Appunti di lezione di statistica aziendale

Incertezza e statistica

Incertezza è l'area in cui si muoverà il corso.

Popolazione e campione

Popolazione: insieme completo dell'unità oggetto di studio (N rappresenta la dimensione della popolazione).

Campione: sottoinsieme delle unità osservate nella popolazione (n rappresenta la dimensione del campione).

Parametri e statistiche

Parametro: è una caratteristica specifica della popolazione.

Statistica: è una caratteristica specifica del campione.

I valori calcolati usando i dati sulla popolazione sono chiamati parametri. I valori calcolati usando i dati campionari sono chiamati statistiche.

Esempi di popolazione

• Nomi di tutti gli iscritti nelle liste elettorali degli Stati Uniti
• Redditi di tutte le famiglie che abitano a Daytona Beach
• La media dei voti di tutti gli studenti della vostra università

Il campione casuale

Il campione è casuale se faccio un campionamento causale semplice e:

• Ciascuna unità della popolazione è scelta a caso
• Ciascuna unità della popolazione ha la stessa probabilità di essere scelta
• Ogni possibile campione di dimensione assegnata ha la stessa probabilità di essere selezionato

Le branche della statistica

La statistica ha due branche:

• Descrittiva: l'oggetto sono le tecniche per collezionare, sintetizzare ed elaborare i dati in modo da trasformali in informazioni. Si hanno le informazioni di tutta la popolazione e le si trattano per sintetizzare.
  • Collezionare i dati (es. sondaggi)
  • Presentare i dati (es. tabelle e grafici)
  • Sintetizzare i dati (es. media campionaria)
• Inferenziale: fornisce le basi per le previsioni e per le stime che consentono di trasformare le informazioni in conoscenza. Si osserva un solo campione ma si traggono conclusioni relative all'intera popolazione.

Inferenza

L'inferenza è il processo tramite il quale si estraggono conclusioni o si prendono decisioni circa una popolazione sulla base dei risultati campionari.

Tipi di dati

Si possono distinguere in base al tipo di informazioni che danno:

• Categoriali: la risposta è una stringa/etichetta es: colore degli occhi, stato civile
• Numerici: sono numeri che possono essere a loro volta:
  • Discreti: ottenuto per conteggio es. numero di figli, numero di libri letti
  • Continui: ottenuto per misurazione es. peso

Livelli di misurazione

Oppure possono essere distinti in base al livello di misurazione, cioè che operazioni possono essere fatte per misurarli fra loro:

• Dati nominali (qualitativi): non c'è ordine o direzione es. colore capelli, sesso ecc.
• Dati ordinali (qualitativi): c'è un ordine nelle modalità (es. titolo di studio)
• Scala ad intervallo (quantitativi): non esiste lo zero assoluto, non si valutano mai facendo un rapporto (es. gradi)
• Scala di rapporto (quantitativi): posso fare un rapporto es. una persona pesa il doppio dell'altra

Rappresentazione grafica dei dati

Serve per raccogliere i dati che poi si organizzano in:

• Tabelle
• Grafici

Il tipo di grafico da usare dipende dalla variabile che vogliamo sintetizzare.

Tecniche di rappresentazione grafica dei dati

• Variabili categoriali:
  • Distribuzione di frequenze
  • Diagramma a barre
  • Diagramma a torta
• Variabili numeriche:
  • Grafico per serie storiche
  • Distribuzione di frequenza
  • Diagramma a aste
  • Istogramma e ogiva
  • Diagramma di dispersione

Dati categoriali

Tabulazione tabella è uguale per tutti i dati. Diagrammi a barre o a torta. Per quanto riguarda quelli a barre, si fanno tante barre quante sono le modalità e l'altezza è proporzionale alla frequenza. In quelli a torta i settori sono circolari e hanno un'area proporzionale alla frequenza. Nella tabella e negli istogrammi si rappresentano le modalità in modo ordinato.

Grafici per serie storiche

Rappresentano la stessa variabile (asse ordinate) osservata nel tempo (asse ascisse).

Dati numerici discreti

• Distribuzione di Frequenze e distribuzioni cumulate
• Diagramma ad aste

La distribuzione di frequenza è una lista o una tabella che contiene le modalità e le corrispondenti frequenze con cui i dati presentano quella modalità.

Dati numerici continui

• Distribuzione di Frequenze e distribuzioni cumulate
• Istogramma e Ogiva

La distribuzione di frequenze è un modo per riassumere i dati, condensa i dati grezzi in forma più utile e consente una veloce interpretazione grafica dei dati. Ciascuna classe di intervallo ha la stessa ampiezza. L'ampiezza di ogni determinata classe si determina nel seguente modo: w (ampiezza intervallo) = valore massimo - valore minimo / numero di classi. Si devono usare almeno 5 ma non più di 15/20 intervalli, questi intervalli non si devono mai sovrapporre e si deve arrotondare l'ampiezza dell'intervallo per ottenere i desiderati estremi della classe. Gli istogrammi sono grafici dei dati contenuti in una distribuzione di frequenze. Gli estremi degli intervalli sono rappresentati sull'asse orizzontale (asse ascisse). L'asse verticale (asse ordinate) rappresenta la frequenza, la frequenza relativa, oppure la percentuale. Barre di altezza appropriata sono usate per rappresentare il numero di osservazioni in ciascuna classe.

