Appunti di Geometria e algebra lineare

( )Anello 1.13 definizione 2

.dotatoA ( dice anellodi due )tiinsiemeun operazioni si :se.( () abeliano1 )A è commutativit tàun gruppo,¥ (A ()ha2 )✗ YZ✗2- 2-Y 2- 2-+ ✗ ZyC- + ✗+ ysi× ez +y ==., ,( )tòdistributivi sinistradestraa ae ( )delaheliomitòA ha YX3 XY× =sic-y -, /] (tx -14 1ha elemento1 A ✗ delAC- ✗ neutrosi =c-( )

Campo 1.152 definizione

. ( )IK 2dotato di dice+ sioperazioniinsieme contro :seun -,( )IK1 commutativoanello unitat 'è un con-,,¥ (/ )]IK2 IK degli1 elementi nulli× inversoc- y≠con y✗✗ c- -o = non,, (

Spazio vettoriale 1 definizione 3

)1DefinizioneVETTORIALE 3 . .1K• campo TI dotato di• insieme V VVinterna →✗Somma + :- prodotto misto V1K V→✗i•-V spazio vettorialesoddisfattedice VETTORIALEsi se sono :( ()V )1 abelianot commutativitoiè dellaun gruppo somma,tv IlV ) tvllvtw twhaIK2 c- +sic-w =:e,( )distribuiti della di Vvita sommatato tre V ( b)haIK3 artbvsi + ✓a =c- e :( )didella IKdistribuitivitò sommattx Vtu (( ) Ylv4 Elk ha ✗✗ yvsic-y =e :,( )del prodottoassociatività mistotv V )(treha5 unitarietàvsic- " (

Lo 6)3. 1.1K spazio definizione

IK• sia un campo" }/{ ) tiIK(1K delle✗ Xi✗ E unite ordinateinsiemen= n n.. . -,, SiIKelementi definisconodi di le operazioni. ()( ))(Xi Yn✗ Yi ✗ 1+41 Ynin ++ =n .- .... ,... ,, ,,, "( ) )✗ ( IKtxn IKth settXi Xn è suuno sp=.. . ., ,, .., ..✗ ( )

IKLO definizione spazio 3.1.8

Sia IK• contoun✗ insieme• un✗ }{ funzioni* f IK✗ tutte da IKledi ✗→: insieme= adefiniamo le operazioni :( g) ( f) 1×1=181×1ft ✗fattogli )IN =È IKvettorialeè uno spazio su( )

Spazio dei polinomi definizione 1.113

.[Su ]1k definiamo le× operazioniÈ[ È )È E.i (bi ritti✗ +ai =aixi taixi[il E. = ( )

Spazio delle matrici definizione 1.133

.Sia IK• campoun IKdelle denotacoefficientimatriciinsieme M in sin✗ cona)Mmxm ( IK definitedi naturali2su esso operazionisonoeSe ( )d- () B bijaij si ponee ==( B) ( a)✗ taijbija ++ aij= =ij ij( )Ion behKz )( hannt✗an ahtan +t an- - . an -- -✗At A$21 222+192B daratazz& daziTnt+ -- -= 21 = . ..;' ;;: ;;ygn Yanµan an Yannanna Yan,, ., . ., ,, . . ., ,)( IKMmxn IK vettorialeè suspaziouno (

Sotto spazio definizione 3.1.16

VWUn vettorialesottoinsieme di dicevuoto spaziouno sinon W VVvettoriale chiusosottospazio di è<si perscrivee se,,prodottosomma :e ( )tv W chiusuraW ha1 vtwC- EsiW per somma,tw (EWW ti )ha tw1K2 chiusura prodottoc- c- sie per(

Trasposta 1)1.6.definizione

La A ( la)trasposta èdi motricemotrice hnxh aij tnxnuna =(E)definita da indici scambiatigli idij jcon=ij ,Le Àle colonne A colonnele dirighe didi sonosono ele Adirighe // ATBÌ HAIAÌBTÈ at( IaANTI SIMMETRICA = - = =

Base

{V } IKsett≠ o• susp .. 4ᵗʰ ""cherettoridi linearmente indipendenteordinatoinsiemeun sono(

Dimensione definizione 6)10.1

.Uno finitadimensionemetti di ammettedicesp si se una.base formata da talelementifinito ildi Inun casonumero ,.di Vdiceelementi dimensionedi dibasenumero siuna .La dello nulladimensione 0èspazio .(

Span definizione 1)12.1

.V metti IK• susp . ICV vettorialedato ilsottoinsieme sottospaziovasto• un non ,(da chegenerato )( èI IIindicasi Span :con (Vil contenutopiccolo sottospazio di1 contenente Ipiù èovvero)contenentesottospazio Iogniinl' intersezione tutti contenenti Idi sottospazi2 il' lineari elementitutte di3 le di Icombinazionidiinsieme (

Somma spazi vettoriali sotto definizione 9)12.1

VWi sdtoqr.net diWz• , .( UWW 2)Wz Wi+ Spam=, { } ( )[Se Wifamiglia UiwiWi diè sottospazi spam=i )(

Somma diretta definizione 12.1

12.WV sdtosp.net dello stesso sett• sp ., . .Un W V W diretta0se ine sommasono= WVV W ⊕si +scrive = (

