Appunti e Esercizi con svolgimento per l'esame di Geometria e algebra lineare

Revisionato il 27/07/2026

di MaxGsp

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Appunti su operazioni elementari tra insiemi, combinazioni lineari, vettori linearmente dipendenti e indipendenti (Definizione e come riconoscerli) , Spazi Vettoriali, Sottospazi vettoriali, …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Paoletti Raffaella

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2022-2023

75 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Insieme

Raggruppamento di elementi con o senza struttura.

a ∈ A

#Cardinalità = n° elementi

F = {1, 2, 3}

#(F) = 3

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano

A x B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Applicazioni tra insiemi

Applicazioni tra insiemi

Leggi che ad ogni elemento di A associa un preciso elemento di B.

f: A -> B iniettiva se: ∀a, a'₁ ∈ A f(a) = f(a₁) => a = a₁

f: A -> B suriettiva se: ∀b ∈ B, ∃a ∈ A | f(a) = b

Singolo elemento di A

A, B sono finite => #(A) = #(B)
f: A -> B biunivoca
f': A^-1 -> B biunivoca
f^-1: B -> A

Insieme

Raggruppamento di elementi con o senza struttura.

a ∈ A

#Cardinalità = n° elementi

F = {1, 2, 3}

#(F) = 3

Prodotto cartesiano

A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Piano cartesiano è dato da R×R

Applicazioni tra insiemi

Leggi che ad ogni elemento di A associa un preciso elemento di B.

f: A → B iniettiva se: ∀a,a' ∈ A f(a)=f(a') => a=a'

I.s. due oggetti di A non vanno nello stesso oggetto di B.

f: A → B suriettiva se: ∀b ∈ B ∃a ∈ A | f(a)=b

I.s. tutti gli elementi di B sono portati da almeno un elemento di A.

2 elementi ∉ d A

unico elemento ∉ d B

funzione unica elemento d A

2 elementi ∉ d B non è funzione

f: A → B sia iniettiva e suriettiva → biunivoca

X A, B sono finiti

=> #(A) = #(B)

f: A → B biunivoca

X f: A → B biunivoca

f⁻¹ è Applicazione inversa

f⁻¹: B → A

se l'applicazione f non è iniettiva, f^-1 non esiste protto 2 elementi di B

se l'applicazione f non è suriettiva, f^-1 esiste ma è limitata al codominio di B

f: A -> Im B

f^-1: Im B -> A (e iniettiva)

3) _{f: A -> B biunivoca}

ogni elemento di B possiede uno e uno solo elemento di A

_suriettiva _iniettiva

Applicazioni particolari

Id: Identica

Id: A -> A

Vale: Id(a) = a

Composizione

• Composizione

f: A -> B e g: B -> C

g ⋅ f: A -> C

(g ⋅ f)(a) = g (f(a))

Inclusione

i: A ↦ B

A = {1,2}

a ↦ a

B = {1,2,3,4}

A ⊆ B

1 ↦ 1

2 ↦ 2

Proiezioni

A x B ↦ A

(a,b) ↦ a

A x B ↦ B

(a,b) ↦ b

Complemento

Complemento

C_A = {x ∈ U, x ∉ A}

C_A = A^c

A^c = U \ A

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Formule di De Morgan

A ∪ A^c = U^c (insieme universo)

A ∩ A^c = ∅ (insieme vuoto)

Operazioni

Unione
Intersezione
Complemento
Uguaglianza

Combinazioni lineari

Operazione fondamentale che basa degli spazi vettoriali.

Uno spazio vettoriale è vettorializzato dalle possibilità della somma e moltiplicazione.

Chiò la combinazione lineare è "l’anima" di quello che facciamo.

La combinazione lineare è V₁, V₂, ..., V_k [vettori] con coefficienti[σ_es]: λ₁, λ₂, ... λ_x

Il vettore finale è λ₁V₁ + λ₂V₂ + λ_nV_n somma di vettori allungati o accorciati a seconda di λ.

Questa è l'ipotesi di base che si può fare in uno spazio vettoriale. Tutti i vettori prodotti con queste regole sono generati da V₁, V₂, V_n... V_k.

w_k = Σ_k

wʃ = 0 la combinazione lineare del solo vettore nullo dà come risultato il vettore nullo.

awʃ = 0

Se invece w non è il vettore nullo fare la combinazione lineare λw, somma i multipli di w, ma tutti i multipli ottengo tutti i vettori che si appoggiano sulla retta di w.

span{wʃ} = {λw/λ E[re]

insieme dei vettori generati da w

Discussione: grado di libertà

Discussione: nulla = 1

Ex: Generatori

span = {w₁, w₂} = {λ₁w₁, λ₁w₁/λ₁, λ_t E[re]}

Dentro prima avevamo isolato il vettore nullo, ora λ può dare una configurazione generica di w₁, w₂ allunga un piano

V = λ₁w₁ + λ₂w₂

Lo stesso con somma è W₁W₂

Due ₁ e ₂ potrebbero esser // e in quel caso si ottiene una retta. Sommando ₁ + ₂ + ₃ o si rimane sempre sullo stesse retta

Quindi si può avere al massimo 2 dimensioni.

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