Appunti di scienza delle costruzioni

Tensori degli sforzi

Rⁿ = odn_x dn_y dn_z dF = t_n dxdy - txdydz - ty dx dz + t_m dΩ = ot_n = t_xx t_yx t_zx t_xy t_yy t_zy t_xz t_yz t_zzΩ xΩ yΩ zt_xdx + t_ydy + t_zdz = t ᶯ^x t_xyx + t_yy + t_zy dz = t ᶯ^y t_xdx + t_z dΩ = t µ^z dΩ = Ωm dΩx dΩ = Ωm dΩy t_xdx + t_ydy + t_zdz Fv t_xy dℝ vxdv = d^y dx^z- dy = 0c^x c^y = M = oσ^x y^e dy/3 σ^y xδx - δy non producono momento perché hanno direz. concorrente con a; t_xz t_yz sono paralleli dall'asse a; τ_u ᶯ F^v sono opposti in at_zy dΛ dx - τ_yx dxT_xy d_x - T_yx d_xy + dΩ = √(dη_x² + dη_y² + dη_z²) dΩ / dη_x = dη_x dΩ / dη_y = dη_y dΩ / dη_z = dη_z t_m dΩ = -dΩm(t_x dx + t_y dy + t_z dz) = t⋅m t_n = ^dξ / _dn² M(a) = 0dξ_x, dξ_y non producono momento perché hanno direz. concorrente con a; τ_xy dΩ⋅χ dx / 3 - τξχ dΩ⋅dy / 3 = 0dV = dx dy dz / 3 τ_xy dx / 3 - τξχ dx = 0 τ_xy = τ_yx.

Esprimere il tensore degli sforzi

È possibile esprimere il tensore degli sforzi σ come: σ = p I + σ'. p I rappresenta lo stato di sforzo idrostatico. p I = dove σ' = σ - p I =

^{σ_x - (σ_x + σ_y + σ_z) / 3}   τ_xy   τ_xz τ_xy   ^{σ_y - (σ_x + σ_y + σ_z) / 3}   τ_yz τ_xz   τ_yz   ^{σ_z - (σ_x + σ_y + σ_z) / 3} p I = ^{(σ_x + σ_y + σ_z) / 3}   0   0 0   ^{(σ_x + σ_y + σ_z) / 3}   0 0   0   ^{(σ_x + σ_y + σ_z) / 3}

G = ^{2σ_x - σ_y - σ_z / 3}   τ_xy   τ_xz τ_xy   ^{2σ_y - σ_x - σ_z / 3}   τ_yz τ_xz   τ_yz   ^{2σ_z - σ_x - σ_y / 3}.

Materiale elastico

Se il materiale è elastico: p I è responsabile solo del cambio di volume ma non di forma; σ' è responsabile dei cambiamenti di forma a volume costante.

N.B. I_σ = (2σ_x - σ_y - σ_z / 3) + (2σ_y - σ_x - σ_z / 3) + (2σ_z - σ_x - σ_y / 3) = 0 => I_σ' = 0 se lo stato di sforzo è puramente deviatorico.

Le stesse considerazioni valgono per la parte idrostatica e quella deviatorica del tensore di deformazione infinitesima ε = ε' + ^I_εI.

Dilatazioni

P₀(a, 0, 0) componenti di spostamento da P associate alla depl puro dell'intorno da P₀ m_i, v_i, o_i sono s_i = x x| m_i' = E_x I/2 xy e_y I/2 xz e_z || v_i' = I/2 yx e_x e_y I/2 yz e_z || o_i' = I/2 zx e_x I/2 zy e_y e_z | | a |m' .: Ex a, v' .: I /2 xy e, o'.: I/2 zx a P0P1: a' = √(Ex a + a)² + (I/2 xy a)² + (I/2 zx a)² = = √a² (e_x + 1) + a² (I/2 xy)² + a² (I/2 zx e)² = = a √e_x² + I + 2 ex + d xy / 4 + d zx2 / 4 = a(1 + E x e)√1 + x -> > e x) x -> 1 + √1 x . x = 1 + E xo' .: o (1 + f_x)a' = a + a f_c Ex = a': a = Ex a = L L.

Scorrimenti

P₀(a, 0, 0) a_ia' a' v_ia o_ia a P P' τ̅_PQ angolo tra P̅₀P e P̅₀Q è indizialmente = π/2 e rispetto della defl abbiamo Q PoP1^P̅₀a' P_c(a, 0, 0) τ̅_P = (a, 0, 0)^T Q = (0, b, 0) τ̅_Q = (0, b, 0)^T S̅_P = x τc, S̅a = xx.