Appunti esame geometria, parte su spazi vettoriali, distanze e coniche

Appunti di geometria euclidea

Corso di geometria Ingegneria informatica – UNIMORE

Indice dei contenuti del documento

Capitolo 7: autovalori, autovettori, autospazi

• Definizioni principali, polinomio caratteristico, matrice caratteristica
• Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori
• Teorema spettrale e sue conseguenze (similitudine di matrici)

Capitolo 8: spazio vettoriale euclideo

• Prodotto scalare, norma, spazio vettoriale euclideo
• Basi ortonormali e formula di Gram-Schmidt
• Trasformazioni ortogonali e complemento ortogonale
• Orientazione di spazi vettoriali euclidei e prodotti vettoriali

Capitolo 9: spazi euclidei n-dimensionali

• Spazio euclideo, proprietà e dimensione
• Sottospazi euclidei: rappresentazioni, mute posizioni, distanze e angoli
• Simplessi e volumi

Capitolo 10: elementi del piano e dello spazio euclideo

• Spazio e piano euclideo: definizione di retta e iperpiano
• Rappresentazioni di rette e iperpiani
• Mute posizioni di sottospazi: teoremi sul rango e dimostrazioni
• Distanze, formule e metodi per ricavarle

Capitolo 11: coniche

• Cenni di geometria proiettiva
• Definizione di coniche nel piano euclideo, supporto di una conica
• Polarità, polo, retta polare e tangenza di rette alla conica
• Matrice associata ad una conica, centro, diametri, asintoti, assi
• Coniche degeneri e fasci di coniche nel piano euclideo

Autovalori, autovettori, autospazi

Tsia .M-JVT UN endomorfismo ES UNOi considerandoscalare InslemeTaorsce vettOrIbeiTI -r}UI S soco .Imoltiplicanaoui per-UIT)-EVEVI CHEYEON DITSUVSIDICE AUTOVALORESSVI RIDUCENON NULLSE SOLUN SVEHTOEEAL.TELTNAMENTEA 19) DISI DICE AUTOSPAZIO-3 ' AUTOVETTORUNLTELEMENTIDTGLI SI DICONO-3 )TRISPETTOANGLI AUTOVALORI COeT9 O SONO.ss FOV SODDISFANO CONDIZIONEQUEI CHEVETTORI LAL TUVJCONQUIND -IV. UTOTUOraIEoss AUTOVALOREUN1:0 -USe} Kerle)04T)EIKEINETENDAUTOVALORE TNONESSEle

Polinomio caratteristico

SIA DIBBASE AORDINATA VPE MAT ASSOCIATALA A.TIVZISPETTOAB sistema omogeneO conIH10)( 1.flelk2) MATRICe..IE-A)ESSO AUTOSPAZIGLIRAPPR .I.-A)-IX)-wowwow genericocomponenti diuncaratteristicamatrice BrisPeTtOvettore Ab TEIKE QUANDO DETERMINANCEAUTOVALORE ILONdiljeugvaleazeROA) L eoelk*) OSS( autovaloredet ASSE -ODim. ,DICE ACARATTERISTICO MATRICESI POLINOMIO DELLApolinomioil = det( (AA t) tFu-AlElk[tJ

TEOREMA PIXIERUFFINI DIVISIBILEDI POLINOMIOUN: CX PLPER BINOMIO QUINdIiSEUN SEE SOLO 2I-O-2)PLX = ix dicesiQI7.(x-2)+rearesto) -a]La RADICELs CHE XE DIquozienTE oiisoredella bivisionE PLPEXL SSE 2I+OTEOREMA LE RADICI POLINOMIODEL CARATTERISTICO: AAUTOVALORIE GUSONO . D 1)

Esempio Be AT Fisso.lR?-sIR? -MBe-LYY)14( x-Y,2xty)y31-3aricerca degliautovaloritt -.I2-A-s t2-st+6-(t-3)(t-2)-4t.e112 E TAUTOVALORIPERSONO12=3 .RAPOR7 AUTOSPAZICARTESIANA DI. 151-10))AU 2.-1 .In244)SL =80-I+tY -7-2 URAPPRE O .2 TTYTO, .xty 2CT)ly= LU ECxYJER?,41) = (C9,2))-2x}

Conseguenze del polinomio caratteristico

GONSEGUENZE CaratTERISTICOPolinomioBeLBICE POLINOMIO CARATTERISTICO DI ENDOMOREUN MOS. ,SUA MATRICE ASSOCIATAP QUALSIASICARATTIL DI UNA. .DICE TRACCIA MATRICEDI UNA LA DEGLISOMMASI ,ELEMENTI PRINCIPALEDIAGONALEDELLA SUA .JEtCONTIENEAALE AOSS E TRACCIADILA( A))proposizione simicimatrici possiedonO: :" GLI STESSI AUTOVALORTRACCIASTESSALA polinomiO caratteristicostessoco stessolo determinanteSTESSO RANGOLO

