Appunti di Matematica finanziaria e attuariale

OFA operazioni finanziarie e attuariali

Operazioni semplici: due importi e due epoche diverse (OFS e OAS).

Operazioni complesse: più di due importi a più di due epoche diverse (OFC e OAC).

Mattoni delle OFA:

• Situazioni finanziarie elementari: coppie ordinate con C importo e t tempo.
• Situazioni attuariali elementari: coppie ordinate C e t con distribuzioni di probabilità.

Le operazioni finanziarie semplici sono lo scambio tra (C, t) e (M, t) con t > t0 1 0 1.

OFS di capitalizzazione (o di montante), M non è noto ma è determinato a partire da C in t, 0 – diciamo M C interesse e lo indichiamo con I − = tasso di interesse da t a t0 1.

OFS di attualizzazione (o di sconto), C non è noto ma è determinato a partire da (M, t), 1 – diciamo M C sconto e lo indichiamo con D − = tasso di sconto.

OFS di capitalizzazione

Vogliamo vedere come (C, t, possiamo riassumere tutte le SFE (M, t) con la 0 0 funzione: M = F (C, t, t) 0 C*f(t) = M) evolve al trascorrere del tempo t ≥ t.

In base alle caratteristica di F, f(t), fattore montante ha queste caratteristiche:

• È a valori non negativi.
• f(0) = 1.
• f(t) è crescente rispetto a t, ossia, se derivabile rispetto a t, f‘(t) ≥ 0.
• … ∈ è definita per t [0,T].

Possiamo definire il tasso d’interesse per la durata t con il f.d.m. () − ∗ (() − 1) − () = = = = posto che C ≠ 0 allora i(t) = f(t) -1.

Tasso unitario di interesse: interesse prodotto da un capitale iniziale unitario per una durata di capitalizzazione di 1 + i ≥ 0 i ≥ 0 → un periodo.

OFS di attualizzazione

Vogliamo vedere come (M, t) evolve all’avvicinarsi del tempo t ≥ t0, possiamo riassumere tutte le SFE (C, t0) con la funzione C = V (M, t0, tl) C = M*v(t).

Dove v(t) è il fattore di attualizzazione ossia il valore attuale in 0 di un capitale unitario in t.

In base alle caratteristiche di V, v(t) ha queste caratteristiche:

• È a valori non negativi.
• v(0) = 1.
• v(t) è decrescente rispetto a t, ossia se derivabile rispetto a t, v’(t) = dv(t)/dt ≤ 0.
• È definito per t [0, T], con T estremo superiore dei tempi eventualmente escluso.

(1 − ()) − () − () = = = =, tasso di sconto: () = − () posto M ≠ 0 allora.

Leggi di capitalizzazione e di attualizzazione coniugate

M o C*f(t)*v(t) = C e per M ≠ 0 o C ≠ 0.

Se vale C = M*v(t) e M = C*f(t) allora possiamo scrivere M*v(t)*f(t) = f(t) * v(t) = 1.

Se f e v sono coniugate posso scrivere (con f e v diverse da 0): f(t) = 1/v(t) e v(t) = 1/f(t).

Con leggi coniugate posso inoltre ottenere () = =() ()= − se t = 1 allora −( ) () = = =() ()= − se t = 1 allora +() +.

Forza d’interesse

Sia f(t) differenziabile e sia f(t) un fattore di montante. Sia dato un capitale unitario in 0 e si considerino i due montanti > 0. L’accrescimento del capitale unitario allungando la durata di capitalizzazione può essere ∆t di 1 in t e t+∆t con riscritto in questo modo:

′( ∆) () () °(∆),+ − = ∗ ∆ + con ∆ → 0, si può approssimare così ′ ()() ′ ′( ∆) () () () + − ≅ ∗ ∆ = ∗ ∆ ∗ = ∗ ∆ ∗ ()() () ′ (t)f.

L’accrescimento f(t+∆t) – ∆tf(t) è quasi proporzionale a f(t), e f(t)′ (t)f o intensità istantanea d’interesse, ed è indicato con (t).

Il fattore è detto forza di interesse, f(t) ′ ()(t) ≥ 0 = (t). Se allora ()′ ′(t) (t)f f allora possiamo scrivere, sotto l’ipotesi di integrabilità (t) (t) Se vale = e, f(t) f(t) ()∫() =.

