Appunti di Teoria dei sistemi/FSD

Stabilità

f(x(t) supponiamo sistemault))X(t) ultidi costante applicare stazionario Sia ieun= = ;, equilibrio stati diglipossiamo allora cercare . ( )tX< che cheesista È tale

Supponiamo almeno unone * costante resta f(X9 i),=n 라 FEIR"(Lyapunov) stato si dicelo stabile DEFINIZIONE se: , movimento Xt)Il X6 dettoVE 7630 il dgenerato iniziale Xxo estato0> :, _Il che * E Vt2tale x(t)11 to

Sia -(t)×( asintolicamente stabile Xo{Is elfascia all'interno dellastabile~ (rimane Xε instabile Xot stabile è se dicesi instabile non· /IX(t)lim -II è stabile asintoticamente stabile allora se x Xo0 è =· e -> st sisi distanza misura la tempo annullala col~ con norma :

definizioni date riferiscono stazionari, Le sistemi globali deisi proprietà appena LOCALI nona .stati Infatti equilibrio stabilità diverse di più diconvivere proprietà possono con .

Metodo di Lyapunov

Introduzione

Per presentare il metodo di Lyapunov occorre prima introdurre alcune definizioni relative a funzioni scalari di variabile vettoriale. () ∈ ℝ = 0 Una funzione scalare del vettore si dice definita positiva se si annulla in e assume valori strettamente positivi in tutti gli altri punti di un suo intorno.

= 0 Se invece si annulla in e assume valori positivi o nulli in un suo intorno allora si dice semi-definita positiva. () −() Analogamente, si dice definita negativa (semi-definita negativa) se la funzione è definita positiva (semi-definita positiva).()

Inoltre una funzione si dice radialmente illimitata nel caso in cui: lim () = +∞ lim () = −∞ ――→∞ ――→∞

Tra tutte le funzioni scalari di variabile vettoriale ce nne sono alcune particolari che si costruiscono attraverso delle matrici costanti e vengono dette funzioni in forma quadratica.() è detta in forma quadratica se: () = ∈ ℝ con nucleo (della forma quadratica)()

Se è come forma quadratica (semi-) definita positiva/negativa allora lo è anche il nucleo associato.

Metodo di Lyapunov

Come già sappiamo le proprietà di stabilità dell’equilibrio sono definite per un sistema stazionario soggetto () = ̅.a ingresso costante ̅ = 0 (0, ̅) = 0.

Supponiamo che sia di equilibrio e che quindi risulti (), Quindi data una funzione scalare si definisca la sua derivata temporale come () () () () ̃ () ()= = = ̃ = ((), ())

Criterio di stabilità di Lyapunov

• ̃() ⊞ () ⇒ ̅ = 0 definita positiva definita negativa asintoticamente stabile
• ̃() ⊞ () ⇒ ̅ = 0 definita positiva semi-definita negativa stabile
• ̃() () Se esiste una funzione globalmente definita positiva, radialmente illimitata e tale che sia globalmente definita negativa, allora lo stato nullo è l’ unico stato di equilibrio globalmente asintoticamente stabile del sistema.

̃() ⊞ () ⊞ () definita positiva radialmente illimitata definita negativa ⇒ ̅ = 0 globalmente asintoticamente stabile

Criterio Lasalle di Oninequilibrio

= VIX) semi-definita definita negativa XVIX) che positiva On stabile è Sia soe =, VX)On l'unico accade XxESXin movimento intorno che che siS di allora0,se genera>un = =(x(t) 0) allora asintoticamente è Onnullo stabile è quello == ,

On*equilibrio in +

Ha d'equilibrio f(xf(x(t) chestato ult) n Onu(t)X(t) Qnlo i)stazionario & Se sosistema peril == = ,,, dell'equilibrio quindi Bisogna nell'origine riportarci al caso stato traslando lo stofare consideriamo È ) *(t( )(tt )(t *dinecessario )cambio variabile Z×≍×Z +un =i =-{

Consideriamo variabile nuova trasformazione stato di stato di*z ** 8 )L(t))(t (Lt) )(t ) *) (t>( (( t>tma X uZ +== =u- = ,,∑n f(z stati questo di Onequilibrio Gli di dati sistema i)da +*,sono =f(Xf la è On argomentala ,quandostessa è primo) ilossiaema = ,f(EÈ facile che XQu i)notare Z On+ +per == , che statoho vecchio modo taletraslato Quindi lo quello in nuovo equilibrio di stato Qabbia lo instabilità Edi di proprietà On +Qutrasferiscono si di Le quellea=

Metodo di Lyapunov per sistemi LTI

Il ) AX((× t Bult)) Lyapunov t -Q+= Si definisce P PAdiequazione LTI + =_(L 3) )CX(t Dultφ _+= definite matrici positive P Qcon , trasposto) simmetriche Cossia uguali al proprio stato !non uno&

Teorema asintoticamente stabile sistema )(condizione è suff matrice Q.soloseun see nec per unae . defmatriceche positiva definita simmetricaP simmetrica esistequalsiasi sia positiva, una ee, dil'equazioneche soddisfa Lyapunov

Stabilità sistemi LTI

_]* II*76VEso (t)-II 1lll Xo- [Ex=0> : STABILITÀ, DEFINIZIONE lim asintoticamente (generical,poi stabile XIIIlx(t) è0Se =- -t- c { ) AX((X t Bu ))t (t+ -AlBü= *alloraperc LTSe X(0) Xocon에 = =(t )) )CX(t Dultφ t= Èstato

Consideriamo chiameremo iniziale vicino che Xeallora uno a o,8xofraiduee /Xo X +9) X X1Vettore scostamento > =10: = 0- ,haPoniamo distato equilibrioche >sistemaiult)poi ingresso questoin comea= inizialeparte X2condizionedallaorama 0, .

feAtx2 BüdeAXaXa (t) Buㅣ Per(t) Xa(t)Lagrange+ +== : 0,t)+( ̄D=tφ; Cxa()X( ) XO = 9 o. Sx(t) bx(t)fraLoscostamento Xa(t) YXAlt) *Xalt) ex è > +== -Sx)

derivataPer studiare tempo nelvedere devo ossiacambia dinamicala la,comedello scostamento : =V A(bx(t) ASx(t)-(t) Bux)A(t) Abx(t)AxAxa(t) BiBu ++ ++ =+= == =- ー_음 。( )tXaJx(t) ASx(t)

Conclusione

=: equilibrio che sistema scostamento dinamiche il le stato dello dello di Oss segue: dall'ingresso Xdi Adal !!.dipende da dipende né valore soloneno n, maL'evoluzi