Appunti lezione Statica della nave

23102 Intro definizione galleggiante

Definiamo la nave come un galleggiante cioè un corpo rigido in quiete, cioè in equilibrio (le forze e momenti esterni sono in equilibrio e non causano accelerazione).

Quindi Non c’è né velocità né accelerazione.

Stabile > Equilibrio se perturbo la condizione di equilibrio, FIO l’oggetto perturbato torna nella condizione iniziale [ >>> associato ad un minimo di energia potenziale ENT 0= µ.

Equilibrio instabile > Equilibrio se perturbo la condizione di equilibrio, l’oggetto perturbato entra in una nuova condizione >>> associato ad un massimo di energia potenziale.

Le forze che ci interessano sono:

• La forza peso W.
• La spinta di Archimede che indichiamo come dislocamento (dipende dal volume spostato dall’acqua, quindi la carena).

L’ambiente in cui ci troviamo è fatto da: aria Nba paIs-aria Galleggiante= oggetto che si IL-acqua trova tra i due fluidi (aria e ÈÈ É-fondale acqua).

Il galleggiante è un corpo rigido perché non si deforma, ed è in equilibrio.

Definizione corpo rigido

Andiamo a definire le forze che agiscono su questo:

Peso e centro di gravità

Immaginiamo il galleggiante composto da diversi pesetti.

1) forza peso WZWI V3,,

Il peso totale è 9n[ Wi [W ]N= i. 1=

Il peso è applicato nel baricentro. Ognuno dei pesi ha una sua posizione: 2-WI È141 1✗ ii. wi,✗zyzzwz ✗ , , =☐= ÈV3 -23 Wi343✗ ,- u -

Spinta e teorema di Archimede

2) spinta, dislocamento 1th di Archimede > un corpo immerso in acqua subisce una spinta pari al peso di fluido che ha spostato dislocamento JÉ- (IN ]D= Tr× ,=-volume di carena Eroine.

Sarebbe in realtà (troppo preciso) @9316 V2D= +✓ ariaacqua: kg1. 2 }/ m-mare t.fm0251. }-dolce tim1. 000 }÷ 2.

Th di Archimede > la retta d’azione della risultante di tutte le pressioni che agiscono sulla superficie passa per il centro geometrico del volume immerso (=volume dislocato). :%↑↑MÈ?⃝ ?⃝

Equilibrio per un corpo immerso

Equilibrio per un corpo immerso (6gdl).

L’equilibrio lungo l’asse x e y è sempre garantito (non abbiamo forze lungo questi assi).

D: Equilibrio traslazione in z: →vi = D=W Ti✗=az Rotazione attorno a x: I is coppia di forze= due forze con stesso d W,D: modulo e stessa direzione: generano un momento Myz>=> 4 Wbyz byzMyz ☐= = significa che le 2.

Imponendo l’equilibrio: byzMyz 00 == > >= forze devono-braccio tra essere sulla stessa le 2 forze retta d’azione!!

2 casi 9313 Dal pt di vista delle traslazioni l’equilibrio è: O:O indifferente (poiché la densità dell’acqua è considerata costante con la profondità).

: Anche dal pt di vista della rotazione attorno a z, l’equilibrio resta indifferente.

: Rotazione attorno a x: Questa nuova coppia di forze dà una nuova rotazione ulteriore: il momento che nasce una volta che ho eliminato la mia causa inclinante, continua a equilibrio inclinare l’oggetto >>> instabile.

9313 Anche in questo caso la nuova coppia di forze genera un momento. Questa fa ruotare l’oggetto facendolo tornare come era inizialmente (prima equilibrio della perturbazione) >>> stabile Ha.

Osservazione: i sommergibili per poter navigare devono avere il baricentro al di sotto del centro di carena.

La nave No!! ?⃝ 24/02

Carene diritte

Elementi geometrici delle carene diritte

Nel caso delle carene diritte, ciascuna delle carene di ZN uno stesso galleggiante ha, rispetto al piano di galleggiamento, lo stesso angolo di inclinazione isocline >>> ↑ar I.

Come conseguenza si ha che le carene diritte risultano essere parallele al piano di galleggiamento WL.

