Appunti Fisica generale, I semestre - seconda parte

Revisionato il 15/10/2026

di Francifatto

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti relativi alla prima parte del corso di Fisica generale I (primo semestre), redatti seguendo lezioni frontali integrando con il libro di testo. Il documento include teoria, esercizi e …

Esame Fisica generale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bertuzzo Enrico

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2024-2025

86 pagine

Appunti esame

Scarica

Estratto del documento

12/11/24

OSCILLAZIONI

OSCILLAZIONI SEMPLICI

Tutte le volte che l'eq. del moto sono delle perma

▶ m d²x / d t² = -kx (molla)

d²θ/dt² = -g/L sinθ (pendolo semplice)

d²θ/dt² = -lMg/I_cm sinθ (pendolo fisico)

Per la 2° e 3° eq., nel limite θ(t) << 1, abbiamo

sinθ ≈ θ

→ le tre eq. del moto si riducono

d²ψ(t)/dt² = -ω₀² ψ(t)

ψ(t) = x(t), ω₀² = k/m nel molla

ψ(t) = θ(t), ω₀² = g/L pendolo semplice

ψ(t) = θ(t), ω₀² = lMg/I_cm pendolo fisico

Abbiamo visto che la soluzione dell'eq. del moto è

ψ(t) = A cos(ω₀t + φ)

ampiezza

freq. angolare di osc

fase iniziale

Considerazione energetiche (molla) (stesso ragionamento vale per i pendoli)

ENERGIA CINETICA:

E_k = 1/2 m (dx(t)/dt)² = 1/2 mA²ω₀² sin²(ω₀t + φ)

ENERGIA POTENZIALE ELASTICA

U = 1/2 kx²(t) = 1/2 kA²cos²(w₀t + fi)

Quindi:

E_k = 1/2 mA²w₀²sin²( ) = 1/2 mA²k/m sin²( ) = 1/2 kA²sin²( )

U = 1/2 kA²cos²( )

w₀² = k/m

sone uguali

L'energia totale della molla e

E_tot = E_k + U = 1/2 kA²sin²( ) + 1/2 kA²cos²( )

= 1/2 kA²[sin²( ) + cos²( )]

= 1/2 kA²

COSTANTE

• Proporzionale al quadrato dell' ampiezza di oscillazione

oscillazioni smorzate

Consideriamo una molla con attrito viscoso

F_v = -bv

Eq. moto

m d²x/dt² = -kx - b dx/dt

m d²x/dt² + b dx/dt + kx = 0

Affermo che la soluzione x(t) = A e^-gt cos(wt + f)

g, w = da determinare

Derivate: dx/dt = -g A e^-gt cos(wt + f) - w A e^-gt sin(wt + f)

= -A e^-gt (g cos(wt + f) + w sin(wt + f))

d²x/dt² = -A [ -g e^-gt (g cos() + w sin())]

-A e^-gt [ -wg sin() + w² cos() ]

= -Ae^-gt [ -g cos() - w g sin() - w g sin() + w cos() ]

= -Ae^-gt {(w² - g²) cos() - 2wg sin() }

STRATEGIA : sostituiamo dx/dt e d²x/dt² nell'eq. del moto per determinare g e w

m d²x/dt² + b dx/dt + kx = 0

- mAe^-gt {(w² - g²) cos() - 2wg sin() }

- bAe^-gt (g cos(wt + ph) + w sin(wt + ph))

+ kAe^-gt cos() = 0

{m(g² - w²) - bg + k} cos() + {2mwg - bw} sin() = 0

L'eq. e del tipo g f(t) + p g(t) = 0

g = 0

p = 0

=> per garantire che l'eq. del moto sia soddisfatta vt, impongo

{

m(y² - w²) - by + k = 0

2mwy - bw = 0

}

y,w = ?

2^o eq -> w(2my - b) = 0 => 2my - b = 0

y = b/2m

Sostituendo nelle prime eq:

m(b²/4m² - w²) - b²/2m + k = 0

b²/4m - mw² - b²/2m + k = 0

-b²/4m - mw² + k = 0

w² = k/m - b²/4m²

Conclusione: x(t) = A e^-yt cos(wt + f)

è soluzione dell'eq. di Newton solamente quando:

{

y = b/2m

w² = k/m - b²/4m²

}

COMMENTI IMPORTANTI

1) nel caso dell'oscillatore semplice, w²₀ = k/m

Nel caso smorzato, w² = k/m - b²/(4m²) = w²₀ - b²/(4m²) < w²₀

Siccome dobbiamo avere w² > 0

b²/(4m²) < w²₀ per garantire che x(t) = A e^-gt cos() sia una soluzione

Quando b²/(4m²) > w²₀ NON SI HANNO OSCILLAZIONI

SMORZAMENTO FORTE

2) La soluzione x(t) = A e^-gt cos(wt + ph) e' valida solo quando

g = b/(2m)
w² = w²₀ - b²/(4m²) + w² > 0

Nel limite b -> 0, dovremmo recuperare la soluzione dell'oscillatore semplice

lim g = 0

b->0

lim w² = w²

Anteprima

Vedrai una selezione di 19 pagine su 86