Appunti Statistica

Statistica

La statistica elabora i principi e le metodologie che guidano il processo di rilevazione e di raccolta dei dati, alla loro rappresentazione e interpretazione. La statistica si divide in:

• Statistica descrittiva: si occupa della raccolta, della presentazione e della sintesi di un insieme di dati raccolti su un gruppo ben definito.
• Statistica inferenziale: si effettuano le stesse elaborazioni, ma i risultati ottenuti vengono estesi a un gruppo più ampio di quello su cui dati sono stati elaborati (indagini campionarie).

Variabili

La variabile (o carattere) costituisce l'oggetto dell'indagine (su una persona si può rilevare sesso, peso, statura, reddito) e si suddivide in:

• Qualitativa (o categoriali): le sue determinazioni sono espresse mediante aggettivi o sostantivi (sesso, lo stato civile, il gruppo sanguigno, il colore). Le variabili qualitative si suddividono ulteriormente in:
  • Ordinabili: è naturale elencare le modalità in modo ordinato (titolo di studio, ceto sociale).
  • Non ordinabili: l'ordinamento risulta del tutto arbitrario (sesso, la religione).
• Quantitativa: quando le sue determinazioni sono espresse mediante valori numerici (il reddito, il numero di figli). Le variabili quantitative si suddividono in:
  • Discrete: può assumere un insieme finito o numerabile di valori come ad esempio il numero dei componenti delle famiglie, il numero di veicoli circolanti.
  • Continue: possono assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale, come ad esempio la temperatura, la statura, il peso.

Frequenza

La frequenza assoluta n_j è il numero di volte in cui si manifesta un evento in un'indagine statistica. La frequenza relativa f_j di ogni valore si ottiene dividendo la frequenza assoluta per il numero totale dei dati. La frequenza cumulata è pari alla somma della sua frequenza assoluta e di quelle delle modalità che la precedono.

Rappresentazioni grafiche

I grafici evidenziano le caratteristiche distributive di una variabile ed assumono forme diverse a seconda della natura della variabile. Il grafico a torta è usato specialmente per variabili qualitative non ordinabili. Per le variabili qualitative non ordinabili si può usare anche un grafico a colonne (o grafico a barre).

Per la costruzione di un grafico a colonne si utilizza un sistema di assi cartesiani: sulle ascisse si riportano le modalità della variabile e da quei punti si innalzano dei rettangoli di altezza proporzionale alla frequenza corrispondente. (NB: Per una migliore leggibilità i rettangoli sono stati ordinati in base alla frequenza corrispondente o crescente o decrescente). Una rappresentazione grafica alternativa si ottiene scambiando le ascisse con le ordinate. Si ottiene in questo modo il grafico a nastri.

I precedenti grafici sono utilizzati anche quando la variabile è qualitativa ordinabile con la differenza che le modalità di una variabile ordinabile vanno elencate in base al loro ordine naturale. Una rappresentazione grafica adeguata per una distribuzione di una variabile discreta è il diagramma ad aste nel quale si utilizza un sistema di assi cartesiani: sulle ascisse si riportano i k valori assunti dalla variabile e da questi punti si innalzano segmenti di altezza proporzionale alla frequenza corrispondente.

Se la distribuzione è relativa a una variabile continua, nella tabella compaiono le classi di valori. Occorre formulare un’ipotesi di distribuzione uniforme: per determinare la frequenza associata a un intervallo in una classe si calcola la densità di frequenza della classe e la si moltiplica per l’ampiezza dell’intervallo. Densità: Frequenza relativa / Ampiezza.

La rappresentazione grafica per una distribuzione in classi relativa a una variabile continua è l’istogramma, costituito da un insieme di rettangoli affiancati aventi per base le diverse classi e per altezza la densità di frequenza corrispondente.

Indici di posizione

Le medie (o indici di posizione) descrivono l’insieme delle osservazioni mediante un unico valore numerico. Si distinguono in:

• Medie di posizione che possono essere determinate per variabili qualsiasi.
• Medie analitiche che possono essere determinate solo per variabili quantitative, in quanto richiedono operazioni algebriche.