Formula di Grassman 12.1.18

TeoremaDI GRASS MAN diV1 Vsottospazi sett finitaWz di dimensione• uno spazio, . )( ) (() ( )dim Wa Wadim dim olim WanWi Wawe ++ = -( )

Applicazione lineare definizione 13.1.1

V IKW metti• sp su, . )VKEV ette / Eliff tiniÈtre )# ha (si viv1 =. ... ./., ,,f V lineareW è→:

Teorema 13.1.2

IKV settW• sp su, .. }tv INftrtw INwev ) linearef è✓+ W: →=, Vtre f ) l fin( tvdevi )=, ( ))/

Spazio VNon 13.1.17W definizione

,V metti 1KW• susp, . V WSulle da mettono lelineariapplicare → operazionisi.( HHHg) finft 18h)( giri+n = e =l' Wdalladelletali lineariapplicareoperazioniCon insieme . ( )che homè Vvettoriale IK Wdenotaspazio siuno consu ,,(

Nucleo 3)1.definizione 14

. )(V homf WW IK Vsett• c-spazi su ,,, . /{ }(f) INV SeKer Keela fè iniettivave o== ,(

Immagine definizione 3)14.1

. )f (homV mettiW IK WV• c-susp ,, . ,) IN { }treIt faiImm V= =(150 )

Morfismi 14.1.13 definizione

lineareUn' isomorfismodiceapplicazione invertibile silineare isomorfismoisomorfiDue esistediconospazi si se un. lorotra di ( )

Formula delle dimensioni 14.1.18

TeoremaDELLE DIMENSIONIV IKW sett• susp ., .f lineareV W• : → f)f) )( (olim dim dimKer vImm+ =

Teorema 15.1.1

IKI(MmmAE•LÌ LÌmsn.r.lkMaulik ) ) AXIN→ =: ÈRÈ " ( )msn.HN msn.lk) ✗ a→ ×: =(f ' 5)

Matrice associata B definizione 15.1

BA .,,V 1kW sett• susp, .. V( base)B di• vnv1= . .. ,,' WB )( dibaseWm• we= ., . . .(f hom )UW• c- 'ha le forideialla )che vettoriBcolonnematrice rispettocoordinate basecome ,, )KIKI È:-(mi . -'' 'BB B )()( vWè dim dimmatrice mxn hinuna ore = =e( )

Matrice cambio delle coordinate definizione 15.1.12

DIEHHf) !m=È B ( )

Teorema del cambio di basi 15 1.13

TeoremaBASIDIDEL .V W metti IK• susp ., V'B dibasiB• , W' basi diC C• ,f V W lineare→• : ! Mi MIHI Mi)((1) ( )M IdvIdw -= . )(

Immker di una matrice definizione 16.1.1

e ( )AE Mmm IK• (a)(A) ( )( )Ker Ker Immla Inn la== ↳↳ Ker delladel vettore stacalcolo capire menoun ase fmatrice associata nell' diimmagine Dà[AX =DAX loo dove= -_(

Rango definizione 3)16 1

..)Mmxnllkd-• EIl la dell'Rango Adimensione diimmagineèIl la delledello diAcolonne d-di dimensioneè colonneperrango spamIl la delle Adellodimensionedi A righe dièrigheperrango spamIl ilrappresenta colonnedi righemassimorango numero olinearmente indipendenti 1)(

Rouché-Capelli teorema 17 1

TeoremaCAPELLIDI - . ( )Un atolineare di mstincognitesistema in hequazionim con ass. ,, .ha )(a) ( ato<soluzione rangorango = (a)la AXdidelledim Osoluzioni è M rango= -. w↳ di incognitenumero IoYodata AXtutte leIosoluzione di d- di✗ altre soluzioni =una = ,✗ Yt Yo Ytipo soluzione deldel sistemasono con omogeneo= (Se b)(A) ( )R ilalR solahasistemaincognite solan°n 1• = = .(Se (a) b) il infiniteRR ha<al in soluzsistemar• == .

Determinante

"È " "((a) -11 ariadet = K 1-_proprietà : )at(dit (A) det- = )( ildit (A) di d-ai 'invertibile hf- < rango eo- dit ) ( )detta)( ditAB B=- dit Il 1( =- 1-)detta " =- detta) sullesulleMulticinemaè colonnerighe e- (alternante sulle duesulle scambianorigheè colonne sisee- )colonne cambiarighe o segno,( "lta) dettadit ) l' adiné ordineove- = dettanulla )A ha rigauna- (A)ha detA ugualidue righe o=- )( (a)detdiplinha =Dd- altramultiple l' dell'due righe una- .. (a)altredi ditd-linconti diA righedi iuna riga- . "elementarel' " ✗ il determinanteRi Rj cambiaof + non- . elementideterminante degliil matrice ilè prodottotriangolaredi una- sulla diagonaleil determinante d- tenendocalcolare riducendo scalapuòsi ea- elementariconto tutte sullecontributi di ledei righeoperazionitutto dettoquanto anche colonnele levalerigheper per- (a)la 1matrice ditORTOGONALEè ±=- 'determinantiCriterio FORMA BILINEAREdei principali Euna- determinantitutti positiviprincipaliDEFINITA iPOSITIVA suoise sono( )

Cofattori 19.1.1 definizione

19.1.1COFATTORI Definizione)( KMnxna&bul