Sulla base dell’immersione T è possibile ricavare ↳ informazioni quali le caratteristiche di sezione, quelle di volume e le derivate... X

Caratteristiche sezionali

414 a Questa figura riporta la metà della figura di galleggiamento.

F= centro della figura di galleggiamento y ,x = assi centrali passanti per F ChA 11dA= elemento infinitesimo della figura di galleggiamento >8 F x 1x =

Definiamo: (1 [m3]Aw dA=Sx (144=[m3)= [m3]fSy dAx= =

Da ciò ne deriva che 54 IX F = Awh coordinate del centro FSx4 == AwL.

Si definiscono i seguenti momenti di inerzia trasversale (_4*dA [m4]Ix = longitudinale Im4]dAIm f= [m4S(144dAIx1m 0==.

Nel momento in cui i momenti sopra citati assumono rispettivamente il valore minimo e massimo rispetto agli principali. assi centrali, questi ultimi sono detti.

Caratteristiche di volume

Caratteristiche di volume ]| }[dt m= ,

Seguono i momenti di volume £| =/di AwMtxy rz ) dzZZ= ,, ZO£/| Aw Syrzldz(E) / ZldzM di✗ ✗== =e ,yz☐ , 2- o| (Per simmetria)Mtxz di O4= =, MYZB= centro di carena -| Xg = TiMXZya 0= =TiMXYZB = E.

Caratteristiche derivate

Dislocamento ][8- ton' = )II.

Raggio metacentrico trasversale [RT' m= Per piccole variazioni di , angolo di inclinazione, BIT WL UT si sposta su una traiettoria circolare di raggio RTIIT- WLO centrata in MT, centro metacentrico. UtRT Noto RT si può risalire a MT. HBBo -1-41.

Raggio metacentrico longitudinale ][RL• m=RLl Analogamente a RT, per piccole variazioni UTI di , B si muove su una traiettoria di UTraggio circolare RL centrata in ML. UT WLO1 , ut' WLB " Bo.

Dislocamento unitario AWL 8 ][ tonDre 'e = 100 1^00DI AWL '=""""""""" "" """"" """" "' on ✗ AWLdiDu f. == 100.

Momento unitario di assetto Forza da applicare alla nave per ARL' Mil ma= cambiare immersione di 1cmLpp100I Rlsinrl Rltgrl~IUTUTI dt ^t.gl = = 100 LppLppARL drztgrlzMu = =LPP100.

Tavole delle carene

Le tavole delle carene diritte sono i grafici con cui rappresentiamo i valori delle carene diritte Ta AWL An MuRtRt÷✗ B 0minMax✗ F • >i. 2103.

Verticale integrale e diagramma di Bonjean

Tabelle di Bonjean

Immaginiamo che la nave sia inclinata solo longitudinalmente. Si divide la nave per sezione e le tabelle di Bonjean ci fanno 2 valori:

• Area trasversale sono funzioni dell’immersione: l’immersione non è costante " "" "".
• Momento statico trasversale come nelle carene diritte, ma è a sua volta funzione di x/Tad nel Tavi=immersione =immersione avanti a dietro v.

Lo rappresentiamo nel verticale integrale, ad esempio per l’area è una cosa di questo tipo: l’immersione sta sempre in ordinata È prorapoppa ☒ > A.

Valutiamo qual è il volume immerso di una carena inclinata longitudinalmente: nota la Tad e la Tav, possiamo trovarci l’immersione ordinata per ordinata.

Possiamo trovare qualunque immersione TadTavIltg - →= LPP tcylllTADTrx ) ✗= -1.

È positivo se la nave è appruata (in questo caso è appoppata quindi è negativo) rll.

Noto T(x) possiamo entrare nelle tabelle A(x) e S(x).

✗ tre1) troviamo volume =/ Atrxldx✗ aft × "e MHZ.