Leggi di capitalizzazione scindibili

Se vale f(t+h) = f(t)*f(h) si dice che la legge di capitalizzazione associata al f.d.m. è scindibile.

Teorema n.1 Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge di capitalizzazione sia scindibile è che l’associato f.d.m. f(t), funzione differenziabile, sia del tipo: f(t) =, ≥ 0.

Teorema n.2 Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge di capitalizzazione sia scindibile è che la forza d’interesse associata al f.d.m. associato alla legge, con il f.d.m. funzione differenziabile, sia costante (e non negativa), = costante (≥0) (t) cioè.

Regime dell’interesse semplice

M(t) C*f(t) = C*(1+it) = C + Cit.

– – I(t) M(t) C = C*(1+it) C = Cit.

C M*v(t) = M / (1+it).

– D M C = Mit / (1+it).

Il RIS non è scindibile, la forza d’interesse non è costante rispetto a t: → δ(t) 1. = i / (1+it) decrescente f(t+h) ≤ f(t) * f(h) 2. regime dell’interesse semplice.

Fattori coniugati nel. La variabile t deve essere espressa nella stessa unità di misura del tempo a cui è riferito il tasso unitario di interesse.

Additività degli interessi

Una legge di capitalizzazione è additiva rispetto agli interessi se il suo f.d.m. è tale che – – f(t) 1 + f(h) 1 = f(t+h) -1.

Il RIS è additivo rispetto agli interessi.

– – f(t) 1 + f(h) 1 = – – (1 + it) 1 + (1 + ih) 1 = 1 + i(t+h) -1 = – f(t+h) 1.

Regime dell’interesse composto

δt tf(t) e = (1+i) δ e 1 + i δ ln (1+i) t.

M(t) C*f(t) = C*(1+i).

– – t I(t) M(t) C = C((1+i) 1).

-δt t -t v(t) e = 1 / (1+it) = (1+i) t.

C M * v(t) = M*(1+i).

– – -t D M C = M M*v(t) = M*(1-(1+i) ).

Il f.d.m. è scindibile in quanto vale la definizione di scindibilità: t+h - f(t+h) = (1+i) = f(t) * f(h) <<.

Regime della capitalizzazione mista o composta con convenzione lineare CCCL

t indica la durata della capitalizzazione.

n è il massimo intero minore o uguale a t.

n M(t) C*f(t) = C*(1+i) * (1+i(t-n)) t.

Se t = n M(t) = (1+i) n.

Se t ≠ n M(t) > (1+i).

Non è scindibile in quanto non vale il presupposto f (t + h) = f (t) * f (h).

Tassi equivalenti

Tassi equivalenti: due tassi sono detti equivalenti se, applicati allo stesso capitale iniziale e per la stessa durata, generano lo stesso capitale finale, oppure se, applicati allo stesso capitale finale e per la stessa durata, generano lo stesso capitale iniziale. La definizione data non vale nei casi in cui t = 0 o quando C o M = 0.

Caso notevole: tassi di interesse equivalenti nello stesso regime.

I = i = tasso annuo I = tasso bimestrale 1 6.

I = tasso semestrale I = tasso mensile 2 12.

I = tasso quadrimestre I = tasso giornaliero 3 360.

I = tasso trimestre I = tasso quindicinale (15gg) 4 24.

RIS RIC h h h h h t M C*f (ht) = C*(1+i *h*t) M C*f (ht) = C*(1+i ) h h h I i / h I + i − 1√ 1 h h 1 – h I i *h I (1+i ) 1 h h.

Tassi di interesse composto annui nominali convertibili h volte all’anno

hi = (1 + i ) − 1 ≥ hi, nel RIC si può dimostrare che poniamo h h j = hi h hj hi = e i ≥ j da quanto precede, segue che h hh.

Esempio: i = 0.12.

j 0.11602 (√1 + 0.12 − 1) 2 3.

j 0.11523 (√1 + 0.12 − 1) 3 … 12.

j 0.113912 (√1 + 0.12 − 1) 12 ….

j ln(1+i) 0.1133 ∞.

Teorema: la successione di j è monotona, decrescente e limitata. In particolare, per h che tende ad infinito, h lim j = ln(1+i) h pertanto ln(1+i) ≤ j ≤ i.h = →∞.

