Appunti Fondamenti di meccanica teorica e applicata

Formule cinematica

Velocità del punto

V_P = ^dP⁄_dt = [^ẋ⁢^ẏ⁢^ż]^t

Accelerazione del punto

a_P = ^dv⁄_dt = ^d2P⁄_dt² = [^ẍ⁢^ÿ⁢^z̈]^t

V_P = ^t∫ a_Pdt + V_P0

P_P = ^t∫ V_Pdt + P₀

Se il punto è vincolato a muoversi (come spesso succede) abbiamo una traiettoria curvilinea.

Traiettoria curvilinea

La traiettoria è P = [^{x(s(l,t)) y(s(l,t)) z(s(l,t))}]

La velocità è V_P = ^dP⁄_dt = [^x'⁢^y'⁢^z']^ts'

L'accelerazione è a_P = ^dv⁄_dt = ^d2V⁄_dt²

Moto rettilineo

Moto rettilineo uniforme

• a = ↵x = 0
• V = ↵x = cost
• X = X₀ + ^t∫ Vdt = > X = X₀ + V₀t

Moto uniformemente accelerato

• a = ↵x = cost
• V = V₀ + ^t∫a dt = > V = V₀ + at
• X = X₀ + ^t∫ Vdt = > X = X₀ + V₀t + ¹⁄₂at²

Formule cinematiche

Velocità del punto

V_p = dP/dt = sotto forma di vettore: V_p = ẋî + ẏĵ + żk̂

Modulo = √(ẋ² + ẏ² + ż²)

Accelerazione del punto

a_P = dv_P/dt = d²P/dt² = sotto forma di vettore: a_P = ẍî + ÿĵ + z̈k̂

Modulo = √(ẍ² + ÿ² + z̈²)

Se abbiamo condizioni iniziali possiamo procedere per integrazione:

V_P = ∫a_Pdt + V_P0

P = ∫V_Pdt + P₀

Traiettoria curvilinea

La traiettoria è: P = x(s(t))y(s(t))z(s(t))

La velocità è: V_P = dP/dt = [x′][y′] ṡ[z′]

L'accelerazione: a_P = dv_P/dt = d²v/dt² = a_P = dṖ/ds ṡ + f ȧ

Moto rettilineo (lungo un'asse direttoria rettilinea)

Moto rettilineo uniforme → se velocità è costante nel tempo quindi l'accelerazione è nulla

• a = ẍ = 0
• v = ẋ = cost
• X = ẋ + ∫_t Vdt = > x = x₀ + v₀t

Moto uniformemente accelerato → se l'accelerazione è costante nel tempo

• a = ẍ = cost
• V = v₀ + ∫₀^t a dt = > V = v₀ + ȧt
• x = x₀ + ∫₀^t Vdt = > x = x₀ + v₀t + 1/2 a t²

Moto balistico

Condizioni iniziali

• x₀
• y₀
• v₀

a_P = [0 -g]

v_P = [v₀ cosα₀ v₀ sinα₀]

(xε) P = [x₀ + v₀ cosα₀t y₀ + v₀ sinα₀t - ¹/₂ gt²]

G = t(x - x₀) = v₀ cosα₀t (la ricavo ponendo G=0 e trovo t_fine)

Moto circolare

• n̂ = versore normale
• t̂ = versore tangente

v_P = ⁠dp ̇s / ds dt = dp / ds ̇s dt = [ -sinθ cosθ] θ̇ = wrt̂

a_P = dv / ds dt = d²p / ds² ds / dt d²θ / dt² = [ -sinθ cosθ] ω̇r - r [cosθ sinθ] ω²

b = vettore tangenziale è sempre tangente alla traiettoria

Accelerazione tangenziale (se moto circolare uniforme ω costante e ω̇*t̂ = 0)

Accelerazione centripeta (sempre > 0)

Moto del corpo rigido

Consideriamo il corpo come un insieme di punti, ognuno dei quali è soggetto a specifico tratto. Se questi punti rimangono costanti durante il moto allora detto corpo rigido - Un corpo rigido è un cono indeformabile in cui quando ordiniamo di studiare il suo moto di rototraslazione dobbiamo tenere in considerazione la sua anima. Parliamo di rotazione e consideriamo opposto di un punto appartenente ad un corpo - Teorema di Galileo & Rivais. Consideriamo di avere 2 punti A e B qui interno di un corpo rigido e dobbiamo calcolare la distanza tra i due - La distanza tra A e B è uguale alla differenza tra ogni singolo punto e l’origine: (B-A) = (B-O) - (A-O) da ξ possiamo ricavare i ordinato e derivare rispetto al tempo d ricordando che ξdu = du A + ω x u(vessero) di λ illegale =>d(