Appunti lezioni di Metodi e modelli numerici

26/02/2026 Classificazione delle EQ derivate ordine parziali

Delalle I. Lacianolap と_ scalareΔu applicabiley) scalarisolo(x IR2 RU : au-+=,R ][simmetrico "AtSia : =Divergenza ]警外議]| に=β に)) 品. Bvu 、0 ( “)x( -y )) +a= 品喙多 投喙 悲( c =C= ←a 。aib cost)( 知 tCe auz受:, σ← な となy= 枝品「b, cost(2) ea , ay+(eq parz)dez OrdineGenerica PDE Il :. . au6 zuaau u fut dxx gC 2yyω axz +++「 =2x 대la derivataraccolgono di quandob↓ costantia non sonoe c, , ordine)(Coeffb termini oRaccolgo a :c, ., [ ]말.β =autoraloriLe ord classificano base dideglisi B:sullaPDE :I . segno)concorditutti autovalori (stesso definiscenullihaB Elliticasinonse e· Più doveproblema problema Laplaceelitico semplice Di :: [6 ];B 7 nulli)d(b ,= e, ,KER**generalmente simmper .82 =4一 seguentiR equivalentiaffermazionilealloraA simmetricaSiaRichiamo e: , :sonodefinita positivasimmetrica A· tutti autovalori strettamentehaA positivi· Fxeforma xAxla o> X +o:·

Diffusione

Diffusione : Fourier)di(leggeKVTq = - bassedalleil piùallecalore T altepiùsi muovediv(q) conservativo=>0 campo a= da quindi↓ definito labordovolumetto si conservaqun ,da dall'altroentra parteciò che esceunacombinando due attengole cose : ) KVT.(dir Tσ - (10K ==→- τ )=ha autoratore lanullo sinulli concordeB altri digli PDEalloraun non· se segnoe edefinisce Parabouca1- ㆀ tempo)(2DB 1Dspazio01 eㆁ= O0 O-ou (k(u)V Calorebeleqg= . .=-t ↑ ][ φ:-We = ·g definisceautovalori nulli)ha (nodiscordi autovaloriin la siB PDEallorasegnose· Iperboucaauat-DU EQ ondeDeveg= .

1D Metodo differenziale per problemi ellitici finite

24)∂ (mㅣ f(x) c)C0in ,=X condizioni tipobordo(03 al di}1 Dirichletㆁ soluzione)il dellavaloreCimpongo( )L 0µ : * *M(x) R(M(x) dMx0 M<u < zM M= + ,basarmetodo stepTale 3si su :

• Introduco del dominiodiscretizzazione1) nodi intervalligeometrica introducocuiinuna e ;
• Dominiol'eq condizionepostatutti ladelColloco diricheetènodioriginale2) in dicuiin i non ;
• Nodali)incogniti derivateUso valori le(Valori calcolare3) approssimatamanierainperQuesto laalgebricoproblema rappresentasoluzionecui approssimazione numericagenera unaundella esaltarsoluzione .I 오(1) hhPasso UzI UmujUo +써tate .\ …wtlO Xo= j.jconjhj N0 s= ←= …,+numerodove 2: = intervalli didi discretizzazione[Xj Xj]Ij j N1, 1con += 1 =, ...,- ,dalle dirichletche cond. diSez mullisonoconosco. leIntroduco nodaliincognite Nj 1uj per = ...,,L'idea che (Xj)è Uj U=(2)Passo )(! )은 ( ( 8 )xe () xsµ × n = costCaso easy M: =: τㅣ )CXz) 8Xr) µ( =없은 (( sistema( 8 ×λ) ( Ndi)xjµ x eg; .= i: f(xm)Maxz(Xw) =](: ×( ( 8 ↓) ()× xµ xv =vPasso (3)( lo Taylor) sviluppo di× ; uso +)) u "xjhu (u x 4 ))程 " ;) (( G( )G ( xjXit t"U u.(' x Ou xj ( ); tt= -G -txs u "-uCXj xjhu u) "( ) ((xsa 4 )" )' ( G( ( 磐U xj x ;) u o) t)- .= αterminirimangono derivatoli la (1)secondarparisommo rimanese e, disporili termini derivatorimangonosottraggo la (2)primarimanese e,Inizio da (1)-(2) : hau"u(Xj (xj)a)u(Xj 2) 224 o(24). (Xj)++ - +=- u(xj u(xj2) 2)4(xj u(xi2) a)2+ +- -- -u'"u'(Xj) 0(f3)(Xj)=> =+= -h b2↓ haerrorePasso (1) (2)or :+ ) ut - xs (( u) xsXj 4) )U "2 ㎡Xz th ) GXi (+Gu ( (µ "= (t oG )u(Xj 2u(xi)2)u(Xj 2) + 留+ - - " )) ( 2u"(Xj) ( Gxsu +=> _0= ㎡u(Xj 2u(Xj)2)u(Xj 2) ++ - -㎡↓ haerrore quantificabile& noncommettendo ulterioreun posso usareecore :,( ) UjXj Uj UjUj U→ 1- + ,1 ㅣ\x )UCXs Xj):Uj Xit;( Xj-- G ..- U. o ,Xje = )()Uje xje(U µ9 U,, t ,s formula approxx24j4jUjUit 4i+-- -+ 1.( . - U"(Xj]sxg le derivate seconde'µ ) =; a2h soloUsando valori nodali↓sostituisco nel sistema delle N-EQ *l) -xe 2 )t最縁 “(f=µ xr) fCxaxa >* ( ((( →) =× ) - 12 滋-1) (XJ) 1 Lα- --24ม -1)+US1 JUS/MCass- +1 +CX<xj3 + - := は=1 -:: - ∴α&On หล& 1 ) =VN -/UN+ +-(MCXNS 1 - #<xn) + -1 <xn<XN) = 14ellittici daproblemi davanti all'operatorepresentanoconvenzione si cosìiper (-)con unsempre, ,attenere PositivadefinitaMatice simmetricauna一μ一一 ดึ

