Appunti lezione 6 Fisica 1

Lavoro di una forza

Definizione del lavoro nel caso di moto rettilineo e forza costante: L = F⃗ · Δs⃗

Grandezza scalare.

Prodotto scalare tra 2 vettori: forza e spostamento.

Unità di misura: [L_avoro] = [F][L] = [M][L/T²][L] = [M][L²/T²]

1 Joule = 1 kg m²/s² (J)

Caso A: forza costante e parallela allo spostamento

Caso A: F⃗ costante, parallela a Δs⃗ ( = 0)

L = F⃗ · Δs⃗ = |F⃗||Δs⃗| cos = F Δs

Caso B: forza costante non parallela allo spostamento

Caso B: F⃗ costante, non parallela a Δs⃗

L = F⃗ · Δs⃗ = F Δs cos

Lavoro di una forza

Definizione del lavoro nel caso di moto rettilineo e forza costante: L = F⃗ · Δs⃗

Grandezza scalare.

Prodotto scalare tra 2 vettori: forza e spostamento.

Unità di misura: [L_lavoro] = [F][L] = [M][L][T^-2][L] = [M]^1/2

1 Joule (J) = 1 kg m²s^-2

Caso A: forza costante e parallela allo spostamento

Caso A: F⃗ costante, parallela a Δs⃗

L = F⃗ · Δs⃗ = |F||Δs| cos () = FΔs

Caso B: forza costante non parallela allo spostamento

Caso B: F⃗ costante, non parallela a Δs⃗

L = F⃗ · Δs⃗ = FΔs cos ()

Caso C: parallela a spostamento, non costante

Suddivido il percorso in N→∞ spostamenti infinitesimi dx, in ciascuno dei quali posso assumere che F è costante.

LAVORO ELEMENTARE: dL = F(x) dx

Lavoro compiuto dalla forza per effettuare uno spostamento infinitesimo:

⇒ L = ∫_a^b F(x) dx

Esempio: lavoro della forza elastica

F_el(x) = - kx

L = ∫_a^b F_el(x) dx = ∫_a^b -kx dx == - k x²/2 |_a^b = -k/2 (b² - a²)

Caso D: non parallela, non costante

CASO D: NON parallela, NON costante (moto rettilineo)

L = ∫_a^b F_x(x) dx

Definizione di lavoro nel caso generale di un moto vario con F variabile

Suddivido la traiettoria in N→∞ spostamenti infinitesimi _ii, per ciascuno dei quali il lavoro elementare e: L=P _i PRODOTTO SCALARE

FORZA IN FUNZIONE DELLA POSIZIONE LUNGO LA TRAIETTORIA

L=Lim Sigma i _ii = integralea,b

INTEGRALE DI LINEA

⇒ L=integralea,b_ii

Esempio di INTEGRALE DI LINEA nel piano:

F=F_x(x,y)i + F_y(x,y)j con

F_x(x,y)=2x+y

F_y(x,y)=x+y²

Il lavoro lungo la traiettoria S(y=x) per compiere lo spostamento O P e:

L=integraleo,pL=F_xdx+F_ydy

L=integraleo,p(2x+y)dx+(x+y²)dy=Sigma(2x+x+x₂)dx==1+2+3==2+1+3₇

Esempio 1

Esempio 1: Un oggetto scorre all'interno di una scanalatura semi-circolare piatta sul piano di un tavolo. Il coeff. di attrito dinamico della scanalatura è μ_c. Qual è il lavoro compiuto dalla forza di attrito lungo il percorso da A → B?

L = ∫_A^B F_a⃗ · d⃗s

Il lavoro elementare in ciascun tratto infinitesimo è:

δL = F_a⃗ · d⃗s = |F_a⃗| |d⃗s| cos(180°) = -μ_c N ds = -μ_c mg ds

⇒ L = ∫_A^B -μ_c mg ds = -μ_c mg ∫_A^B ds = -μ_c mg π R

Esempio 2

Esempio 2: Un oggetto scende lungo una curva sottoposto alla forza di gravità (attrito trascurabile).

h = dislivello tra A e B

δL = F⃗ · d⃗s = mg cos θ ds = dh

L = ∫_A^B mg dh = mg ∫_A^B dh

⇒ L = mgh qualunque sia la traiettoria!