La media di posizione più semplice è la moda che può essere determinata per una variabile qualsiasi. In una distribuzione relativa a una variabile qualitativa o quantitativa discreta è la determinazione con la frequenza più elevata. In una distribuzione in classi è l’intervallo con la densità di frequenza più elevata. La moda non risente della presenza di valori anomali (un valore numerico significativamente diverso dagli altri). La moda non è molto utile se le determinazioni sono numerose e la massima frequenza non è molto più elevata delle altre.

Altri indici di posizione calcolati se la variabile sono i quantili. Una variabile quantitativa, il quantile di ordine (con 0 < p < 1), indicato con x_p è quel valore della X per cui la proporzione di osservazioni inferiori o uguali a x_p è almeno p. In genere si calcolano:

• Tre quartili: 0.25, 0.50, 0.75
• Nove decili: 0.1, ..., 0.9
• Novantanove centili: 0.01, ..., 0.99

In una sequenza di osservazioni, il quantile è l’osservazione che nella sequenza ordinata occupa il posto corrispondente alla parte intera superiore del prodotto. La media aritmetica è una media analitica: richiede operazioni algebriche, può essere calcolata solo per variabili quantitative. La sua formula assume forme diverse a seconda di come sono organizzati i dati raccolti. In generale è data da 1/n per la somma di tutte le intensità rilevate.

In alcuni casi il calcolo della media va effettuato attribuendo un certo “peso” ai valori della variabile. Questo serve per misurare l’importanza che si vuole attribuire a ciascun valore. Dati gli n valori x_i a cui sono attribuiti rispettivamente i pesi p_i, la formula generica della media ponderata è un rapporto in cui al numeratore abbiamo la somma delle intensità della variabile moltiplicate per il loro peso e al denominatore la somma dei pesi.

Proprietà delle medie

• Prima proprietà (proprietà di internalità): considerata la sequenza ordinata delle osservazioni x_i, la media è sempre interna al campo di variazione. Questo vuol dire che il risultato della media non può mai essere minore della più piccola intensità rilevata, né maggiore dell’intensità più grande.
• Seconda proprietà: l’ammontare complessivo della X (sommatoria per i che va da 1 a n di x_i) corrisponde a n volte la sua media.
• Terza proprietà (proprietà di linearità): data una trasformazione lineare del tipo Y = aX + b, la sua media corrisponde alla trasformazione lineare della media.
• Quarta proprietà: considerata la sequenza delle n osservazioni x_i (per i =1, 2, …, n) relativa a una variabile X di media x̄, la somma dei quadrati degli scarti dalla media è un minimo. Questo significa che, se si calcolasse la somma dei quadrati degli scarti da un valore diverso dalla media, si otterrebbe un risultato sempre maggiore.
• Quinta proprietà (proprietà associativa): considerate unità statistiche suddivise in gruppi di cui è noto il valore della media e la numerosità, la media di X è la media delle medie dei gruppi, ponderata con le numerosità.

Momenti

In statistica esiste una importante famiglia di indici, chiamati momenti, di cui fa parte anche la media aritmetica, che si dividono in:

• Momenti ordinari (o dall’origine) indicati con μ_r.
• Momenti centrali indicati con μ_r.

Questi indici, che possono essere calcolati solo per variabili quantitative. Il momento ordinario (o dall’origine) di ordine r corrisponde alla media dei valori della X elevati alla potenza r-esima. Il momento centrale di ordine r corrisponde alla media degli scarti dalla media della variabile elevata alla potenza r-esima. Proprietà: Il momento centrale di ordine r di una trasformazione lineare risulta uguale al momento di ordine r della variabile x moltiplicato per il parametro b elevato alla erresima. I momenti centrali sono invarianti per cambi dell’origine, ma non per unità di misura.