Osservazione: il tasso di interesse composto annuo nominale convertibile ∞ volte all’anno è uguale alla forza d’interesse composto.

Regime dello sconto commerciale o interesse anticipato

Consideriamo l’incremento negativo che subisce f.d.s. allungando la durata di attualizzazione del capitale unitario da t a t + h > t e imponiamo che valga ( ) ()+ − = con β ≤ 0 ossia l’incremento sia proporzionale a beta e h. Si ha:

( ) ()+ − = 1 + βt o 1 – dt (n.b. dt ≤ 1).

v(t) – β d 1 v(1) = - Allora t ≤ 1/d →.

Se d > 0 dominio finanziario [0, i/d].

Allora dominio finanziario [0, +∞).

Se d = 0 – f(t) 1/v(t) = 1 / (1 dt) – M C * f(t) = C * 1 / (1 dt).

– – i d / (1 d) con (1 d) > 0.

– – – – I M C = C / (1 dt) C = Cdt / (1 dt).

Il RIA non è scindibile. Infatti: ′ (t)f d δ(t) = = - in base alla forza di interesse e quindi dipende da t f(t) 1−dt 1 1 1 1 f(t h) f(t) f(h)+ = + = ∗ = - in base alla definizione e 2 1−d(t+h) 1−dt 1−dh 1−d(t+h)+d th* f(h) ≤ f(t+h) in definitiva f(t).

Nel regime dello sconto commerciale, abbiamo i seguenti tassi equivalenti notevoli: d = d h h d = d/h h.

Capitalizzazione a tassi di interesse variabili

• Nel RIC sfrutto la scindibilità e scrivo − = (1 + ) (1 + ) 1 2 11 2 ∗ ( − = ( )( ) 2 1 2) 1 1 ) ) = ln(1 + = ln(1 + Con e 1 1 2 2.
• Nel RIS = + + ( − ) 1 1 2 2 1 ( )) = (1 + + − 1 1 2 2 1.
• Sfrutto l’additività degli sconti e scrivo nel RIA (regime dello sconto commerciale) = (1 − − ( − ) 1 1 2 2 1.

Il tasso di interesse medio i è il tasso di interesse che, in una capitalizzazione a tassi di interesse variabili, permette di generare, m dato lo stesso capitale iniziale positivo e la stessa durata di capitalizzazione positiva, lo stesso montante della capitalizzazione a tassi variabili.

• Nel RIC − (1 ) (1 ) (1 ) + + = + 1 2 1 21 2 1 2 −1 (1 ) (1 ) = + + 2 2 1 2.
• Nel RIS ( )) (1 )(1 + + − = + 1 1 2 2 1 2 −1 2 1 = ( ) + ( ) 1 2 2 2.

Il tasso di sconto medio è il tasso di sconto che, in una attualizzazione a tassi di sconto variabili, permette di generare, dato lo stesso capitale finale positivo e la stessa durata di attualizzazione positiva, lo stesso valore attuale dell’attualizzazione a tassi di sconto variabili.

• Regime dello sconto commerciale −1 2 1 = ( ) + ( ) 1 2 2 2.

Operazioni finanziarie complesse

Una operazione finanziaria complessa (OFC) è un insieme di più di 2 SFE, ossia è un insieme di più di 2 importi a più di 2 scadenze diverse. Essa può essere indicata, nel caso di un numero finito e pari ad n + 1 di SFE, con {( ):, = 0,1, …, } {0,1} 0 ≤ < < ⋯ < Ove senza perdita di generalità, 0 1.

Osservazione: se n = 0 allora la OFC è una SFE; se n = 1 allora la OFC è una OFS.

Possiamo, senza perdita di generalità, considerare le SFE e le OFS come casi particolari di OFC e porre nella precedente notazione.

Definizione del valore dell’OFC

Sia data l’OFC rappresentata colla notazione precedente e si consideri t^ ≥ 0.

Si determino i montanti in t^ dei capitali con scadenze W(t^ inferiori e i valori attuali in dei capitali con scadenze superiori. )

La SFE data dalla somma dei precedenti montanti e valori attuali in t^ è detta valore in t^ dell’OFC --- W(t^) ℎ ^ ^ ^( ) = ∑ ∗ ( − ) + ∑ ∗ ( − ) =0 =ℎ+1^ con t ≤ t ≤ t e h = 0, 1, …, n − 1 h h+1.