Molteplicità degli autovalori

molteplichá degli autovaloriSi dice geometricamoltepliciá dellautovaloreI UICTBIMENSIONE DILA ), ( =JimingCh )=- UC+) n-plliIu-A)S MOLTEPLICITADICE MOLHEPLICHÁALGEBRICA LA. ,1 caratteristicOdeLradice polinomiODI comeproprietá di mng maeFIEIK LMaLTEMSU )EM)cipotrebberomaéem essereeoichéoSs SOLUZIONI ERAECCAMPO LESALE SOL .. )

Esempi T (2 XtY(.IR3-sIR xxty-z,xy,z)ts 728)+2y+t,ÇtfşrAlüftE)lêêf 2zmk)?Mã 01Jet0 t-4P -t -y1l(ti/s-A)- Aalt) malamall12-41-aurovalor, e-T )-2 )ngcalted3- -pfe-t-em eee Z-e- e9()

Teorema spettrale

teorema spettraleUnabiagonauzzabiematrice sesimiitudineperDICEsiPOSSIEDE DIAGONALEMATRICEMATRICE SIMIZE ONACOME (SPETTRALEBASEUNA DICERISPETTOSI BS)SEECOMPOSTA SOLOendomorfismo AUTOVETTORDAAB UN spettraleteorema affermareréequivalenee.A E PERSIMILITUDINEDIAGONALIZZABILE un7 00.00...ondspettrae dbaseuna-ammettEÊe BICE CHETIN SITAL CASOMg Cli SemplICEeun endomorfismOC )-n A PUOOSS MATRICE ESSERELA UN ENDOMORFADUNA MAT ASSOCIATA.

CONSEGUENZE TSPETTRALE. E-AMBCT1) AI2 ..C) MBSCT) lLLDIAGONALIZZABIE DIDIAGONAEMATRICE CAMBIAMENTOMATRICE DELBS ABBASEper similudinE DA2) VMSE T AMMETTEM AUTOVALORI DISTINTI-SVM. ,RELATIVAMENTEATBSallota VAMMETTE .SMUIR IXTEOREMA AESIA SIMMETRICA REALEMATRICEUNA: ) ,I E LJEEOMURR -A.EETE-AE-DUTMATRICEDIAGonalE)*OSS AUTOVACORI MATRICEREALICINONSE SONO LAE ,DIAGONALIZZABILE SIMILITUDINEPERNON

Criterio per matrici simili

Criterio per matrici similiMILIKDATE BEAMATRICI ESSE SONO2d , ANB ),SCRIVESISIMILI E LEENTRAMBESE ALLAMATRICI SIMILITUDINEPERDIAGONALIZZABILSONO DSTESSA DIAGONALEMATRICE . DOSS DIAGONALEMATRICE DICESILA ASSOCIATAFORMADI JORDANANCHEDimostrazione EPAEANBHp THANB-JEEOLMIRSI -S-D LsFCCClACFFEGLMERDS FY~ 3 .F=D -B(FiEl- YFlß infattiEE'ALE 1.xX.YJEuoEn inin ^-CIusIm CLs A VC . .S.=C'B.C

Spazio vettoriale euclideo

Prodotto scalare

PRObOr ANORNSCALARI ES PRODOTTOAPPLICAZIONEDICE SCALARE DONI. ,2 DIIAD VETTORCOPPiAOON .WVR T associa scalareunowevefaerPROPRIETACITE LESODDISFA SEGUENTT1 LU },VTW3-LO,VD+LO,WS linearitá9.11 LU,RV7-X-LU,V7simmeTRIALU2) LV,V7- ,07CVIVS 23) LYVJ VEOPARTICOLAREIN -OO COPPIACVOICE , EUCUIDEOVETTORIALESPAZIOS. A ,KIL E CUIEVETTORIALESPAZIO REALE SU DEFINIOUNO, scalarEprodottoun PIÓREALE PRODOTTIPOSSIEDEOONI SCALARIOSS VETTSP. . E$ SCALARE UINDDEGENERENONSILPRODOTTO ,se VETTORESvettore -un genera OONPERO.EESSOBELLO NULLOSPAZIO VETTOREIL,Esempio }VVeR )Ve" prodotto(..-(0.-.,0) scalareRYXRC standard,7: VIH"=Rq -0 EiiUVLU,BSI4LO VETY CV DICESP EUCLIDEODATO ,. . I7)EVIL NUMEROLERTNORMA DI T.C.'V-ORrmMs OE PROPRIETA PSUSAREPOSSIBILEOSS PER 3(OONI NORMAOSS PS CERTAINDUCE UNAPOSSIEDE), 1VERSORE VETTORE NORMAS.SIDICE OONI

