Appunti lezione 10 Fisica 1

Oscillazioni

Oscillatore armonico semplice

Punto sotto azione di forza elastica.

Pendolo semplice / pendolo composto.

x¨(t) + ω²x(t) = 0

ω² = ^k/_m (forza elastica)

ω² = ^g/_L (pendolo semplice)

ω² = ^mgh/_It (pendolo composto)

Equazione differenziale

• Del II ordine (c'è la derivata seconda di x(t))
• Lineare (x(t) compare solo alla prima potenza)
• A coefficienti costanti 1 e ω²)
• Omogenea (termine noto nullo)

Proprietà

1. Se x(t) è soluzione di (*), anche ax(t) è soluzione di (*)

d²/dt² (ax(t)) + ω² (ax(t)) = ax¨ + aω²x = a (x¨+ω²x) = 0

2) Se x(t) e y(t) sono soluzioni di (*), anche z(t) = x(t) + y(t) è soluzione di (*)

z¨ + ω²z = (x¨ + y¨) + ω² (x + y) = (x¨+ω²x) + (y¨+ω²y) = 0

Si può dimostrare che l’equazione (*) ammette solo due soluzioni indipendenti e che la soluzione più generale è

X(t) = a sin (ωt) + b cos (ωt) a, b = costanti arbitrarie

Oscillazioni

Oscillatore armonico semplice

Punto sotto azione di forza elastica.

Pendolo semplice / pendolo composto.

Equazione differenziale

• Del II ordine (c’è la derivata seconda di x(t))
• Lineare (x(t) compare solo alla prima potenza)
• A coefficienti costanti
• Omogenea (termine noto nullo)

Proprietà

1. Se x(t) è soluzione di (*), anche αx(t) è soluzione di (*)
2. Se x(t) e y(t) sono soluzioni di (*), anche z(t) = x(t) + y(t) è soluzione di (*)

Si può dimostrare che l’equazione (*) ammette solo due soluzioni indipendenti e che la soluzione più generale è X(t) = a sin (ωt) + b cos (ωt) a, b = costanti arbitrarie

Studio del caso di un punto di massa m appeso ad una molla di costante elastica k

x = 0 ← posizione a riposo della molla quando non c'è attaccato nulla

Equilibrio statico R̅ = 0

mg - kx = 0 → x_s = ^mg⁄_k

L'equazione del moto quando il sistema oscilla è:

F = mg - kx → mg - kx = mx′′

x′′ + ^k⁄_mx = g ← eq. diff. II ordine lineare non omogenea

In generale

La soluzione di un'eq. differenziale non omogenea della forma:

x′′(t) + w²x(t) = F(t)

è:

x(t) = a sin(wt) + b cos(wt) + x_p(t)

x_p Soluzione dell'eq. omogenea corrispondente

Soluzione particolare dell'eq. non omogenea

x(t) = x_o(t) + x_p(t)

x′′+W²x = x′′_o + x′′_p + W²(x_o + x_p) = x′′_o + x′′_p + W²x′_p = f(t)

Quindi per risolvere un'eq. diff. non omogenea devo trovare una sol. particolare.

Nell'esempio del punto materiale appeso alla molla, una soluzione particolare è data dalla condizione di equilibrio statico:

x_p = x_s = ^mg/_K

Quindi la soluzione è:

x(t) = a sen (ωt) + b cos (ωt) + ^mg/_K

con ω² = ^K/_m

Questa parte può essere riscritta nella forma A sen (ωt + φ) (oppure B cos (ωt + φ)), infatti:

A sen (ωt + φ) = A [sen ωt cos φ + cos (ωt) sin φ] = A cos φ sen (ωt) + A sen φ cos (ωt)

a b

X(t) = A sen (ωt + φ) + ^mg/_K

Poste le condizioni iniziali: t=0 {X₀ = 2x_s v₀ = 0}, si ottiene

{X(0) = A sen φ + ^mg/_K = 2 ^mg/_K V(0) = Aω cos φ = 0} => φ = π/2

A sen π/2 = ^mg/_K

φ = -π/2 => A = ^mg/_K

X(t) = ^mg/_K (±1 ± sen (ωt + π/2)) = ^mg/_K (±1 cos (ωt))

X(t) - x_s = x_s cos (ωt) ↔ oscillatore intorno al punto di equilibrio statico

Energia meccanica dell'oscillatore armonico

E = E_cin + E_pot

E_c = ½ mv²

U_el = ½ kx²

x(t) = A sen (ωt + φ)

v(t) = ṙ(t) = Aωcos(ωt + φ)

E = ½ mv² + ½ kx² = ½ mA²ω²cos²(ωt + φ) + ½ kA²sen²(ωt + φ) = ½ kA² [cos²(ωt + φ) + sen²