Variabilità

Va tenuto presente che gruppi diversi di unità statistiche possono avere una stessa moda, mediana o media, ma essere molto diversi fra loro per quanto riguarda i valori assunti dalla variabile. Tra gli indici di variabilità abbiamo l’ampiezza del campo di variazione: corrisponde alla differenza fra la massima intensità rilevata e la minima. Risulta uguale a zero se e solo se tutti gli valori sono uguali fra loro e assume valori crescenti al crescere della variabilità. Dipende però solo dai valori della più piccola e della più grande intensità rilevate e se la distribuzione è in classi dipende dalla scelta dei valori utilizzati per chiudere le classi aperte.

Un altro indice di variabilità è la differenza interquartile pari alla differenza fra il terzo e il primo quartile. Assume valori crescenti al crescere della variabilità e non risente dell’eventuale presenza di valori anomali. Il difetto è che dipende solo da due valori della variabile. Gli indici di variabilità più utilizzati si basano sulle differenze fra i valori assunti dalla variabile e la sua media, ossia sui valori della variabile scarto (x_i - x̄). Se la variabilità è nulla le scarto sono tutte uguali fra loro e uguali alla media. Al crescere della variabilità i valori della variabile scarto tendono a crescere in valore assoluto.

Per misurare la variabilità si potrebbe calcolare la media degli scarti per ottenere una valutazione del loro ordine di grandezza, ma la media della variabile scarto è sempre pari a 0. Per questo si potrebbe utilizzare la media degli scarti presi in valore assoluto o elevati a una potenza pari. La varianza è la media dei quadrati degli scarti della variabile X dalla sua media le corrisponde quindi al secondo momento centrale (μ₂). Se tutti i valori sono uguali fra loro (e quindi uguali a x̄), tutti gli scarti sono uguali a zero e quindi la varianza è uguale a zero. Al crescere delle differenze fra le x_i e la x̄, invece, gli scarti assumono valori crescenti e la varianza aumenta.

Proprietà della varianza

• Prima proprietà: la varianza corrisponde alla differenza fra il secondo momento ordinario e la media elevata al quadrato. Per questa dimostrazione è sufficiente partire dalla formula della varianza utilizzata per una sequenza di n valori e sviluppare il quadrato che compare nella formula.
• Seconda proprietà: La varianza è un minimo. Questo significa che la media dei quadrati degli scarti delle osservazioni calcolati da un qualsiasi valore c diverso dalla media aritmetica risulta sempre maggiore della varianza. Questa proprietà deriva dall’analoga proprietà già dimostrata a proposito della media aritmetica, è sufficiente riprendere quella dimostrazione e moltiplicare i diversi termini per la costante 1/n.
• Terza proprietà: La varianza di una trasformazione risulta uguale alla varianza di x moltiplicata per il parametro b al quadrato: Var(Y) = b² Var(X). Questa dimostrazione è un caso particolare della proprietà dei momenti centrali di ordine r, per r=2. La varianza non varia al variare dell’origine, ma risente del cambiamento della scala di misura.
• Quarta proprietà (scomposizione della varianza): considerate unità statistiche suddivise in gruppi di cui è nota la numerosità, la media e la varianza, la varianza di X è la somma della media delle varianze (within) più la varianza delle medie (between). La varianza within corrisponde a 1/n per la sommatoria del prodotto tra la varianza del gruppo e la numerosità del gruppo. La varianza between è 1/n per i quadrati delle differenze tra la media dei gruppi e la media complessiva, il tutto moltiplicato per la numerosità del gruppo. La varianza di X corrisponde alla somma tra la varianza within e la varianza between.

La varianza è espressa nel quadrato dell’unità di misura, per cui di solito se ne calcola la sua radice quadrata. Questo indice è detto deviazione standard (o scarto quadratico medio o scostamento quadratico medio).

