Appunti di Fondamenti di Automatica

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Revisionato il 11/07/2026

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Appunti completi di tutti gli argomenti trattati nel corso di Fondamenti di Automatica.-Introduzione ed esempi-Sistemi Lineari Tempo Continui-Stabilità interna dei sistemi-Criterio di …

Esame Fondamenti di automatica

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Vendittelli Marilena

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2021-2022

79 pagine

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Appunti esame

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Estratto del documento

Fondamenti di Automatica

si basa su Analsi dei Sistemi Dinamici + la Sintesi di controllori

si potrà ad un modello matematico

modello algebrico
- es: circuito RC
modello dinamico
- modello con equazioni differenziali che descrivono l'evoluzione nel tempo

es. #2

per descrivere un certo fenomeno però è necessario un oggetto astratto che non coincide con il modello matematico

infatti fenomeni diversi possono avere lo stesso modello
- es: V(t) = R . i(t)
- F(t) = m . a(t)
oppure uno stesso fenomeno può essere descritto da più modelli
- es. V(t) = R . i(t)
- p(t) = e p(t)

Classi di Equivalenza dei Modelli

questo è l'equivalente astratto di un fenomeno e che si formalizza come un

Sistema Astratto che contiene relazioni di Causa-Effetto

in particolare il sistema studiato sarà:

Orientato
Causale: l'effetto dipende da una causa passata al più presente (mai futura)
Istantaneo (Senza Memoria): l'effetto dipende dalla causa all'istante t

Fondamenti di Automatica

si basa su Analsi dei Sistemi Dinamici + la Sintesi di controllori

si porta ad un modello matematico

modello algebrico
modello dinamico
- - modello con equazioni differenziali che ne descrivono l’evoluzione nel tempo

per descrivere un certo fenomeno per e necessario un oggetto astratto che non coincide con il modello matematico

infatti fenomeni diversi possono avere lo stesso modello
oppure uno stesso fenomeno può essere descritto da più modelli

Classe di Equivalenza dei Modelli

questo è l’equivalente astratto di un fenomeno e che si formalizza come un

Sistema Astratto che contiene relazioni di Causa - Effetto

in particolare il sistema studiato sarà:

Orientato
Causale: l’effetto dipende da una causa passata al più presente (mai futura)
Istroutonico (Senza Memoria): l’effetto dipende dalla causa all’istante t

Din�mico (con memoria)

L'effetto dipende dalla storia della causa fino a t₀.

es: induttore

dove lo stato � quella variabile di cui bisogna conoscere il valore iniziale

Esempi di Sistemi Din�mici

Circuito RC
- parto dal modello matematico.
- poniamo
- rappresentiamo la dinamica attraverso u, x, y:
- Inoltre dall'equazione di equilibrio alle tensioni:
- quindi si arriva a:

y(t) = u(t) - x(t)

ȧ(t) = 1/RC (u(t) - x(t))

2) Sistema Massa-Molla con Attrito

dall'equilibrio delle forze :

Mẍ(t) = F_M(t) - F_a(t) - F_e(t)

dove

F_a = b · Ṡ(t) ~ attrito

F_e = K · S(t) ~ f elastica

I pongo

F_M = u (ingresso)
S = x₁ (stato)
Ṡ = x₂ (stato)
y = S (uscita)

in questo modo poiche :

Ṡ = x₂ -> Ṡ = ẋ₁ = x₂

poi S̈ = ẋ₂(t)

quindi ẋ₂(t) =

F_M(t) - bṠ(t) - KS(t) =

M M M M

= u(t) - bẋ₂(t) - Kx₁(t)

M M M M

riodinando si arrivira a

ẋ₁(t) = x₂(t)

ẋ₂(t) = [u(t) - b x₂(t) - K x₁(t)]

2a) la molla non è lineare e F_a = 0 (attrito nullo)

per ipotesi comando

Ḟ_e (S(t), t) = k(t)S(t) = K₁ e^-α(t-t_o) S(t)

è un K che diminuisce

nel tempo

Mẍ(t) = F_M(t) - F_e(t)

e come usita dal sistema scelgo di considerare l'energia Totat

E_t(t) = 1/2 [k(t)S²(t) + Mẋ²(t)]

per ciò ottengo

ẋ₁ = x₂
ẋ₂(t) = 1/mp [u(t) + F_M(t) - F_e(t)] × x₁ (t)+ u(t)

y(t) = f/2_{((kx)₂ e^-α(t-t_o) x₁(t) + M x′₂(t))}

3) Motore Elettrico

Dinamo della parte elettrica:

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