Appunti e formulari Algebra lineare e geometria

VETTORI

\(\vec{V} = \lambda \vec{\omega} \rightarrow \text{PARALLELI} \, (\vec{V} // \vec{\omega}) \\\text{stessa direzione}\)

\(\lambda > 0 \, (\text{STESSO VERSO}) \) \(\lambda < 0 \, (\text{VERSO OPPOSTO}) \)

\(\text{det} (\vec{V}, \vec{\omega}) = \vec{V} \times \vec{\omega} = 0 \rightarrow \text{PARALLELI} \, (\vec{V} // \vec{\omega}) \)

\(\vec{V} \times \vec{\omega} = \begin{vmatrix}v_2 & v_3 \\\omega_2 & \omega_3 \\\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}v_1 & v_3 \\\omega_1 & \omega_3 \\\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}v_1 & v_2 \\\omega_1 & \omega_2 \\\end{vmatrix}\)

\(\vec{V} \cdot \vec{\omega} = 0 \rightarrow \text{ORTOGONALI} \, (\vec{V} \perp \vec{\omega})\)

IL VETTORE NULLO È PARALLELO E ORTOGONALE A QUALSIASI VETTORE

PROPRIETÀ:

• \((\lambda + \mu) \vec{V} = \lambda \vec{V} + \mu \vec{V}\)
• \(\vec{V} \cdot \vec{V} \geq 0 \, (\text{NON NEGATIVITÀ})\)
• \(\vec{V} \cdot \vec{V} = 0 \Leftrightarrow \vec{V} = \vec{0} \, (\text{ANNULLAMENTO})\)

\(\mathcal{L} (\vec{V_1} \ldots \vec{V_u}) = \{\lambda_1 \vec{V_1} + \ldots + \lambda_u \vec{V_u} \} \rightarrow \text{INSIEME DI COMBINAZIONI LINEARI}\)

VETTORI

            _{→ →}^V = λ ^ω → PARALLELI (^V // ^ω)  stessa direzione

                  ^{→     →}det (^V, ^ω) = ^V x ^ω = 0 → PARALLELI (^V // ^ω)

                                         ^{→          V₂              V₃_V x _ω =    |                   |   - |                |   + |                  |      & _{ω₂          ω₃} |        - _{V₁          ω₃} |   + |          V₁       V₂                               &sub> ω₁          ω₂           ω}

^{&sup>V・_{ω = 0 → ORTOGONALI (V ⊥ ω)}}

IL VETTORE NULLO È PARALLELO E ORTOGONALE A QUALSIASI VETTORE

_{→ →  → →}  ≥ 0   (NON NEGATIVITÀ)• ^V・^V• ^V・^V = 0 _⇔ ^V = ^→ (ANNULLAMENTO)

ℓ (^V_₁, ..., ^V_ᵤ) = { λ^V_₁ + ... + λᵤ^V_ᵤ }→ LINEARI

_i = ( 1 0 0 )

_j = ( 0 1 0 )

_k = ( 0 0 1 ) ➔ BASE CANONICA R3

_u = x_ui + y_uj ➔ VETTORE SCRITTO CON LA BASE CANONICA

PROPRIETÀ:

• _u + _v = (u_x + v_x)_i + (u_y + v_y)_j + (u_z + v_z)_k

• α_u = (αu_x)_i + (αu_y)_j + (αu_z)_k

• _i • _i = 1 _j • _j = 1 _k • _k = 1
• _i • _j = 0 _i • _k = 0 _j • _k = 0
• _i x _j = _{k j} x _k = _{i k} x _i = _j

||_v|| = √v₁² + v₂² + ... + v_u² = • scalare ➔ NORMA

λ_w||_v|| = |λ| • ||_v||

1/||_v|| ➔ VERSORE ( ^{^v} )

1 = v ➔ VERSORE ASSOCIATO (è sempre un versore)

||_v - _w|| _y