Appunti di Matematica finanziaria

Capitalizzazione e attualizzazione

Capitalizzazione: consiste nello spostare avanti nel tempo una posta monetaria.

Si distingue in capitalizzazione semplice (non verifica la proprietà di scindibilità) e composta (la verifica).

Attualizzazione: consiste nel prendere una posta (o un flusso di poste) esigibile/i in una data futura e portarla indietro nel tempo.

)i(t , T , sv (t, T, s) = (1 * t * m (t, T, s) = (1 * t *−sT¿ ¿)i(t , T , s1−t¿¿ =C (1+M n i)

Capitalizzazione semplice: n n=C (1+

Capitalizzazione composta: M i)n

Funzione valore e funzione montante

Funzione valore: v (t, T, s)

Funzione montante: m (t, T, s)≠

Sono 0. t indica la data di stipula del contratto, T indica la data di pagamento ed s la data di scadenza.

Se v (t, T, s) = 0 abbiamo un caso di guadagno senza rischio (il soggetto non investe nulla e riscuote 1).

Se v (t, T, s) < 0 abbiamo un caso di doppio regalo (il soggetto paga una quantità negativa e riscuote 1).

Proprietà funzione valore

• 1. v (t, T, s) > 0 t,T t,T¿ ¿<TT
• 2. se => ) < )1 2 ¿ ¿v v¿ ¿t , T , s t , T , s<ss 1 2
• 3. se => ) < )1 2 ¿ ¿v vt,s ,s
• 4. ) = 1¿v
• 5. v (t, t, s) = v (t, t, T) * v (t, T, s) scindibilità

(t (t )v , t , s) v , sv (t, t, s) = =(t ) (t )v , t ,T v , T

Proprietà funzione montante

• 1. m (t, T, s) > 1 t,T t,T¿ ¿<TT
• 2. se => ) > )1 2 ¿ ¿m m¿ ¿t , T , s t , T , s<ss 1 2
• 3. se => ) > )1 2 ¿ ¿m mt,s ,s
• 4. ) = 1m¿
• 5. m (t, t, s) = m (t, t, T) * m (t, T, s)

( ) ( )m t , t , s m t , sm (t, t, s) = =( ) ( )m t , t , T m t , T≥caso limite: m (t, T, s) 1

Funzione tasso di interesse

i (t, T, s) = a termine

i (t, s) = a pronti

I = M – C −CM I=

Rapporto al capitale: i = tasso di interesseC C−CM I=

Rapporto al montante: i = tasso di scontoM M1i (t, T, s) = a termine s−T( ) −1m t ,T , s1i (t, s) = a prontis−t( ) −1m t , s

)i(t , T , sm (t, T, s) = (1 * t * a termine 1−t¿¿(esponente positivo)

)i(t , sm (t, s) = (1 * t * a pronti1−t¿¿

)i(t , T , sv (t, T, s) = (1 * t * a termine −sT¿ ¿(esponente negativo)

)i(t , sv (t, s) = (1 * t * a prontit− s¿ ¿

i > 0: tasso positivo, riscuoto più di quanto verso

i = 0: tasso nullo, l’investimento non ha reso nulla

-1 < i < 0: tasso di perdita parziale

i < 0: tasso di perdita totale

Altre funzioni:

• Funzione rendimento a scadenza: h (t, T, s) (t )δ , T , s
• Funzione intensità istantanea di interesse:

T.I.R. -> Tasso interno di rendimento

Il T.I.R. è un indice sintetico che si usa per conoscere il rendimento attraverso un solo tasso piuttosto che con tassi diversi. È una media secondo Chisini. Si usa con scadenze generiche e con scadenze equidistanziate. È richiesto 1) che il T.I.R. esista e 2) che il T.I.R. sia unico.

)i(t , t ij ¿1+¿¿¿1+ ¿¿W (t, x) = tasso var. W (t, x) = tasso cost.¿x¿x jj nn ∑∑ ¿¿ j=1j=1 ¿i ¿1+¿¿W (t, x) = ¿x jn∑ ¿j=1

Teorema di esistenza e unicità del T.I.R.

∀x ≥0 j=1,2, … , n

• 1. jn∑ >x 02. jj=1 ¿i ¿¿1+¿

Tesi: ¿x j n∑¿∀ ∃∨i>0 >−1 ¿C tale che C= j=1C

Se considero un capitale (che conosco), allora calcolo le rate future che non conosco; se invece conosco l’importo delle rate future calcolo il loro valore attuale(t )W , xoggi, che indico con .

In ogni caso si tratta di mettere a confronto un unico importo disponibile oggi (in t) con n importi esigibili in date future. In base al principio di equivalenza finanziaria vale l’uguaglianza tra l’unico importo esigibile in t con gli importi esigibili nelle date future.