2) troviamo momenti =/ |'Mtxy ) ✗Stix di B.> == tiAft✗ MTXYZB =l'° "✗/ TiMaxie dxAtrx ) ✗- OYBaft✗ =

Genericamente, data una f(x), per valutare un’area: metodo Simpson-trxl 3)f-) '+8ft ✗1) ✗f- 2(5. ✗ -^ a ×☐=, 12 metodi dei trapezi AZ .FÉE +8/-1×25ft 3) )) fiki✗az DX-=2)t'"t' ✗✗ ' 12an sx, ,, » a 2) )4th1) frx+ ' ✗ }+ +An Az ×☐=+>✗ ✗✗ 2 3✗ 31.

Elementi geometrici delle carene inclinate trasversalmente

Carene inclinate trasversalmente

Guardiamo cosa succede quando la carena di inclina solo trasversalmente sezione trasversale h IC -A9316 WhoW !-1Bo.

C’è anche uno spostamento di Bo in avanti ↳ (trascurabile oppure non crea problemi di stabilità).

Bo si sposta lateralmente e verticalmente >> determina una coppia di forze.

Quando la nave si inclina solo longitudinalmente, la carena anche se si inclina mantiene la propria simmetria e quindi il centro di carena rimane sullo stesso piano longitudinale.

In questo caso il centro di carena non rimane sul piano trasversale iniziale, perché la carena Non è simmetrica trasversalmente (lo è solo longitudinalmente).

Guardiamo cosa succede al centro di carena in inclinazione trasversale: Wh/T WLO in funzione del volume frE)-Xa/4BEbraccio della proiezione dellaoBE EB0.sinct42 B5retta d’azione della spinta-----ZBo = +rispetto ad un asse passante BO per Bo (NB non collega Bo a B!!) in funzione di 2T-TkZ (wproiezione sul piano trasversale volume 1)v-↑i =passante per Bo della retta d’azione della spinta pt di riferimento comodo ,v)(2fkz +==>

A parità di inclinazione ma con diversi volumi, come varia Kz? Wi kZ·riin IWLO -2111T =-----.oEB0 7 T·BO BzBo----s kEiKE'T↳Quando immergiamo troppo Kz è minimo kZ↑k *. ↳50%60*B1180·Da Possiamo approssimare per piccoli angoli (in base al disegno a sx): OBZ RT=diRI BZARTg ItqdB-> = =Bo 1 iRTC=> = a RT57b 1rad 3== R3 dalle tabelle delle carene dritte- valore interpolato Wvalori interpolati-Costruiamo il grafico per punti: 3/03.

Come si muovono i centri di carena?

Teorema di Eulero

Hp: quando la nave si inclina manteniamo l’equilibrio alla traslazione verticale - inclinazione isocarenica >- angoli infinitesimi V = Vsovraimmersione+ Vsottoimmersione mfa na =0efdA.yd2 di(Y4A(dA.dz(,dV dr.SxSV = == ==e - -SX e sserexisocenica*=tgaz dilasse deve oessereuscente 5x 0=>di =02 y= A.4 0=Dat.

Enunciato

Due piani isocarenici e infinitamente prossimi tra loro si intersecano lungo una retta che contiene i centri di entrambe le figure di galleggiamento.

Angoli non infinitesimi Diedro= 2 piani che si intersecano. E Costola del diedro= retta di intersezione tra due piani (uscente).

Consideriamo un altro piano che è perpendicolare alla costola del diedro > questo piano è una sezione normale del nostro diedro Bo = centro di carena WLOIl *E I/* WLOasse di inclinazione (uscente)XI =terna dx=* E WLOdassi 1↑Il WLo piano di inclinazione4BOE~aB si muove:

• In alto.
• A dx.

Come si muove lungo x?

I piani di galleggiamento in cui passiamo sono tutti tra loro isocarenici e hanno lo stesso asse di inclinazione >>> abbiamo vincolato la nostra traiettoria (ne esiste solo una possibile!!!!!!)

Traiettoria di B Per applicare Eulero devo considerare piani di galleggiamento prossimi. WLI A coppie i piani di galleggiamento si intersecano secondo il no centro della figura di galleggiamento che piano piano si muove (retta della figura di galleggiamento).

Abbiamo una serie di rette parallele unite uscenti che formano una superficie cilindrica > tutti i piani di galleggiamento sono tg alla superficie cilindrica che abbiamo appena creato.

