Appunti di Analisi matematica II

Ingegneria Informatica

Appunti di

ANALISI II

A cura di Baldi F. e Sangeniti C.

2025-2026

Indice

1 Nozioni preliminari 4

1.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Alcune considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Norma di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Distanza euclidea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Distanza del taxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Distanza fra funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Proprietà della distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Prima dimostrazione (scema) . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Seconda dimostrazione (furba) . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Terza dimostrazione (identità di Lagrange) . . . . . . . 12

1.3.4 Quarta dimostrazione (scema II) . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Quinta dimostrazione (geometrica) . . . . . . . . . . . 13

1.4 Disuguaglianza di Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Unicità dell’applicazione nulla come infinitesimo . . . . . . . . 17

1.7 Insieme chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Curve 19

2.1 Curva piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Inviluppi di rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Astroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Equazione in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Altra parametrizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Lunghezza di una curva in coordinate polari . . . . . . 25

2.4.2 Parametrizzazione in lunghezza d’arco . . . . . . . . . 27

2.5 Componenti connesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Indice di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.7 Area di una curva chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8 Ipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9.1 Funzioni iperboliche inverse . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.10 Raggio e centro di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.11 Curvatura e accelerazione per parametrizzazione qualunque . . 38

2.12 Triedro di Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.12.1 Triedro di Frenet per parametrizzazione generica . . . . 40

2.12.2 Vettore binormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

2.12.3 Formule di Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.13 Elica cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Funzioni in più variabili 45

3.1 Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Unicità del differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2 Differenziale della funzione inversa . . . . . . . . . . . 46

3.2.3 Diffeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.4 Sottovarietà differenziabile . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.5 Funzione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.6 Differenziale secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.7 Teorema del differenziale totale . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Derivate direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.1 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Intorni in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

n

R

3.5 Matrice Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5.1 Matrice Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Teorema di composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6.1 Casi particolari della regola di composizione . . . . . . 63

3.7 Teorema del valor medio per le curve . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8 Massimo e minimo di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8.1 Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.8.2 Principio variazionale di Fermat . . . . . . . . . . . . . 68

3.8.3 Massimo/minimo locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.8.4 Quoziente di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8.5 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . 71

3.9 Disuguaglianza delle medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Campi vettoriali 78

4.1 Campo gradiente (o esatto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2 Potenziale di un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Integrale di linea di seconda specie (o lavoro) . . . . . . . . . . 82

4.3.1 Proprietà degli integrali di linea . . . . . . . . . . . . . 85

4.4 Campo conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5 Campo irrotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.6 Campi centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.7 Divergenza di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.8 Rotore di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2

5 Integrazione in più variabili 101

5.1 Iper-rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 Integrale di Riemann in due variabili . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2.1 Somma superiore/inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2.2 Integrale superiore/inferiore . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.3 Insieme di misura nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.4 Integrale sul dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Ω

5.2.5 Proprietà degli integrali secondo Riemann . . . . . . . 110

5.2.6 Integrazione su dominio non rettangolare . . . . . . . . 112

5.2.7 Volume del simplesso standard in . . . . . . . . . . 115

n

R

5.3 Cambio di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.1 Cambio di variabile lineare . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.2 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3.3 Caso delle coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4 Formule di riduzione per gli integrali tripli . . . . . . . . . . . 123

5.4.1 Integrazione "per fili" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4.2 Integrazione "per strati" . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.4.3 Coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5 Volume, massa totale, baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6 Momento d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.7 Misure superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.7.1 Caso lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.7.2 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.7.3 Misura del grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . 140

5.7.4 Primo teorema di Pappo e Guldino . . . . . . . . . . . 143

5.7.5 Secondo teorema di Pappo e Guldino . . . . . . . . . . 145

5.8 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.9 Formula della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.9.1 Flusso di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . 150

3

1 Nozioni preliminari

1.1 Norma

Per definiamo la di come la

n

∈ ∈

x (x , . . . , x ) p x

Definizione: norma

R

1 n

del vettore stesso, calcolata come la radice della somma

p-esima

lunghezza

delle potenze delle sue componenti. In simboli:

p-esime 1

!

n p

X p

|x |

∥x∥ ≤ ∞)

:= (1 p <

i

p i=1

Se allora la norma diventa:

∞,

p = ∥x∥ |x |

= max i

∞ 1≤i≤n

Se allora la norma è detta

p = 2, norma euclidea:

v n

u X p

u 2

∥x∥ ·

:= x = (x x)

t i

2 i=1

1.1.1 Alcune considerazioni

1. Sono tutte ∥tx∥ |t| · ∥x∥

=

positivamente omogenee: p p

2. La quantità è rispetto a

∥x∥ ≤ ∞

1 p <

decrescente

p

3. Per la norma tende a

→ ∞ ∥x∥ |x |

p = max

1≤i≤n i

∞

4. Vale la proprietà di ∥x ≤ ∥x∥ ∥y∥

+ y∥ +

sub-additività: p p p

DIMOSTRAZIONE

1. È ovvio, poiché: 1/p 1/p

! !

