Appunti lezione 9 Fisica 1

Rotazioni rigide intorno ad un asse fisso (continuazione)

Abbiamo già dimostrato che, per un sistema di punti in rotazione rigida intorno ad un asse z, l’energia cinetica è _Ec = ¹⁄_{2 Iz} ω²

_Iz = momento di inerzia intorno a z

ω = velocità angolare

Questa relazione è valida anche per un corpo rigido continuo: in questo caso _Iz sarà calcolato con un integrale invece che con una sommatoria.

• N punti discreti: _Iz = ∑_i=1ⁿ m_i R_i²
• Corpo rigido continuo: _Iz = ∫_M r² dm = ∫_V z² ρ dV

Vediamo ora il calcolo del momento angolare per un sistema di punti in rota z. rigido. Anche in questo caso il risultato si estende anche al caso di un corpo rigido continuo.

L_i = R_i × m_i V_i

ω // Asse z

ω≠z⊥ al piano individuato da R_i e V_i

|L_i| = r_i m_i v_i = r_i m_i R_i ω

Calcoliamo la componente di L_i lungo la direzione dell’asse z:

|L_iz| = L_i sen φ == sen φ r_i m_i R_i ω = m_i R_i² ω_Ri

Rotazioni rigide intorno ad un asse fisso (continuazione)

Abbiamo già dimostrato che, per un sistema di punti in rotazione rigida intorno ad un asse z, l’energia cinetica è _Ec = ¹/₂ I_z ω²

I_z = momento d’inerzia intorno a z

ω = velocità angolare

Questa relazione è valida anche per un corpo rigido continuo: in questo caso I_z sarà calcolato con un integrale invece che con una sommatoria.

• N punti discreti: I_z = ∑_i=1ⁿ m_i R_i²
• Corpo rigido continuo: I_z = ∫_M r² dm = ∫_V x² ρdV

Vediamo ora il calcolo del momento angolare per un sistema di punti in rota z rigido. Anche in questo caso il risultato si estende anche al caso di un corpo rigido continuo.

⟨L⟩_i = ⟨R⟩_i × m_i ⟨V⟩_i

⟨ω⟩ // Asse z

ω^ _z⊥ al piano individuato da ⟨R⟩_i e ⟨V⟩_i

|L_i| = R_i m _i V _i = R_i m _i R_i ω

Calcoliamo la componente di L_i lungo la direzione dell’asse z.

|L_iz| = L_i senθ_i == senθ_i R_i m _i R_i ω = m _i R_i² ω ⟨R⟩_i

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Quindi, il momento angolare totale _L = ∑ L_i non è detto che sia // all'asse di rotazione.

Tuttavia possiamo scrivere una relazione di proporzionalità tra _Lz (proiezione di _L lungo l'asse di rotazione z) e la velocità angolare:

_Lz = ∑_i m_i R_i² _ω = I_{z ω} => _Lz = I_{z ω}

Quando z è un asse di simmetria del corpo rigido, cioè ∀ punto i ∃ un punto j t.c. L_i + L_j ha risultante parallela all'asse di rotazione z, allora _L // _ω.

> _L = I_{z ω}

> _dL / dt = I_{z dω} / dt

_M = I_{z α}

Equazione del moto di rotazione

Momento delle forze esterne

Accelerazione angolare

N.B. Parallelismo tra grandezze fisiche / equazioni usate per il moto di traslazione e di rotazione

Esempio: pendolo fisico (detto anche pendolo composto)

Studiamo il moto di un corpo rigido che oscilla per azione della forza peso (attriti trascurabili)