Appunti di Fondamenti di algebra lineare e geometria

Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz

Comunque, presi due vettori u₁, u₂ in uno SV euclideo vale: |u₁ · u₂| ≤ ||u₁|| ||u₂|| (1)

Dim.

1° caso: u₁ = 0. In questo caso u₁ · u₂ = 0 e ||u₁|| = 0, quindi vale (1).

2° caso: u₁ ≠ 0. Vale: ∀t ∈ ℝ: (t u₁ + u₂) · (t u₁ + u₂) ≥ 0 ⇐⇒ ∀t ∈ ℝ: (u₁ · u₁) t² + 2 (u₁ · u₂) t + u₂ · u₂ ≥ 0 ⇐⇒ ∀t ∈ ℝ ||u₁||² t² + 2 (u₁ · u₂) t + ||u₂||² ≥ 0 ⇐⇒ Δ/4 ≤ 0 (⇐⇒) (u₁ · u₂)² − ||u₁||² ||u₂||² ≤ 0 (⇐⇒) (1). □

Disuguaglianza triangolare

Comunque, presi due vettori u₁, u₂ in uno SV euclideo vale: ||u₁ + u₂|| ≤ ||u₁|| + ||u₂|| (2)

Dim. ||u₁ + u₂||² = (u₁ + u₂) · (u₁ + u₂) == u₁ · u₁ + 2 u₁ · u₂ + u₂ · u₂ = ||u₁||² + 2 u₁ · u₂ + ||u₂||² ≤≤ ||u₁||² + 2 |u₁ · u₂| + ||u₂||² ≤ ||u₁||² + 2 ||u₁|| ||u₂|| + ||u₂||² == (||u₁|| + ||u₂||)² ⇒ (2) □

Esercizio

(a) Calcolare f(3,4) dove f è la forma quadratica di matr. A_f = (-1 1)(-1 2)

(b) Classificare le forma quadratica f.

Det. La matrice associata e una forma quadratica.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz

Comunque, presi due vettori u₁, u₂ in uno SV euclideo vale: ||u₁, u₂|| ≤ ||u₁|| ||u₂|| (1)

Dim.

1° caso: u₁ = 0. In questo caso u₁ • u₂ = 0 e ||u₁|| = 0, quindi vale la (1).

2° caso: u₁ ≠ 0. Vale: ∀t ∈ ℝ: (t u₁ + u₂) • (t u₁ + u₂) ≥ 0 ⟺ ∀t ∈ ℝ: (u₁ • u₁) t² + 2 (u₁ • u₂) t + u₂ • u₂ ≥ 0 ⟺ ∀t ∈ ℝ ||u₁||² t² + 2 (u₁ • u₂) t + ||u₂||² ≥ 0 ⟺ Δ/4 ≤ 0 ⟺ (u₁ • u₂)² − ||u₁||² ||u₂||² ≤ 0 ⟺ (1) □

Disuguaglianza triangolare

Comunque, presi due vettori u₁, u₂ in uno SV euclideo vale: ||u₁ + u₂|| ≤ ||u₁|| + ||u₂|| (2)

Dim. ||u₁ + u₂||² = (u₁ + u₂) • (u₁ + u₂) == u₁ • u₁ + 2 u₁ • u₂ + u₂ • u₂ = ||u₁||² + 2 u₁ • u₂ + ||u₂||² ≤≤ ||u₁||² + 2 |u₁ • u₂| + ||u₂||² ≤ ||u₁||² + 2 ||u₁|| ||u₂|| + ||u₂||² = (||u₁|| + ||u₂||)² ⟹ (2) □

Esercizio

(a) Calcolare f(3,4) dove f è le forme quadratiche di mat. A_f = ^{(-1 1)}_{(-1 2)}

(b) Classificare le forme quadratiche f.

Det. La matrice associata è una forma quadratica.

Forma quadratica

f(n₁) in n indeterminate è A_f = (a_ij) ∈ MM(nxm, ℝ) dove a_ij è uguale al coeff. in f(n) di n_i² ∀ i ≠ j; a_ij è uguale al coeff. in f(n) di n_in_j diviso 2.

Prop. ∀ n ∈ ℝⁿ vale f(n) = n^TA_fn⁽³⁾

Svolgimento

(a) f(3,4) = (3 4)⁽³⁾ (3 4) (-1 1) (3 4) (1) = 3 + 44 = 47.

2° svolg. (Pos. n₁ = n₁, n₂ = y) f(n,y) = -n² + 2y² + 2n_y y f(3,4) = -9 + 32 + 24 = 47.

R... risultati gli autoval. di A_f sono > 0, f è def. positiva.

Se entrambi autovalori pos. che neg. f è indeterminate.

Autovalori e autovettori

(b) Trova gli autovalori e autovettori di A_f

P_Af(t) = | -1 - t 1 | = t² - t - 3. Un autovalore è > 0, e l'altro è