Appunti di Elementi di calcolo delle probabilità T

Definizione assiomatica di probabilità (di Kolmogorov)

Dato Ω spazio campionario diremo che una funzione P: P(Ω) → [0,1] è una probabilità se:

• P(Ω) = 1
• Se A, B ⊆ Ω sono disgiunti, cioè A∩B = Ø, allora P(A∪B) = P(A) + P(B) (si chiama Additività espressa).

Se {A_i} con _i sono disgiunti ʌ A_n A_j = ∅ ∀ _j ≠ _j, allora P(∪_i A_j) = ΣP(A_j).

La coppia (Ω, P) è detta spazio di probabilità.

Teorema

Sia (Ω, P) uno spazio di probabilità. Allora:

• P(Ø) = 0
• P(A) = 1 - P(A)
• P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Osservazione

Nel caso discreto che stiamo considerando conoscere la probabilità di ogni elemento di Ω è sufficiente a calcolare la probabilità di ogni evento: se ∀_i ∈ Ω conosce P({_k}), allora ∀A ⊆ Ω, P(A) = Σ P({ω_k}) ω∈A ma non è necessario.

Esercizio

Supponiamo che entrando in un supermercato con le idee poco chiare abbiamo 9/10 di compiere un dolce; una probabilità di non comprare nulla, una probabilità di 2/10 a compiere un dolce e prosciutto... 1/10 a non comprare nulla, qual è la probabilità che acquistare sia un dolce che del prosciutto?

Soluzione

Sia A l'evento compro un dolce e B l'evento compro del prosciutto. Quello che ci chiede di calcolare è P(A ∩ B) probabilità di farlo. Sappiamo che A = 1 - (A ∪ B). Quindi è sufficiente calcolare:

P(A^c ∩ B^c) = P(A^c) + P(B^c) - P(A^c∩B^c)

E so anche che P(A)⁺ = 7/10 P(B)^- = 2/10.

Dunque concludo che P(A∩B) == 1 - [4 + 7/10] + 2/10 = 9/10 = 6/10 = 0.6 Fine.

Esempio di probabilità discreta ma infinita

Sia A_i = {lanciando una moneta finché non esce testa questo viene ripetuto k - vole}. Allora P(A_k) = 1/2 ⋅ (1/2 ⋅ k) = 1/2^k.

Sono chiari che ∪_i (P(A_k) ⋅ unione ⋅ U₁⋅(P(A_k) = P(_k=1 ∞ P(A_k) = 1/2 ⋅ 1/2 = 1.

Definizione assiomatica di probabilità

Dato Ω spazio campionario diciamo che una funzione P: P(Ω) ⟶ [0,1] è una probabilità se:

• P(Ω) = 1
• Se A ∩ B = ∅ sono disgiunti, allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (si chiama Additività e può essere espressa come:

Se {A_j}_j∈N sono disgiunti? ∩ A_j = ∅ ∀ i ≠ j ⟹ P(∪A_j = ∑P(A_j).

La coppia (Ω, P) è detta spazio di probabilità.

Teorema

Sia (Ω, P) uno spazio di probabilità. Allora:

• P(∅) = 0
• P(A^c) = 1 - P(A)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Osservazione

Nel caso discreto che stiamo considerando conoscere le probabilità di ogni elemento di Ω ci permette di calcolare la probabilità di ogni evento: se ∀ a∈Ω conosco P({a}) allora ∀ A⊆Ω, P(A) = ∑_a∈A P({a}) ma non è necessario.

Esercizio

Supponiamo che entrando in un supermercato con le idee poco chiare abbiamo probabilità 7/10 di comprare un dolce e una probabilità fin'ora di non comprare prosciutto 2/10, che vorrebbe dire non comprare né un dolce né un prosciutto. Qual è la probabilità di acquistare sia un dolce che del prosciutto?

Soluzione

Sia A l'evento "compro un dolce" e B l'evento "compro del prosciutto". Quello che ci chiede di calcolare è P(CA∩B) = probabilità che si compri sia un dolce che del prosciutto.

P(A∩B) = 1 - P(A^c ∪ B^c). Quindi è sufficiente sommare di valore di P(A^c ∪ B^c).

Ma P(A^c ∪ B^c) = P(A^c) + P(B^c) - P(A∩B^c) e so anche che P(A^c) = 7/10 P(B^c) = 2/10.

Dunque concludo che P(A∩B) = P(A) [=1-P(A^c) + P(B) - P(B^c)][= (1-7/10) + 2/10 + 2/10 - 1/10] = 6/10 = 0,6 / Fine.

Esempio di probabilità discreta ma infinita

Sia A_k = {lanciando una moneta finché non esce testa questo viene accaduto k volte}. Allora P(A_k) = 1/2 * 1/2 * 1/... = 1/2^k.

Sia si osservi che P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ...) = ∑P(A_k) = P("{prima o poi esce testa}") = ∑_k=1 P(A_k) = ∑_k=1 1/2^k = 1.

Osserviamo che nel segno del costruttore indiretto abbiamo usato la seguente primit...:

P(C ∩ B) = 1 - P(C ⋃ B^c)

Che segue dal fatto che (A ⋃ B⋂ A ∩ B^c)^c è unione disgiunta e che, quindi, P(A ⋃ B^c) + P(A ⋂ B) = 1 e che infine, A ∩ B = A ⋂ B^c.

Vale in maniera analoga la formula: P(C ⋃ B) = 1 - P(C^c ⋂ B^c).

Generalizzazione

P(C ⋃ A₁ ⋃ A₂ ⋃... ⋃ A_k) = 1 - P(C