Energia cinetica

Dato un punto materiale di massa m che si muove a una velocità di modulo v, si definisce energia cinetica E_c la grandezza:

E_c = ¹/₂ m v²

Teorema dell'energia cinetica

Teorema dell'Energia Cinetica (T. Lavoro Energia)

Qualunque sia la forza F̅ che agisce nello spostamento di un punto materiale da A a B, il lavoro fatto da F̅ è uguale alla variazione di energia cinetica.

L = ∫_A^B F̅·ds̅ = ¹/₂ mv²_B - ¹/₂ mv²_A = E_C,B - E_C,A = ΔE_C

Dimostrazione:

δL = F̅·ds̅

F̅ = ma̅

⇒ δL = ma̅·ds̅ = m d(ῡ̅/dt)·ds̅ =ds̅ = v̅dt poiché v̅ = ds̅/dt

= m d(ῡ̅/dt)·v̅dt = m (d(ῡ̅/dt)·v̅

Ora calcoliamo d/dt (v²) ricordando che v² = v̅·v̅ (propr. prod. scalare).

d/dt (v²) = d/dt (v̅·v̅) = d(ῡ̅/dt)·v̅ + v̅ d(ῡ̅/dt) = 2 d(ῡ̅/dt)·v̅

⇒ δL = m 𝑐𝑣² dt = 𝑔₂ d/dt (v²) dt = d/dt (½ mv²) dt = E_c

⇒ δL = d/dt(E_c) dt (≙ dE_c/dt dt)

L = ƒ_A^B δL dt = ƒ_ta^t_b dE_c/dt dt == E_c^B - E_c^A = ∆E_c

⇒ L = ∆E_c c.v.d.

Unità di misura di E_c: J = Kg m²/S²

Definizione equivalente di energia cinetica in funzione della quantità di moto (p = mv)

_{Ec = p²/2m}

E_c = m²v²/2m = ½ mv²

Esempio

Esempio: Un corpo scende lungo un piano inclinato di altezza h partendo con una velocità v_A = 0. L'attrito è trascurabile.

A che velocità arriva in fondo? v_B = ?

L = mgh

∆E_c = ½ mv_B² - ½ mv_A² = 0

L = ∆E_c mgh = ½ mv_B²

v_B = √2gh

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Energia potenziale

Per introdurre il concetto di energia potenziale, consideriamo il lavoro della forza peso.

L_p = ∫_A^B F · ds == mg ∫_A^B dz̅= mgΔz̅ == -mg(z_B - z_A)

Il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dalla differenza di quota.

Definisco energia potenziale della forza peso la funzione:

U_p(z̅) = mgz => L_p = -ΔU_p = -(mgz_B - mgz_A)

Analogamente, per la forza elastica, posso definire l'energia potenziale elastica (funzione solo della posizione x).

U_el(x) = ½kx²

Anche in questo caso, si può scrivere:

L_el = -ΔU_el = -(½kx_B² - ½kx_A²)

Dipende solo dalla posizione iniziale e finale!

Tuttavia, se si considera il LAVORO compiuto dalla FORZA di ATTRITO:

L = -μ_d N ∫_A^B ds lunghezza del percorso

Si osserva che L dipende dal percorso seguito per spostarsi da A ➔ B.

L_{I percorso} < L_{II percorso}

In generale, esistono FORZE (come forza peso e forza elastica) per le quali il LAVORO dipende solo dalle coordinate dei punti iniziale A e finale B e NON dal percorso seguito A ➔ B.

Queste FORZE si chiamano forze conservative.