Equazioni generali dei centri isocarenici di carena

Equazioni generali dei centri isocarenici di carena (x costvo ==("Ixyre) (Perché il volume è costante)=ExB↑ 'al de= Iyo u s owda = IXrze)sapere R 'rie)SEdiecoste cose45 delImemoria -a VIx'rze)ja 1EB Ix'relsince di= 1 since di= T D WL:

Per A nuovo piano di WL9319 -·" galleggiamento WI'd Who ncentro di · galleggiamento a -*Bo L’asse di inclinazione è sempre costante'Il=>

Per ogni inclinazione otteniamo un piano di galleggiamento nuovo. Per ognuno di questi piani di galleggiamento andiamo a mettere un centro di galleggiamento e mettiamo gli assi con *'/Y 5' 115.= /4''da Ix=>

Non si usano perché bisognerebbe trovare i momenti di inerzia per ogni piano di galleggiamento compreso tra WL e WL0.

Angoli piccoli -2 semplificazioni > galleggiante cilindrico -1) equazioni approssimate dei centri isocarenici di carena - piccolo dHp =cd, i cos0 1=sinzl il=ro)I''r) Ix4-~- Ix(0)Ix(2)I Ixd/4dx x50XB = 9319= delIIBB Ex= BTo BoI"/"au =EB =3 Iyx (y4d=co=

Lungo x non possiamo sapere se il galleggiante va avanti o indietro (a seconda di come è distribuita l’area).

-Lungo y va a dx sempre perché Ix >0- --Lungo z va sempre in alto perché Ix >0---

Fissiamo gli assi una volta per tutte… come? Pensiamo ai parametri che caratterizzano un’area (area stessa, momenti statici e momenti di inerzia). L’area rimane sempre la stessa per Qualsiasi asse che fissiamo.

9322 Per i momenti statici Non si può fare lo stesso ragionamento.

Scelgo sdr centrale (passa per F) e principale di inerzia. XO Sx 0=7 =54 0=Ix4=> 0==az1A seconda di come 9328 inclino la nave, la Piano galleggiamento superficie si muove in questa superficie C’è un piano di galleggiamento inclinato Xche interseca WLO per x·h Assi per cui avevamo* scritto le equazioni.~41En Tr agricasi centrali principalix,4,Il efigurad'inerzia galleggiamentodidelaper BP.passantieruota sempre x1 in senso orario Dall’alto B>42-B >4I~ & MaL* wx 1 V v *X 1.

Riscrivo: (42dA(Ix5 440 Ix == &Poiché * sin-x cos 41= perché i momenti di inerzia centrifughi caxsin 4= + sono uguali a zero+xe,fos xasin'Sostituiamo sin-4,( corin orI = -si simI4, con ca-Ix= 4,consin( codA=I = ein2 yx++sin cosIx1=In +

Vogliamo trovare il centro di carena rispetto a x1, z141,[ cox 1B si4= + coxsin41B = +-I cdo sinX1B += =Tovo=(Iyeosin-Ix +(Icossin) +Ixco)lco ein sinl=TO ein sin)com si-IX1cos cos isi=I IxI41 =+ +Osin)sin/cos=In I4I =RLe+ si siz=I Fe raggio metacentrico longitudinale RL(Stessi passaggi)collRT41B =EBZ1B = Iusin Ixco ee (Rsim cos)-= T+ = +t -

Questa parte non la chiede, sapere solo: i siniRLx = Eq approssimate dei CIC per un RTCOSBIl4 1B = galleggiante generico il(R-bin2 c02)RTz1B = +

Come è fatta questa superficie ? Z1a Se fisso e faccio variare , trovo tante traiettorie dei centri ad Bfissato seconda di come ho inclinato. e nevariati# e-Ye Se fisso e faccio variare , i centri di carena si muovono come0 BSuperficie dei centri una trottola. di carenaLx 1 i

Partendo da quanto trovato prima: siniRLx =RTCOSBIl4 1B = il(Rabin2 c02)RTz1B = +-RXTIB 41Bsin co=> == Ri RTRT] hx[Rrz1B = t+= IRL IRTW.

Vediamo come è fatta questa superficie inc.