Proprietà della deviazione standard

La deviazione standard di una trasformazione lineare risulta uguale alla deviazione standard di x per il valore assoluto del parametro b in valore assoluto: σ_Y = |b| σ_X. Questa dimostrazione si ottiene immediatamente da quella relativa alla varianza di una trasformazione lineare. La variabile scarto standardizzata è data da un rapporto in cui al denominatore abbiamo la la differenza tra la variabile e la media e al denominatore la deviazione standard e sarà utile per calcolare il coefficiente di correlazione lineare. Per confrontare la variabilità di variabili rilevate con unità di misura diverse (peso e statura) si usa il coefficiente di variazione. È un indice adimensionale, ossia un numero puro ed è uguale al rapporto tra la deviazione standard e la media. Questo non si può utilizzare se la X assume valori negativi (potrebbe risultare negativo) e se la media è prossima a zero tenderebbe a +∞.

Proprietà del coefficiente di variazione

Il coefficiente di variazione della trasformazione lineare risulta uguale ad un rapporto in cui al numeratore abbiamo la deviazione standard della x moltiplicata per b in valore assoluto e al denominatore la trasformazione lineare della media.

Indici di forma

In statistica si calcolano indici basati sui momenti, che descrivono la forma della distribuzione di una variabile e si dividono in indici di asimmetria e indici di curtosi. Questi indici si calcolano quando si vuole verificare se la distribuzione di una variabile somiglia a una distribuzione normale.

L’indice di asimmetria di Fisher corrisponde al rapporto fra il terzo momento centrale e la deviazione standard al cubo (o al terzo momento ordinario della variabile scarto standardizzato). È un indice adimensionale, ossia un numero puro, risulta uguale a zero se la distribuzione è simmetrica, maggiore di zero se la distribuzione è asimmetrica positiva e minore di zero se la distribuzione è asimmetrica negativa. Inconveniente: può risultare uguale a zero anche se la distribuzione è asimmetrica, se gli scarti positivi compensano i negativi. Un risultato pari a zero è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la simmetria.

Proprietà dell'indice di asimmetria

L’indice di asimmetria di una trasformazione lineare risulta uguale all’indice di asimmetria della X, ma dipende dal segno del parametro b. Per dimostrare questa proprietà è sufficiente fare riferimento alle proprietà delle trasformazioni lineari per momenti centrali e deviazione standard. L’indice di asimmetria è invariante rispetto a traslazioni dell’origine e anche rispetto a variazioni dell’unità di misura, tranne eventualmente per il segno.

Curtosi: il termine, che deriva dal greco, significa “gobba”. Quando la distribuzione di una variabile è unimodale, con la moda in posizione centrale, e di forma campanulare si ha interesse a calcolare la curtosi che fornisce indicazioni sulla curvatura della distribuzione in corrispondenza del valore centrale e sull’addensamento delle frequenze in corrispondenza delle code. Queste caratteristiche rendono più o meno verosimile l’adeguamento della distribuzione osservata al modello normale. L’indice più utilizzato è il rapporto fra quarto momento centrale e varianza al quadrato e corrisponde al quarto momento ordinario della variabile scarto standardizzato. È un indice adimensionale (numero puro), che non può essere minore di zero. Il valore di riferimento è 3:

• Se < 3 la distribuzione si dice iponormale (o platicurtica). Rispetto alla normale ha frequenze maggiori in corrispondenza dei valori centrali e delle code e frequenze minori in corrispondenza dei valori intermedi.
• Se = 3 la distribuzione si dice normocurtica (o mesocurtica).
• Se > 3 la distribuzione si dice ipernormale (o leptocurtica). Rispetto alla distribuzione normale ha frequenze minori in corrispondenza dei valori centrali e delle code e frequenze maggiori in corrispondenza dei valori intermedi.

Proprietà dell'indice di curtosi

L’indice di curtosi della trasformazione lineare risulta uguale all’indice di curtosi della x. La dimostrazione si effettua tenendo presenti le proprietà delle trasformazioni lineari considerate per i momenti centrali di ordine r e per la varianza. L’indice di curtosi è invariante per traslazioni dell’origine e per variazioni dell’unità di misura.

Box Plot: rappresentazione grafica che evidenzia le caratteristiche della distribuzione di una variabile.