Appunti e prova esame Analisi 1

Integrali impropri

T⁴(3^ln(x))∫ g(ln(x)) ⇒ ∫ g * n (x + zk(n(x)))∫ g(x) = ∫ g(x)∫ ₁(x₃) = -∫(x)- ∫ g^x4 dln(x)- ∫ g _ (ln(x))= T_{g ^-1 (gln(x)) = -g(x)}t⁻¹(sin(x))∫(sin(x)) = ∫( xⁿ log(x+z⋅ln(t)))∫ g(x) - ∫ log(x)∫(x) = -∫(x)8.∫(x)⋅x⁻¹ ⋅d ln(x)-∫(x⁻¹ ⋅ln(x))=∫(x⁻¹ ⋅ (g ln(x))) - ∫(x)

• Integrare funzioni non limitate
• Integrare funzioni su intervalli non limitati

Es. esempio: f:[a,b[ -> ℝlim_x->bf(x)=+∞f:[a,b[ -> ℝ e lim_x->bf(x)=+∞

Definizione

Definisco: ∫_a^bf(x)dx=lim_ε->0∫_a^b-εf(x)dx

In senso improprio

Chiamiamo integrale in senso improprio di f: ∫_a^bf(x)dx=lim_ε->0∫_a^b-εf(x)dx

• Se I esiste ed è finito allora diciamo che f è integrabile in senso improprio
• Se I = +∞ (o -∞) si dice che è integrabile
• Se I non esiste si dice che l'integrale non esiste

Osservazioni

Osservazioni lim_x->af(x)=+∞ (∀-0)

Es. esempio: Stabilire per quale x era la funzione f(x)=¹⁄_(b-x)^α Integrabile in senso improprio su ]a,b[

Procedi: ∫_a^b-ε1⁄_(b-x)^αdxlim_x->b^x-ε⁄_b-x=+∞

I_ε=∫_a^b-ε1⁄_b-xdxlim_ε->0I_ε=?a = 2, α = 1

Calcolo ∫_a^b-ε1⁄_b-xdx= - log |b - ε| + log |b - a|lim_ε->0 per α ≥ 1 la funzione f_α(x) = 1 / (b - x)^α non è integrabile in senso improprio da ʃ_a^b f_α dx = +∞

Se α + 1 = 1 + b - ε ʃ^b-ε_a (b-x)^-1 dxlim ε→0 ʃ_a^b f_α dx = lim ε→0 ʃ_a^b ( (ε^-1-(b-a)^-1) ) = ∞

E: ʃ^b_a dx = lim (ε→0) ʃ_a^b-ε dx (E^-1-(b-a)^-1) = 1/((α-1))

Se ʃ_a^b 1/(x-a)^α dx converge se e solo se α < 1

Criteri di integrazione

Assume f,g : ]a,b] → R continua etc. lim x→b^- f(x) = lim x→b^- g(x) = +∞

Criterio dal confronto

ʃ_a^b f(x) dx, con lim x→a⁺ f(x), g(x) etc. e xg ∈ integrabile ⇔ f integrabile

Perché o 1/x -ʃ^b-ε_a+ε f(x) dx a^b-ε g(x) dx

Criterio dal confronto asintotico

Se ∃ f,g, x > 0 e lim g(x)/x→b^- (g(x) integrabile ←→ g integrabile) esempio risolvere ∫ (dx/sqrt(1−x²)) = I

∀f(x) = 1/(sqrt(1−x²)) è integrabile in senso proprio se [0,i]f : (-d, c) → Dir continua con lim x→a⁺ (sqrt(1−x²))^3/6 = +∞ ⇒ f non è limitata

ʃ⁰_a f_α dx è esempio ∫₅³dx     esempio ∫₀³ x = -2x - 5x - 0 x⁴ = 5x⁴ + 0       2. -D (a, b) continuo esempio f(x) = ¹/ _x² - 5 f(x) = ¹/_{(x-1)(x-2)(x-3)}   ∫ : esempio ∫ ¹/_x   sen ^1/x (x)   [\sup ] 0 e-x   [\=] Possono esistere ⁰/ ∫ esempio ¹/ x)

OSS1: In alcuni casi riesco scrivendola "integrale in...iscome caso2) interrompi su intervalli nondicar liamini esempio ^[a]/_^∞)