Forma della distribuzione

La forma della distribuzione si dice simmetrica se le osservazioni sono bilanciate, o distribuite in modo approssimativamente regolare attorno al centro. La forma della distribuzione si dice asimmetrica se le osservazioni non sono distribuite in modo simmetrico rispetto al centro. La distribuzione con asimmetria positiva (obliqua a destra) ha una coda che si estende a destra, nella direzione dei valori positivi. Una distribuzione con asimmetria negativa (obliqua a sinistra) ha una coda che si estende a sinistra, nella direzione dei valori negativi.

Grafici per due variabili

I grafici illustrati finora si riferiscono ad una sola variabile. Quando consideriamo due variabili vengono usate altre tecniche:

• Variabili categoriali (qualitative): tabella a doppia entrata
• Variabili numeriche (quantitative): diagramma di dispersione

Diagramma di dispersione

Usati per osservazioni accoppiate relative a due variabili numeriche. Una variabile viene rappresentata sull'asse verticale e l'altra variabile viene rappresentata sull'asse orizzontale. Solitamente si utilizza quando si hanno tante modalità.

Tabelle a doppia entrata

Elencano il numero di osservazioni per ogni combinazione di valori per le due variabili categoriche o ordinali.

Capitolo 3 del libro

Descrizione numerica dei dati

La descrizione numerica dei dati per tendenza centrale si può fare attraverso:

• Media aritmetica
• Mediana
• Moda

La descrizione numerica dei dati per variabilità si può fare attraverso:

• Campo di variazione
• Differenza interquartile
• Varianza
• Scarto quadratico medio
• Coefficiente di variazione

Moda

È il valore più frequente. È una misura di tendenza centrale, non è influenzata da valori estremi ed è usata sia per dati numerici che categorici. Può non esserci una moda, oppure può esserci più di una moda. Se abbiamo una variabile continua (a classi) andiamo a vedere la classe che ha la densità di frequenza maggiore.

Mediana

In una lista ordinata, la mediana è il valore centrale (50% sopra e 50% sotto). Non è influenzata da valori estremi. Se il numero di valori è dispari, la mediana è il valore centrale. Se il numero di valori è pari, la mediana è la media dei due valori centrali. La mediana può essere fatta solo se i dati sono ordinabili. Quando si hanno tanti dati (200) si fa la cumulata delle frequenze (Fi). La mediana è il valore nel quale Fi supera 0.5. Se un valore della cumulata è 0.5 la mediana è la media tra quel valore e quello successivo.

Media aritmetica

La media aritmetica è la misura centrale più comune. È la somma dei valori diviso il numero di valori. È influenzata da valori estremi.

Proprietà della media aritmetica:

• Il valore è sempre compreso fra i due estremi
• La somma degli scarti è zero
• Proprietà della linearità

La media è usata in generale, a meno che ci siano valori estremi (ouliner). La mediana è usata spesso siccome non è influenzata da valori estremi.

Forma della distribuzione

Descrive come i dati sono distribuibili; può essere simmetrica o asimmetrica:

• Obliqua a sinistra quando la media < mediana
• Obliqua a destra quando la mediana < media
• Simmetrica mediana = media

Oltre alla Mediana si possono calcolare altri due valori, i quartili che dividono la sequenza ordinata dei dati in 4 segmenti contenenti lo stesso numero di valori:

• Il primo quartile Q1, è il valore per il quale il 25% delle osservazioni sono minori e 75% sono maggiori di esso.
• Il secondo quartile Q2, è il valore che coincide con la mediana.
• Il terzo quartile Q3, è il valore per il quale il 75% delle osservazioni sono minori e il 25% sono maggiori di esso.

Misure di variabilità

Ci dicono se i dati sono fra loro simili o molto diversi. Forniscono informazioni sulla dispersione o variabilità dei valori.

Campo di variazione

È il più semplice ed è la differenza fra il massimo e il minimo dei valori osservati. I suoi svantaggi sono:

• Ignora il modo in cui i dati sono distribuiti
• È sensibile agli outlier

Differenza interquartile

Con essa possiamo eliminare il problema degli outlier. È la differenza fra il terzo quartile (Q3) e il primo quartile (Q1). IRQ = Q3 - Q1. Elimina i valori osservati più alti e più bassi e calcola il campo di variazione del 50% centrale dei dati.

Varianza della popolazione

È la media dei quadrati delle differenze fra ciascuna osservazione e la media. È indicata con sigma quadro.

Varianza campionaria

È la media approssimata dei quadrati delle differenze fra ciascuna osservazione e la media. Si indica con quadro.