È detto valore attuale dell’OFC. È detto montante dell’OFC.

Data l’OFC rappresentata colla notazione precedente, se W(t^) = 0, con t^ ≥ 0, si dice che l’OFC è equa dal punto di vista finanziario in t^.

Definizione e t −t se l’OFC rappresentata nella notazione precedente è equa in t^ ≥ 0, f(t) (1 i) v(t) (1 i)= + e = +, Teorema: dati t ≥ 0 ossia W(t^) = 0, allora è equa in qualunque altra epoca.

Definizione: date le OFC A e B rappresentate con la notazione precedente, si dice che esse sono equivalenti dal punto di vista finanziario in t^ ≥ 0 se W (t^) = W (t^) A B.

Progressioni geometriche

Considero potenze con esponente naturale, diverso da zero, pertanto la base può essere qualunque reale, e sommo ad 1 le ∈ prime n − 1 ≥ 1 potenze naturali di q R. Chiamo questa somma S. Si ha 2 −1 1 + + + ⋯ + = progressione geometrica di n termini di ragione “q” e di termine iniziale uguale ad 1.

S è la somma di una. Moltiplicando a destra e a sinistra per q la precedente uguaglianza ottengo 2 3 + + + ⋯ + =.

Sottraggo membro a membro le due equazioni precedenti ed ottengo 2 2 3 −1 (1 ( ) ( ) ( )− ) + − + − + ⋯ + − = − Da cui 1 − = (1 −).

– q ≠ 0, ossia q ≠ 1, allora se 1.

Osservazione: 1 − = 1 ∗ la S è anche indicata con 1− n−1 h 1+∑ q – se 1 q = 0, ossia q = 1, allora S = n h=1.

Definizione di rendita

Una OFC rappresentata colla notazione precedente e con importi dello stesso segno è detta rendita.

Rata: capitale di SFE che forma una rendita.

Scadenza: epoca di una SFE che forma una rendita.

Periodo: lunghezza dell’intervallo di tempo che intercorre tra una scadenza e la successiva di una rendita.

Classificazione delle rendite

• Periodo: periodiche (rendita annua, trimestrale ecc.) o non periodiche.
• Ammontare della rata: a rata costante o a rata non costante.
• Durata: temporanee (insieme finito di rate) o perpetue (insieme numerabile di rate).
• Scadenza della rata: posticipata (la rata scade alla fine del periodo di competenza) anticipata (la rata scade all’inizio del periodo di competenza) o.
• Decorrenza: immediata (il primo periodo inizia in t e finisce in t) 0 1 con p ≥ 1) o differita (il primo periodo inizia in t e finisce in tp p+1.

Ipotesi valide

Si assumono valide le seguenti ipotesi:

• t = 00.
• t - t = un periodo k k-1.
• i > 0, tasso unitario di interesse composto, riferito al periodo R.

Valore attuale di una rendita periodica di n rate costanti di importo immediata e posticipata

(0) = + + …+ 2 3 (1 (1 (11 + + ) + ) + )1 = 1+2 = + + ⋯ + 1−¬ = ∗ 1−2 −1 )= (1 + + + ⋯ + −1− (11 − + )= ∗ = 1− −1−(1+)= ∗ = ∗ ¬ R.

Montante di una rendita periodica di n rate costanti di importo immediata e posticipata

Il montante che calcoliamo è W(n), ossia il valore della rendita alla fine del suo ultimo periodo.

−1 −2() (1 ) (1 ) = + + + + ⋯ + = (1 + ) −1 −2 = + + ⋯ + 1−¬ = 1− −3 −2 −1 = (1 + ⋯ + + + (1 + ) − 11− == ∗ 1− = ∗ ¬.

W(n) può essere ottenuto, per via dell’uso dei regimi coniugati dell’interesse composto e dello sconto composto, scindibili anche così: (1 (1() = (0) ∗ + ) = ∗ ¬ ∗ + )(1 ) ¬ = ¬ ∗ + −(1 ) ¬ = ¬ + +.

Valore attuale di una rendita periodica perpetua di rata costante di importo immediata posticipata

∞ (0) = lim (0) = lim ¬ →+∞ n→+∞.

∞ (0) = ∗ lim ¬ →+∞ −(11 − + ).

∞ (0) =.