Norma e proprietà

PROPrIETà 11.11D12) Vȩ 11 20, 11 -Ol-0v116) 11 -avlaVl IINIITIU COSUGUND TUILTRIANGOLAEY 1 .III KVSCHWARzI DIL (01,0 S06.-011 .)IZLUC VIVIL-HOIR,V7tIIVLT ) BCANCHE CeDimostrazione PONENDOa13 =I1J)- /HOH QUANDO UNOENULLJKOrsl - LTO- --WEUTB UTBVSIIWIR -.V TBYCONZEBCY-CW,WS-LU.BV,UTBVS BEVLU OTBVS COUZTBCU, ,NS ,UD)+ -,2 O IIWII 20POICHEI UIRTZBCOVSTBYINIPTRNOMIO ALOO ISFINBEZDI =D1A esaro-LON2-4I1'11012o ViuslN.1u1

Angoli tra vettori

ANGOLI VETTORIFRASIDICE VLDELLIANGOLOCOSENO -coslu 70,UVEV 1203 1111-TRA VETYORIDUE ,v) lirs-DISUGTRAMIE D SCHWARZOSS . LCOSLY,V)1.DICE VETTORIANGOLO DUEFRASI )aicosl coscuurealenumero APPARTIENECHAlL )LOA RICAVATO DA:,JTJ ILVETTOR ORTOGONALJEIS DICOND.DUE . )éprodotto scalare LANgOLOzero ossialoro ITEPARIEFRAI VET ORL A .teorema pitagoradi TIVIRENLUVITIIUIl2+0CLOROPRETà , Cehveetor 1 o.11ortogonaliimfatti l1utvIRllull 7m livipCU,v7-0

Basi ortonormali

basi ortonormaliS EDICE ORTOGONALESOTTOINSIEMEUNCHE. ,2 SUOIQ UANDO VETTORISCELT PROSUCONO.,PRODOTTO PARI ZEROSCALARE A . SEEUN ESOTTOINSIEME OZTONORMALE VEHTORE SUAPER COPPIA DIORTOGONALE OONIisitiseise-sai 3= -20,SISOTTOINSIEMEORTOGONALEBASE OONDICEORTOGONALE VETTOREDIVERSO NULLOIDAL CUILINEARMENTEINDIVETTORI SONOS BASEORTONORMALE UNA SPAZIOUNOBASEDICE DI. ,VETTORIALE EUCLIDEO CHHETALE DijceiBlep,eis -- -..en)*PROPOSIZIONE AMMETTEEUCLIDEOVETTSPOONI: ..BASEALMENO ORTONORMALEUNAPROCEDIMENTO ORTONORMALIZZAZIONEAI -GRAM-SCHMIDTBor M eiLVs-1c z( en , ei?.DaTo base Lli.,7) ORTOGOnale ,bisVY, -Ven-itEUCUDENOSS NEGL STANDARSSP .VETE. ~CANONICACONP BELA BASE ORTONORMALESTANDARD,.S.

ortonormaLproprieta . basidi VEBIVEVUEBLUIUYB CnCleconsideranDo ES-.. ) ))vi2) 7u=sei, LE RISPCOMPONENTOCONOSCE .} BORTONORMALEŽp QUALSIASIUNAAD UN6) vivi ,CUrs P PCALCOLA STANDARSCOME.- .S..S.SI componenTIsullE11a ull-rov) viriEJ coscu "-e- (E,u) ( E vi)wij2) . "=+"i=y

Dimostrazione 6punto CU viTMHo -viBe base :ortonormale. (UEB ,V)-?,U...0")VeBIV....V") isse: Leipelfp itiose,bj?-Diss-2IE VeUHfp:.20 .Eevi.eiE30 5eVi.e;CU PROPAPPLICOELEi .Ž vie J DeL a, ; .scalarE,P2- pvili,- IXjŽi ÉLs POICHE QUANDO ILLCi",Vi. zero,vi. Belala , ,C?Lois?considero JeNsoloŽevi ).1Ls VC. .D..vi WYTEOREMA EBSCELTO EUCLIDEOVETT UNASP: . .J SUWY2.1.7 QUALERISPETTOBASE ORDINATA ALSUA !b ,ortonormalerisulei . 4cor U.V3-eviriVBEWEB =3se !U,WEW" BDATA DIVM