05/103/2026

AuRaccolgo bfattele linearesistemainapprox un = +=µ ((o 24m)420)40)( f(x)f(x2)24auz U+-+ㅣ - - = ==2µ )( f )(µU 2 Us X+- - = 223zµ ( , = )f CXUjU 2 uj+ 0- ; - )-+ 、位 = +µ (2U- f(Xn)un-) um(Un notodallebe)(- f(Xn)2uy-un)Un =+ = ,2a Bound conditionsSi ottengono così :_ _σα 오 …-2 s ㅇs -- IRNXV RMM tridiagonalesimmetrica M z...1012 0A 0 >-- - ;= ㎡ ……….0 .. -0 12 __ fcxe -남다- - )us + .; : RmRN b εε… = µf(XN)UN WN+ + 1g2… __Il cioe"A"Axsistema b ammette èUNA NONUNA SOLUZIONE Singolare,solaED se= ,det }A 0· + ; !tuttevaleredevonoXa· 0j+ 17A· - delCaso generale problema ellittico 1D Differenzepiù* finite:)(,{ e *corin , (M(x)f 1M=0 0< M +*- - RMo E) do( oµ = YL Rε( ) とし = & funzione notaudefinisco variabile ausiliaria2 di Flussonome :: ={ * }.ED CWSTTUTVAτ U= - la loro dellada ilmi prob diffusioneunione .ac f EQ Bilanciodi= .xu(0) Uo=u ) ψ( Lメ == _ax1) DominioDiscretEZO Il Uz k Uj- Uj UnKit UN, + 1griglia aggiuntivacostruisco x2↓ xYj ㅣ 1* ...punti medinei xnXn-.--... +-빙 인XNtXjX XX 호는 호5를글 +jh× j = 集( ) 55h之X 8 t; += =+2) discretizzo Derivatele tG Gi( )()/xCx ; と ;x2) _( - -4 ; → a2 α .u っ.) Gxjt) (9 µ( )12912τ X ( nup5x(0 +t a = uj . 酒(ㅣ (& u(Xj 2(2)2/2)2(2) M(Xj(Xj Xs2 ↑" “虽X-- -= -- ∂ x X ( G ) a(/ )× j × j 122- =*Discretizzo ora : u(Xj 2) u(Xj)au 4jki+ -- +2/2)ax(Xj + == hh Cho approx)-x ( ) Uj5 Wjxj)( 5 µ( - 1- -12Xj = 」- U)G q htuttomettendo ottieneassieme si : )-2(2)2(Xj& 2(2)2(Xi q 去 芸+ - - Cxj \91xz / ((xj) )( ua u; uj >uj( µ9+ 0+> z「= -- -、= -(h Mj +µz 三- j+ -= )( Miz(j zUj -z4iMj Mi-Mj z(j+ + =-1++ + --[ )(最 )f (Uj µ ujujµ µ {+µ xj+{ 之 5: j5 - =j "三++ ,+ .- .μ立 j (EQ Xe)1 INper· .= uz([ 12 ←吉 = xzµ f+µµku zu款)+ (312 )- 3 ] µ2 。2 (j = EQ, X2IN· per MozUa][ - MSR4g (M51 2) f(x2)Ms Un-+ + =1XN)N (EQj INper· .= ][ ( )吉 fcxn )µ µUv UNµ zuUn←" +- yz - =" "x v+ + n, ,z+ - ,-L)(EQN XNj 1 IN =per· + . 1+= =µ[ uve++*故 * ( )xnµ vzUv +v Un( Uv0- 3 ) fz+ ]" +, .+z {-A comoditàfuori dal usate eliminatepoidominiotermini at Fantasma per e;; .2(2)M(L(N 2(2)2) M(L) M(LIP M: 3, + = -+ = =↓ ↓ ↓MN Mor+3/2 1/2Ma+ > + Mat Marti Mar 3/2+= =θ ⑩ ⑩YN ( ……… Mots eMN XNtY+ z Mn 1+cond.+2 dieliminare al bordodevo laaggiuntivam'eqPer uso:usare .Newmann UnUN UN+, &2× =앱 . 1)v <+ ψ1 ) i( ………( ………( … MNXN XN 2++ 1Untz Un( -)Xwe )( 2←' 2h Mn 1+la (2) nella (1)uso :Un2- UNiz2hYy 2hYrUn Un+=> ==μ l'eq laSemplifico NewmannUsandoin l'ip cond.Xn disu :M e+ .. ][-Msez (Mm (Um-MaxzYw* f(Xm +1)MN+ + + =3[‰ ]( )µ 42hi MNtUN )UNea { fCXwUnUn {2←tw+- -+( = + .+→ Un吉 24+={ f2 µ{ -+ 点套2 +( (µ ) NUN xnN + ) +nsimmetria della matrice dividolaperdere tuttoPer 2non perV { 套)(吉 ) Ψf (Un Uvµ Un µ xw{{ +n +nt +=+ -+ .si ottengonoPer au :- +µµ µ한 를 를 MszMµ Mzzzz를 + --袁 RW xN 1++ 1∴A E= ∴µ 芝 、 MNMn-z - Ma z+ ++∴ Mor+Uo 회- +_ __ Dirichlet表←f (xa )-- us IRNRN i1 +: + : EbU E= =~UN++ - ⑳fcxr ) ++_ _Newmann"A" ÈeLa InvertibileUnicasle =problemaIl uG2 2)107 inㅣ =- ,캡 infinite( 4 soluzioni) ha0 = .잽 니니 요=长走一一气μμ 心 delSe problemasoluzione* V è :v v자 40fiax 2Maxz = == ;- ax L←=X w=Se Vprendo IR2* c ++ con :なµ µ= f- …)(a V avc+ 4= = oaxX X w=X 0=)(a V c+ 잤 요= =x X C=メ し= !costante laqualunque sez micar=> èper