Se F è CONSERVATIVA:

∫_A^B (F · ds)_I = ∫_A^B (F · ds)_II

Per un percorso chiuso ABA, si ha che:

∫_A^B (F · ds)_I + ∫_B^A (F · ds)_-II = 0

= -∫_A^B (F · ds)_II

⇒ LUNGO UN QUALSIASI PERCORSO CHIUSO

L = ∬ F · ds = 0

VALIDO SOLO PER FORZE CONSERVATIVE!

Altre forze, per le quali il lavoro dipende dal percorso (es.: forza d'attrito) sono dette forze non conservative.

Forze conservative

È possibile definire un'energia potenziale U tale che:

L = -ΔU

Inoltre, per il Teorema dell'energia cinetica:

L = ΔE_c

ΔE_c = -ΔU

E_c^B - E_c^A = -(U^B - U^A)

E_c^B + U^B = E_c^A + U^A

En. Meccanica Finale En. Meccanica Iniziale

Non conservative

Non è possibile definire un'energia potenziale, ma rimane comunque valido il Teorema dell'E. C.

L = ΔE_c (L va calcolato dalla sua definizione, come integrale di linea L = ∫_A^B F⃗ · ds⃗)

Conservazione dell'energia meccanica

E ≡ E_c + U = costante

(Solo se agiscono forze conservative!!!)

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Esempio: conservazione energia del pendolo semplice

Esempio Conservazione Energia (Pendolo Semplice)

ϑ₀ = Angolo Iniziale

L = Lunghezza Filo

Attrito Trascurabile

z = 0 nel punto più basso

Lavoro Forza Peso

L_p = -ΔU_p (Forza Conservativa)

Lavoro Forza Tensione

L_t = 0

T ⊥ l dl in ogni punto della traiettoria.

Scriviamo le energie (potenziale e cinetica) in punti della traiettoria:

• ϑ = ϑ₀ (punto più alto)
• U_p = mgh
• h = L - L cosϑ₀ = L(1 - cosϑ₀)
• E_c = 0
• ϑ qualsiasi (punto generico)
• U_p = mgL(1 - cosϑ)
• E_c = 1/2 mv²

Per la conservazione dell'energia meccanica: E₁ = E₂

mgL(1 - cosϑ₀) = mgL(1 - cosϑ) + 1/2 mv²

gL - gL cosϑ₀ - gL + gL cos ϑ = v²/2

⇒ v = √(2gL(cosϑ - cosϑ₀))

In questo caso abbiamo ottenuto l'espressione esatta, valida anche nel caso di ϑ₀ "non piccoli".

Potenza

POTENZA = LAVORO PER UNITÀ DI TEMPO

P = _dL/_dt

dL = F ⋅ ds

⇒ P = F ⋅ _ds/_dt = F ⋅ v

Si misura in WATT:

W = _J/_S

La potenza caratterizza la rapidità con cui viene eseguito lavoro.

Momento angolare e momento della forza

In generale, dato un VETTORE v applicato in un punto P e dato un generico punto O, chiamato POLO, si definisce MOMENTO DEL VETTORE v rispetto al POLO O, il vettore:

M_o = OP × v PRODOTTO VETTORIALE!

Per definiz. di prod. vettoriale:

|M_o| = |OP||v|sinθ = |OH||v| = h v AREA PARALLELOGRAMMA

DIREZIONE M_o: PERPENDICOLARE AL PIANO IN CUI GIACCIONO OP e v

VERSO DI M_o: REGOLA DELLA MANO DESTRA

Proprietà del prodotto vettoriale

• ANTI COMMUTATIVA: â × b̂ = - b̂ × â
• DISTRIBUTIVA: â × R̂ = â × (b̂ + ĉ) = â × b̂ + â × ĉ R̂ = b̂ + ĉ
• NO ASSOCIATIVA: â × (b̂ × ĉ) ≠ (â × b̂) × ĉ
• In un SdR CARTESIANO