Base ortonormale e matrici

PROPOSIZIOne ORTONORMALEBASE: jB UME MATRICELABASE ORTONORMALE SSE'OICA MULIK BEE ABERISPETTODICOMPONENTIDELLE ') (MATRICE DEL CAMBIAMENTO BASEORTOGONALE DIMATRICEB BoA T'A ).SEALSSAE UNA REALESIMMETRICAMATRICE .AT,BS rISPETTOORTONORMALEBASE SPETTRALEAMMETTET VMVYA : BIAGMATRICE-3 autovaloriilonFEEOMURDE(ASe A D5 "..E-B=M T) MATRICE BASECAMBIAMENTODEL DI ABS CUIEASSOCIATADA BASEAICA ABSPER BASIORCONORMALIZZAREBASTAOTTENERE LEOSS LCIASCUN AUTOSPAZIOD CONSIDERARNEE.E 'UNIONEEE OULIRLA COME COLONNEHAMATRICE componenti) ~DEI BS ABVETTORI D RISPETTO.

esempio X 21%)T.RS-3R åo-0(2CXY X ++ZY,2123 E,xtYtZ, +Y+LZ)A=Mñ-(Îää)BSBoUBoBue BUa12-41Aveoral Eeal

Trasformazioni ortogonali

TRASFORMAZIONI ORTOGONALI ✓TiUNA →• TRASFORMAZIONE LINEARE dicesiT >LTRASF SEORTOGONALE OSSIACONSERVA ' .,. tv ✓ TlvTu< >LU>)) ve = ,,IITIUIII IUII=/QuindiOSS LE055 MATRICECOMEHANNOORTOGONALIT . )-1=1--1( tASSOCIATA MATRICE ORTOGONALEUNACOMPLEMENTO ORTOGONALE✗ "DATO =/VC- ORTOGONALEO COMPLEMENTO• SI DICE }VEVYV-xc-XC.ir{ >×complemento = ,✗ORTOGONALE di È055 SOLO NULLODAL VETTORECOSTITUITOMinorIL )( ÈPOICHÉ ORTOGONALE IAESSO TUTTI VETTORI .1- ' }}{ { V✓ o oe= = 'EX V.V ✗QUINDI -INFATTI SE ✗ OTTIENEC- si, 4th/ >< una×" ' c-✗2) 1- )' ( ✓ i✗ ×≤ - =b) ) tie'( )Y > i<≤ ×✗ 4-SEMPE

Complemento ortogonale

PROPOSIZIONe E SSVORTOGONALECOMPLEMENTOIL: .CaDILLINEARITAGRAZIE ALLA .'> 2)Unto.Sia VeLe tallora -90311 +X)Dim cC() UNTUS VEESISTASUPPONE. pariaéper Oquinai defLVIV 3 esSOCONSIDERO toEVVEU SONECES ARIAMIN ECUI V C,VI-OLV .V.S.}siaub ssudilleoremai " hasi .dim Diesa ~U uß(tu)-m-h) BONPARTENDO SLADACOMPLET. .6) U++U-V" VmelaAD baSE di siortoromalzzauNAPOr DIVEYTORCHEIVERIFICASICOMPIETHHUC U BONDIUORTOWORMALIZZATI SONO= )) AIros SLAOSIA RAPPEESENTCHESISTEMAON:. )BoV allotaUBSPAZIO RISPETTO ACO .ViENash Jn +25)( HJi -3E-Bon U=LLH)ai... =E2e... !-M}

Esempio E-%01x+2y-32 dimU. 9x-1y-z (tu)-m-hezB J ARIAMB +V .-NONFU ORTONORMAE= ISSAEVECESS=4/69,2,-3741,9,-1)) !PUOPros B RSALIEBYS AULNCONOSCENDO .. IURAPPRESENTAZ DELECOEFFICIENT,CARTESIANA INFATTIID .. , BUOONIDIINCOONITE VETTOREQ SINGOLIDATI DAI OSONO 1.INriassumento BORTONORMALEEUCUDEOVTS CON.V. B TYUBJUIB 1-bDIBASE S A .'BASE.S.V.r 7geaa ça^ ^vP Pahüh (((( .X) x)coeff VHYUBJuUH L RAPRAP ACART DICART. .. . .ȩn { m EQ .-(u-hl-h-bea.Esempio xtytZFISSATAB -O{RYCOS USIA =3P STANDARD OE con E +tx+.S. Sx-Y-0UETUTROVARE OIRAPPBASE ART. DIM.,, f )f t opf - Ees y SISTs QUINDI-3 MINIMOIconrraco 3o .1oo JimUE