Esercizio deflessione

1Filo forzaelastico asoggetto: =2{ a u그 in 1)(0 Slz1 , esctta=_ .2x22 ×CXµ (=l -e)1) = ㆁ·MC ㅇMC07 = อ >④ ∅pendenzasignificala laimporredi pendenzafissare secondocondizione nelNewmann puntoRisolvo finitedifferenze di 1D griglia 5N 1sucon una + =' : lenghezzobL = ,N + intecvallino 42 lUsUaHo0 = µ 02 4a a a 5a =hu = ㅣㅣ ㅣㅣ 1 ㅣXXo XXg × × 4 532f S= _ : µ=|-α 10-µ * s ; e02 1A R| E :- --= ;z σ 2 이이0 20 -- -U2) =25 ( ↳ @。242-ㅣ - 16/200 ②∅2UzH2 2z slz-+ =- 25 /24 10o ㅣ '1 … 'l>m =2 4521 /· 5 어5VaU2 2z -+ =- 2412025 o2 161200Uz 24+ =- 25 _Ora Newmanncon primorisowere nodonelcondizione Dil 裂늦 は=と agginge wawar ea ,incognita grudi× e)( 2 1 2× ×캡 - ×- !=)( s0 = la dimensioneaumento)( sµ 0= . Uzµn s. ,- XXL *二小八 支 EQ IN Xo i. )(2 Ms )f <xua2 u+ =-.- . t-zgU캤da 25isNewmann S µ U: = == -.-x 0= )(誓 ( )h suz240Ua 2 + =-- - Ψ= :( 2 2= ”ns 25 4.-µ uz0 ( -芝 号は 望)- sost,↓ divido aper=> 2 uguali(40-us) le rimangonorighealtre= - 1_ _1 1000 問 隱-2 0 σ-ㅢµ R5X5 。0 問A 0-1 2- E ←