Come si calcola il T.I.R.?

iSi parte da un valore iniziale del tasso chiamato arbitrario. Si va avanti e si trova0i .1 ¿ ¿>ii i=i =iiSe , se allora è una migliore approssimazione di rispettoi1 0 11 0iad .0 ¿ >ii=i =iiSe , se allora vado avanti.2 12 1 ¿ >ii=i =i =iiSe , se allora vado avanti.3 23 2 1 < <i <…<ii iSi va per incrementi successivi: 0 1 2 n

(i )f 0=i −i 1 0 (i )f ' 0>iiSe procedo.1 0=0iSe mi fermo.1 <iiSe ho sbagliato.1 0

(i )f 1=i −i 2 1 (i )f ' 1

(i )f 2=i −i 3 2 (i )f ' 2

(i )f n−1=i −i n n−1 )f '(i n−1¿=i =ii n n−1n∑ −tt( )= (1+i) −Cf i X jjj=1n∑ −1t−t( )= (t−t )(1+f ' i i) jjj=1

Quando mi fermo? Quando il valore ottenuto è uguale al valore precedente:

¿=i =ii n n−1

Utilizzo del T.I.R.

• n1. Trovare l’unico tasso (se esiste) da sostituire agli tassi variabili.
• n2. Se conosco solo la posta disponibile oggi e le poste future e non viene indicato alcun tasso.

n∑ ¿ −tt(1+i )C= XFORMULA: jjj=1CConosciamo , conosciamo il tasso e dobbiamo determinare le poste monetarieX tesigibili alle date future , è il caso del piano di ammortamento.j j n∑( )=C= (t )W t , x X v ,tj jj=1n∑ −tt( )(1+i )X t , t TASSO VARIABILEjj jj=1n∑ −tt(1+i)X TASSO COSTANTEjjj=1

Partendo dal valore �0 , si ottiene una successione di punti strettamente crescente :<i <i < < <i …<i i … . Tale successione è anche limitata superiormente e converge1 2 3 n−1 nad un numero � ∗ (TIR dell’operazione finanziaria). Di fatto, le successive approssimazioni forniscono un valore approssimato del Tir. Nella pratica, quando si=iitrova n, per cui dal calcolo si ottiene si accetta come TIR il valoren n−1¿=i =ii .n n−1

Piani di ammortamento

Debito residuo alla data j

tDebito residuo alla data j

Il debito residuo rappresenta quanto capitale il debitore deve ancora restituire a titolo jdi capitale alla data . Essendo debito residuo, non può crescere ma deve essere decrescente o costante.

=C =0D DSi parte da e si arriva a (condizione di chiusura del piano).0 n D ≥ D ≥ D ≥ …≥ DCondizione di legalità del piano: con0 1 2 n=0D ≥ Dn−1 n

Debito estinto alla data j

tDebito estinto alla data j

Il debito estinto rappresenta quanto il debitore ha restituito a titolo di capitale alla jdata . =0 =CE ESi parte da alla stipula e si arriva a alla scadenza.0 n

Interessi

Gli interessi sono definiti come il prezzo per l’uso del capitale. Si possono pagare anticipatamente o posticipatamente.

jGli interessi alla data vengono calcolati sul debito residuo del periodo precedenteDcioè su .j−1

I CFORMA POSTICIPATA -> l’interesse è calcolato su tutto e viene pagato1alla fine del periodo di riferimento.

I CFORMA ANTICIPATA -> l’interesse è calcolato su tutto in corrispondenza di1t .0

=C + =C + =C +R I R I R I1 1 1 2 2 2 3 3 3=C∗i =D ∗i =D ∗iI I I1 2 1 3 2=C−C =C−C −C =C−C −C −CD D D1 1 2 1 2 3 1 2 3=C =C +E E C1 1 2 1 2=C +C +CE 3 1 2 3=C + =D ∗i =0 =CR I I D En n n n n−1 n n

Piano di ammortamento italiano o uniforme

• =t +t j , j=1,2 , … , nDate di scadenza equidistanziate, cioè j
• Tasso di interesse costante
• CQuote capitale costanti -> si trovano facendo nC n− j+1= +C∗i( )RComposizione rata: j n nC n− j+1= =C∗i( )C ICon ej jn n=C ∗E jSituazione del debito: -> quota capitale * periodo pagatoj j=C ∗(n−D j) -> quota capitale * periodo residuoj j

Piano di ammortamento francese

• =t +t j , j=1,2 , … , nDate di scadenza equidistanziate, cioè j
• Tasso di interesse costante
• =R =…=RRRate costanti -> 1 2 n CNei piani di ammortamento, il capitalen∑ t−t(1+i)C= X TASSO FISSOj