) − + − ∗+1 +1 +1 +1 ∗ = [ ∗ ] = ∗ = = ∗ ∫ 2 2 2

=1 ∗+1 ∑µ = ∗ () = ∗ ∫ 1 =1 ∗∑µ = () ∗

Proprietà

• 1. Proprietà del baricentro =