Appunti e formulari Algebra lineare e geometria

Vettori

v = lambda w -> Paralleli (v//w)

stessa direzione

lambda > 0 (stesso verso)

lambda < 0 (verso opposto)

det(v, w) = v x w = 0 -> Paralleli (v//w)

v x w = | v₂ v₃ | , - | v₁ v₃ | , + | v₁ v₂ || w₂ w₃ |     | w₁ w₃ |     | w₁ w₂ |

v · w = 0 -> Ortogonali (v perpendicular w)

Il vettore nullo è parallelo e ortogonale a qualsiasi vettore

Proprietà dei vettori

Proprietà: (lambda + mu)v = lambda v + mu v v · v >= 0 (non negatività) v · v = 0 <=> v = 0 (annullamento)

U(v₁..v_u) = {lambda₁v₁ + ... + lambda_uv_u} -> Insieme di combinazioni lineari

Vettori e direzione

Vettori^v = _> u -> Paralleli (^v // ^w)

stessa direzione

>0 (stesso verso)

<0 (verso opposto)

det(^v,^w) = ^v x ^w = 0 -> Paralleli (^v // ^w)

^v x ^w = | v2 v3 | , - | v1 v3 | , + | v1 v2 || w2 w3 | | w1 w3 | | w1 w2 |

^v . ^w = 0 -> Ortogonali (^v ⊥ ^w)

Il vettore nullo è parallelo e ortogonale a qualsiasi vettore

Proprietà: (₊u)^v = ^v + ^{mu v}.^v ≥ 0 (non negatività) ^v.^v = 0 <=> ^v = ⁰ (annullamento)

Insieme di combinazioni lineari

Base canonica

i = (1 0 0)     j = (0 1 0)     k = (0 0 1) -> Base canonica R3

u = x_u i + y_u j -> vettore scritto con la base canonica

Proprietà: u + v = (u x + v x)i + (u y + v y)j + (u z + v z)k a u = (a u x)i + (a u y)j + (a u z)k

i i = j j = k k = 1

i j = 0

i k = 0

j k = 0

i x j = k

k x j = i

k x i = j

Norma e versore

|||v||| = sqrt(v1² + v2² + ... + vn²) = scalare -> Norma

|||lambda v||| = |lambda| . |||v|||

|||v||| = 1 -> Versore (^v)

1 / |||v||| v -> versore associato (è sempre un versore)

d(P,Q) = ||P - Q|| (teorema Pitagora)

||v + w||² = ||v||² + 2v . w + ||w||²

|v . w| <= ||v|| . ||w|| (= se paralleli) -> Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

||v + w|| <= ||v|| + ||w|| (= se stesso verso) -> Disuguaglianza triangolare

||v - w|| <= ||v|| - ||w||

||v + w|| >= ||v|| - ||w||

v . w = ||v|| . ||w|| . cosθ

θ = arccos ( (v . w) / (||v|| . ||w||) )

Proiezione ortogonale e componenti

P_w(u) = (w . u / ||w||²) w -> Proiezione ortogonale di u su w (w//)

w . u > 0 (stesso verso di w)

w . u < 0 (verso opposto a w)

w₁ = w - w_// -> componente normale

w₂ = w_// - w₁ = 2 (v . w / ||v||²) v - w -> vettore simmetrico

Aree e volumi

|det(v,w)| = ||v x w||

|det(B-A,C-A)|

||(B-A) x (C-A)||

Area parallelogramma

1/2|det(v,w)|

1/2|det(B-A,C-A)|

1/2||(B-A) x (C-A)||

Area triangolo

det(B-A,C-A) = 0

(B-A) x (C-A) = 0

Collineari (giacciono sulla stessa retta)

|det(u,v,w)| = u . (v x w)

|det(B-A,C-A,D-A)|

Volume parallelepipedo

1/6|det(u,v,w)|

1/6|det(B-A,C-A,D-A)|

Volume tetraedo

det(u,v,w) = 0

det(B-A,C-A,D-A) = 0

Complanari (giacciono sullo stesso piano)

Proprietà del prodotto vettoriale

Proprietà:

||^→v x ^→w|| = ||^→v|| ||^→w|| sin o

^→w x ^→v = -^→v x ^→w (antisimmetria)

^→w_u = ((^→o x ^→v).^→w / ||^→o x ^→v||²) ^→o x ^→v -> proiezione ortogonale di ^→w su ^→u x ^→v

^→w_p = ^→w - ^→w_u (giace sul piano dei vettori ^→u e ^→v)

^→w_p = ^→w_p - ^→w_u = ^→w - 2 ((^→o x ^→v).^→w / ||^→o x ^→v||²) ^→o x ^→v -> vettore simmetrico

Matrici

Si possono sommare due matrici solo se hanno le stesse dimensioni

-A = -(A) -> matrice opposta

A - B = A + (-B) -> differenza di matrici

rC = a1+b1+...+aubu = scalare -> prodotto riga per colonna