ⁱ × ⁱ = ^j × ^j = ^k × ^k = 0

ⁱ × ^j = ^k . ^k × ⁱ = ^j . ^j × ^k = ⁱ

^c = ^a × ^b = (_aⁱ + _a^j + _a^k) × (_bⁱ + _b^j + _b^k) == _ab(ⁱ × ⁱ) + _ab(ⁱ × ^j) + _ab(ⁱ × ^k) ++ _bx(^j × ⁱ) + _ab(^j × ^j) + _ab(^j × ^k) ++ _ab(^k × ⁱ) + _ab(^k × ^j) + _ab(^k × ^k) ==(_{a b} - _{a b})ⁱ + (_{a b} - _{a b})^j + (_{a b} - _{a b})^k

Se scompongo ^b = ^b_T + ^b_N nelle componenti // e ⊥ ad ^a:

^c = ^a × ^b = ^a × (^b_T + ^b_N) = ^a × ^b_T + ^a × ^b_N =₌₀

Il modulo del PROD. VETTORE è dato del prodotto del modulo di ^a per la componente di ^b perpendicolare ad ^a.

Per la prop. distributiva, e cambio il POLO del momento di un vettore _{O → O'}, vale la relazione:

^M_O = ^O'P × ^V = (^O'O' + ^O'P) × ^V =^O'O × ^V + ^O'P × ^V = ^O'O × ^V + ^M_O'

Momento angolare

MOMENTO ANGOLARE: = MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO

L = r x p = r x m v

UNITÀ DI MISURA: kg m² / s

Momento di una forza

M = r x F

UNITÀ DI MISURA: N m

Se cambio polo o → o':

L_o' = L_o + O'O x m v

M_o' = M_o + O'O x F

Se a un punto sono applicate più forze, il momento della forza complessivo è:

M = r x R == r x F₁ + r x F₂ + ... + r x F_N

In una condizione STATICA:

R = ∑ F_i + F_i' = 0

M = ∑ M_i + M_i' = 0

F_i = FORZE DI AZIONE (ATTIVE)

F_i' = FORZE DI REAZIONE (REATTIVE)

M_i = MOMENTO FORZE ATTIVE

M_i' = "REATTIVE"

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Teorema del momento angolare

^d/_dt L = ^d/_dt (r × mv) = ^d/_dt r × mv + r × m^d/_dt v

= v × mv + r × ma = r × F = M

= 0

⇒ ^d/_dt L = M

Teorema valido nelle ipotesi che:

• Il polo O sia fermo nel S_R in cui osserviamo il moto ⇒ ^d/_dt r = v
• Il S_R sia inerziale ⇒ F = ma

Conclusione: se M=0 (risultante dei momenti forze attive e reattive)

⇒ ^d/_dt L=0   e quindi   L = costante

Per valutare una variazione del momento angolare, abbiamo l'azione, per un certo tempo, del momento di una forza:

ΔL = ∫₀^t M dt

Se questo tempo è molto breve, possiamo considerare r = costante.

⇒ ∫₀^t M dt = ∫₀^t (r × F) dt = r × ∫₀^t F dt = r × j

Per il T. del momento angolare:

ΔL = r × j   (detto T. del Momento dell'Impulso)

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Esempio 1: leva

Esempio 1: LEVA

_A = 5 kg = 30° = |_A| = 2 m = |_B| = 1 m

M = M_A + M_B = 0

Momento totale delle forze

_B = ?

M_A = l_A × _A

|M_A| = |l_A||_A|sen = _{A A} cos

↑sen(/2 + ) = cos

Direzione e verso M_A: ⊥ al foglio, verso il basso

M_B = l_B + _B

|M_B| = |l_B||_B|sen' = _{B B} cos

↑sen' = (/2 - ) = cos

Direzione e verso di M_B: ⊥ al foglio, verso l'alto

⇒ M_A + M_B = 0

if |M_A| = |M_B|

_{A A} cos = _{B B} cos

_{A A} = _{B B} ⇒ _B = _AA/_B = 10 kg

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