Appunti prima lezione Fisica 1

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale

a × b = c

c ⟂ al piano di a e b

verso: regola della mano destra

modulo: |c| = |a| · |b| · sin θ

a × b = - (b × a)

i × j = k, k × i = j, j × k = i

j × i = -k

i × i = j × j = k × k = 0

Nel piano

A = A_xi + A_yj + A_zk

B = B_xi + B_yj + B_zk

A × B = i (A_yB_z - A_zB_y) - j (A_xB_z - A_zB_x) + k (A_xB_y - A_yB_x)

A × B = (i j k)(A_x A_y A_z)(B_x B_y B_z)

Nel piano con componenti z nulle

A = A_xi + A_yj + 0

B = B_xi + B_yj + 0

A × B = (i j k)(A_x A_y 0)(B_x B_y 0)

dq/dt = F^r_res = R^r₁ + R^r₂ + R^r₃ = 0

Prodotto vettoriale con vettori

Prodotto vettoriale

⃗a x ⃗b = ⃗c → ⃗c ⟂ piano di ⃗a e b

verso regolato della mano destra ⃗a pollice, b indice, c medio

modulo |⃗c| = |⃗a| · |⃗b| · sin θ

⃗a x ⃗b = ⃗b x ⃗a

⃗a x ⃗b = -(⃗b x ⃗a)

⃗i x ⃗j = ⃗k, ⃗k x ⃗i = ⃗j, ⃗j x ⃗k = ⃗i

⃗j x ⃗i = -⃗k

⃗i x ⃗i = ⃗j x ⃗j = ⃗k x ⃗k = 0

Nello spazio

⃗A = A_x⃗i + A_y⃗j + A_z⃗k

⃗B = B_x⃗i + B_y⃗j + B_z⃗k

⃗A x ⃗B = | ⃗i   ⃗j   ⃗k || A_x   A_y   A_z || B_x   B_y   B_z |

= ⃗i (A_y · B_z - A_z · B_y) - ⃗j (A_x · B_z - A_z · B_x) + ⃗k (A_x · B_y - A_y · B_x)

Nel piano

⃗A = A_x⃗i + A_y⃗j + 0

⃗B = B_x⃗i + B_y⃗j + 0

⃗A x ⃗B = | ⃗i   ⃗j   ⃗k || A_x   A_y   0 || B_x   B_y   0 |

Momento e quantità di moto angolare

momento della quantità di moto angolare

momento di una forza F

molla elastica

forza sterzante

nel caso in cui

dato

momento rispetto al polo O

momento applicato nel polo O

momento applicato nel polo O

dato

risultato dei momenti delle forze attive e reattive

nel caso in cui

se il momento è zero allora il momento della quantità di moto angolare è costante

Leva

Leva

L = x + y

se M₀ = 0 significa che F e P si bilanciano e la leva è in equilibrio

Carico

Carico

k · T = R + R · P · (-k) = M₀

se M₀ = 0, allora si è in equilibrio

-k · T · cos x · R + R · P · (-k) = M₀

Momento della quantità di moto nel moto circolare uniforme

Momento della quantità di moto nel moto circolare uniforme

L₀ = OA x q = OA · (m v) = (R · m · v)k.

u_r x u_theta = k.

v = v_r cos theta · i + v_n · sin theta · j.

R = R cos theta · i + R sin theta · j

Cinematica relativa

Cinematica relativa

osservatore assoluto

osservatore relativo O'

r² = OO' + r'

Teorema di composizione delle velocità

Teorema di composizione delle velocità

v = v' + v_0' + omega x r'

Teorema delle accelerazioni relative

Teorema delle accelerazioni relative

a = a' + a₀ + omega x (omega x r') + 2 omega x v'

F = ma -> m a = m a' + m a_t + m a_c -> m a = m a' - m a_t - m a_c = F + F_t + F_c

F_t = -m [a_o' + omega x (omega x z')]

F_c = -m omega² r

se moto uniforme, a = a' e v = v' + v_t e r = v_t t + r' -> r = r' - v_t t

{x' = x - v_t,x t y' = y - v_t,y t z' = z - v_t,z t}

x = ox = OA - xA = x' cos theta - y' sin theta

y = oy = OB + By = y' cos theta + x' sin theta

theta = omega t

P = (x,y) momento di riferimento fisso

P = (x',y') sistema di riferimento mobile

{x = x' cos(omega t) - y' sin(omega t) y = y' cos(omega t) + x' sin(omega t)}

{v_x = v'_x' cos(omega t) - v'_y' sin(omega t) - omega [x' sin(omega t) + y' cos(omega t)] v_y = -v'_y' cos(omega t) + v'_x' sin(omega t) + omega [x' cos(omega t) - y' sin(omega t)]}

omega -> k

rotazione → v' = →vⁱ + →ω x →z

a_x = a'_x - ω²x + 2 (→ω x →v)_x

a_y = a'_y - ω²y - 2 (→ω x →v)_y

→a = →a' - ω²→z + 2 (→ω x →z)

Sistema di punti

Sistema di punti

i = 1, ..., N     con i ≠ j     →F_ij = -→F_ji

j = 1, ..., N

Quantità di moto per un punto

quantità di moto per un punto

→q = m · →v

Quantità di moto per un sistema di N punti

quantità di moto per un sistema di N punti

→q = ∑_i^N m_i · →v_i

Centro di massa

Centro di massa

→z_c.m. = ∑_i^N m_i · →z_i / ∑_i^N m_i

x_c.m. = ∑_i^N m_i x_i / ∑_i^N m_i

y_c.m. = ∑_i^N m_i y_i / ∑_i^N m_i

z_c.m. = ∑_i^N m_i z_i / ∑_i^N m_i

Centro di massa nel sistema inerziale

centro di massa nel sistema inerziale

→z_i = →z_i + →OO →z_i = →z_i + →OO

→z_c.m. = ∑_i^N m_i · →z_i / ∑_i^N m_i = ∑_i^N m_i · (→z_i + →OO) / ∑_i^N m_i = ∑_i^N m_i · →z_i / ∑_i^N m_i + →OO

= →z_c.m. + →OO