Appunti di Tecnica delle Costruzioni Teoria (Telai) - Parte 1

Tecnica delle costruzioni - Parte 1

Travi

1. Modello di trave

Quando affrontiamo un corpo continuo 3D, siamo interessati a conoscere lo stato deformativo. Definiamo una superficie Sf del corpo, sulla quale andiamo a definire i carichi di superficie fi.

Poi abbiamo una zona Su, che è la zona dove il corpo continuo risulta vincolato. In questa regione gli spostamenti Si sono assegnati, cioè i punti di questa superficie avranno degli spostamenti che sono nulli se il vincolo è perfetto, oppure sono assegnati, e parleremo di cedimenti.

Il solido ha un suo volume V e all’interno del volume ci sono le forze di volume Fi, cioè in ogni punto c’è una forza di volume con le sue 3 componenti.

Se questo solido è vincolato e caricato, se il corpo è continuo ed elastico, la soluzione esiste ed è unica, e noi vogliamo determinare lo stato deformativo in termini di spostamento e deformazioni, e lo stato tensionale.

Ipotesi

Le ipotesi che ci permettono di dire che questa soluzione esiste ed è unica sono:

• È un continuo che non è capace di trasmettere delle micro-coppie.
• Continuo deformabile alla Cauchy: non esistono micro-coppie. Estraiamo una porzione di continuo, ed andiamo a raffigurare le forze, abbiamo un momento ! M e a una risultante ! R, questi vettori sono gli sforzi che vengono applicati dalla restante parte di continuo a questa porzione.

Possiamo dire che quindi se estraiamo una porzione di superficie ! s e applichiamo ! M e ! R, anche in questo caso possiamo dire che non esistono anche microforze di superficie.

Questo è il significato di un continuo alla Cauchy che non ammette microcoppie di superficie e di volume.

• Ipotesi di piccoli spostamenti e di piccole deformazioni: nel continuo secondo ordine questa ipotesi verrà rimossa.
• Materiale elastico iperelastico, omogeneo e isotropo: un materiale iperelastico, è un materiale che ammette potenziale, quindi esiste una energia elastica, se tu mi dai un valore tensionale finale, il valore energetico è univoco. Se utilizzo questa ipotesi non posso studiare un materiale che dissipa ciclicamente.

Omogeneo vuol dire che il comportamento di tutti i punti è lo stesso, il legame costitutivo è uguale in ogni punto. Isotropia, vuol dire che il comportamento in un punto non si differenzia a seconda della direzione che sto considerando, il legame rimane inalterato per tutte le direzioni.

Equazioni disponibili

2 !ij

Se ci fermassimo qui non abbiamo sufficienti equazioni perché avrei del di 6 incognite tensore sforzo (6 e non 9 perché il tensore è simmetrico, quindi il materiale è alla Cauchy cioè non esistono microcoppie), del di 6 incognite tensore deformazione che è simmetrico per definizione e di 3 componenti spostamento s.

Quindi 15 incognite e 9 equazioni, ci manca il legame costitutivo.

Se facciamo ora un bilancio, abbiamo 15 incognite 6=!ij 6="ij 3=si e 15 equazioni 3 equazioni di equilibrio, 6 equazioni di congruenza e 6 equazioni di legame costitutivo quindi la soluzione esiste ed è unica.

Passare da un corpo 3D alla trave

Il continuo trave lo caratterizziamo da un punto di vista geometrico, ha una dimensione geometrica prevalente rispetto alle altre due. L’obbiettivo del modello di trave è conoscere lo stato deformativo e tensionale in ogni punto di questo corpo 3D conoscendo soltanto la deformata del suo asse.

Vado a caratterizzare la geometria prevalente in una direzione, con la sola linea baricentrica, e conoscendo la deformata di quella linea io voglio conoscere, sotto certe ipotesi, lo stato tensionale e di deformazione di quella struttura.

Ci sono però situazioni in cui questa semplificazione va in crisi, per cui nella storia si è passati per gradi a esaminare innanzitutto problemi in cui, il corpo continuo abbia in realtà una dimensione che risulta sì prevalente, ma dove le altre due sono non trascurabili, come una trave parete.

Per trasformare un problema 3D in un problema piano negli sforzi, occorrono certe ipotesi:

• !z=0
• Se abbiamo un sistema di riferimento come il nostro. Cioè questo corpo è prevalentemente caricato nel piano X Y e i carichi che agiscono lungo Z sono trascurabili. Se usiamo questa ipotesi, io posso immaginare di ridurre questo corpo continuo 3D a sole due dimensioni prevalenti.

Cerco di andarmi a studiare il comportamento nel piano, e per farlo ha pensato di andare a introdurre il concetto di sforzo medio.

Fatto questo ecco che il generico problema 3D diventa un problema piano negli sforzi. Mi serve un’altra ipotesi ma lo vediamo dopo.

La mia trave non abbia componenti vincolate di spostamento, se io mi limito a considerare lo sforzo medio io posso dire che le componenti di spostamento sono 2. Quindi la componente di spostamento lungo Z la ignoro anche se dovesse esistere.

Gli sforzi invece saranno le seguenti componenti medie, mentre le componenti deformative saranno quelle ad esse associate. Tutte queste sono funzioni del generico punto che viaggia nel piano medio, quindi se vado a scrivere.