Proprietà della varianza:

• È sempre positiva o nulla (tutti i valori della distribuzione sono uguali)
• Posso farla anche come media dei valori di x quadro meno la media di x elevata al quadrato

Scarto quadratico medio della popolazione o deviazione standard

Misura la variabilità comunemente usata e mostra la variabilità rispetto alla media. Ha la stessa unità di misura dei dati originali. Si indica con sigma.

Scarto quadratico medio campionario o deviazione standard campionaria

Misura la variabilità comunemente usata e mostra la variabilità rispetto alla media. Ha la stessa unità di misura dei dati originali. Si indica con S.

Proprietà della varianza

• È sempre positiva o nulla (tutti i valori della distribuzione sono uguali)
• Posso farla anche come media dei valori di x² meno la media di x elevata al quadrato

Vantaggi della varianza e dello scarto quadratico medio:

• Calcolati usando tutti i valori nel set di dati
• Valori lontani dalla media hanno più peso poiché si usa il quadrato delle deviazioni dalla media

Teorema di Chebyshev

Per ogni popolazione con media, scarto quadratico e k > 1, la percentuale di osservazioni che appartengono all'intervallo “μ (media) ± kσ (scarto quadratico)” è almeno 100[1 - (1/k²)] % indipendentemente da come i dati sono distribuiti, almeno (1 - 1/k²) dei valori cadranno entro k scarti quadratici medi dalla media (per k > 1).

La regola empirica

Se la distribuzione dei dati ha una forma campanulare, allora l'intervallo:

• μ (media) ± 1σ (scarto quadratico) contiene circa 68% dei valori della popolazione o del campione
• μ ± 2σ contiene circa 95% dei valori della popolazione o del campione
• μ ± 3σ contiene circa il 99.7% dei valori della popolazione o del campione

Coefficiente di variazione

Misura la variabilità relativa, è sempre in % e mostra la variabilità relativa rispetto alla media. Può essere usato per confrontare due o più set di dati misurati con unità di misura diversa. CV = (S/X) * 100% S= deviazione standard X= media. Si calcola allo stesso modo sia per il campione che per la media.

Media pesata

Viene usata quando i dati sono già raggruppati in n classi, con wi valori nella i-esima classe.

Covarianza campionaria

Misura la forza della relazione lineare tra due variabili. Riguarda solo la forza della relazione e non implica un effetto casuale. Si indica con COV. Covarianza fra due variabili: Cov (x, y) > 0 x e y tendono a muoversi nella stessa direzione. Cov (x, y) < 0 x e y tendono a muoversi in direzioni opposte. Cov (x, y) = 0 x e y non hanno relazione lineare.

Coefficiente di correlazione

Misura la forza relativa della relazione lineare tra due variabili. Coefficiente di correlazione della popolazione è indicato con ρ = Cov (x, y) / σ_xσ_y. Coefficiente di correlazione campionario è indicato con r = Cov (x, y) / s_xs_y.

Le caratteristiche sono:

• Non hanno unità di misura
• Campo di variazione fra -1 e 1
• Quanto più è vicino a 1, tanto più è forte la relazione lineare positiva
• Quanto più è vicino a 0, tanto più è debole la relazione lineare

Calcolo delle probabilità

Esperimento aleatorio: un processo che porta ad un risultato incerto (es. tiro del dado).

Evento elementare: un possibile risultato di un esperimento aleatorio (es. esce il 6).

Spazio campionario: l'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento aleatorio (es. {1,2,3,4,5,6}).

Evento: qualsiasi sottoinsieme di eventi elementari di uno spazio campionario (es. esce un numero pari).

L'intersezione di eventi: se A e B sono due eventi in uno spazio campionario S, allora l'intersezione è l'insieme di tutti gli elementi elementari in S che appartengono sia ad A, sia a B.

A e B sono eventi mutuamente esclusivi se non hanno in comune alcun evento elementare, quindi l'insieme A intersecato a B è vuoto.

L'unione di eventi: se A e B sono due eventi in uno spazio campionario S, allora l'unione (A U B) è l'insieme di tutti gli eventi elementari di S che appartengono ad A oppure a B.

Gli eventi sono collettivamente esaustivi se compongono interamente lo spazio campionario.

L'evento complementare di un evento A è l'insieme di tutti gli eventi elementari nello spazio campionario che non appartengono ad A. L'evento complementare è indicato con A (con il trattino sopra).

Probabilità

La probabilità è la possibilità che un evento incerto si manifesti (sempre tra 0 e 1). Se è = 1 è certo (esce un numero tra 1 e 6). Se è = 0 è impossibile (es. esce un numero > di 6).

Approcci per valutare la probabilità

Ci sono 3 approcci per valutare la probabilità di un evento certo:

• Probabilità classica: è calcolato come “numero degli eventi elementari che soddisfano la condizione dell’evento” / “numero complessivo di eventi elementari dello spazio campionario”.