n n

X X

p p p

∥tx∥ |tx | |t| · |x |

= = =

p i i

i=1 i=1

1/p 1/p

! !

n n

X X

p p p

|t| · |x | |t| · |x | |t| · ∥x∥

= = =

i i p

i=1 i=1

4

2. Dobbiamo dimostrare che se vale

≤ ≤ ∞

1 p q <

∥x∥ ≥ ∥x∥

p q

supponiamo Quindi

∥x∥ = 1.

Caso particolare: p

n

X

pp p

∥x∥ |x |

=

1= i

i=1

Da questo deduciamo che tutti gli sono Dato che, per

|x | ≤ 1.

i

ipotesi, allora vale

≤

p q, p q

|x | ≥ |x | (i = 1 . . . n)

i i

sommando: n n

X X

p q

|x | ≥ |x |

1= i i

i=1 i=1

Prendiamo la radice q-esima: 1/q

!

n

X

1/q q

∥x∥ ≥ |x | ∥x∥

= 1 =

p i q

i=1

cioè, nel caso particolare che vale se

∥x∥ ∥x∥ ≥ ∥x∥ ≥

= 1, q p.

p p q

se è un qualunque vettore

n

∈ ̸

x = 0,

Caso generale: R

, che ha ora NORMA

consideriamo x ∥ · ∥ = 1:

p

∥x∥ p

x 1 1

· · ∥x∥

= x = = 1

p

∥x∥ ∥x∥ ∥x∥

p p p

p p

e quindi, essendoci nuovamente ricondotti al caso particolare,

sappiamo che la proprietà vale. Infatti:

x

x ≤ ≤ 1

∥x∥ ∥x∥

p p

q p

cioè ∥x∥ q ≤ ∥x∥ ≥ ∥x∥

1 =⇒ p q

∥x∥ p 5

se non c’è nulla da dimostrare poiché

x = 0,

Caso nullo:

∥x∥ ∥x∥

= = 0.

p q se è più evidente:

∞: ≤ ≤ ∞

q = 1 p q =

Caso pp

∥x∥ pq

∥x∥

}| {

z

p

!

n n

p

z }| {

X X p p

|x | |x | ≥

|x | |x |

≥

max = n max max

i i

i i

1≤i≤n 1≤i≤n 1≤i≤n

i=1 i=1

Facendo la radice dei tre termini, otteniamo la tesi:

p-esima

1/p ∥x∥ ≥ ∥x∥ ≥ ∥x∥ ∥x∥

n =

∞ ∞

p q

3. Segue dalla disuguaglianza precedentemente dimostrata:

1/p ∥x∥ ≥ ∥x∥ ≥ ∥x∥

n ∞ ∞

p 1 perciò, per il

Ricordiamo che, per ogni = 1,

a > 0, lim a p

p→∞

teorema dei carabinieri, segue che:

∥x∥ ≥ ∥x∥ ≥ ∥x∥ ∥x∥ ∥x∥

=⇒ lim =

∞ ∞ ∞

p p

p→∞

4. Partiamo dalla definizione di norma elevata alla

p p:

n n

X X

pp p p−1

∥x |x | |x | · |x |

+ y∥ = + y = + y + y

i i i i i i

i=1 i=1

Applicando la disuguaglianza triangolare in (|a ≤ |a| |b|):

+ b| +

R

n n

X X

p−1 p−1

|x | · |x | ≤ | |y |)|x |

+ y + y (|x + + y

i i i i i i i i

i=1 i=1

⇓

n n n

X X X

p−1 p−1 p−1

|x | · |x | ≤ |x ||x | |y ||x |

+ y + y + y + + y

i i i i i i i i i i

i=1 i=1 i=1

Applichiamo adesso la disuguaglianza di Hölder (sezione 1.4) a

ciascuna delle due somme, usando l’esponente coniugato tale

q

che −

(p 1)q = p: 1/q

X

X (p−1)q p/q

p−1 ≤ ∥x∥ ∥x∥ ∥x+y∥

|x |

|x ||x | =

+ y

+ y p

i i i p i i p

{z }

| | {z }

|(a·b)| ∥a∥ ∥b∥

p q

6

Poiché otteniamo:

−

p/q = p 1,

pp p−1 p−1

∥x ≤ ∥x∥ ∥x ∥y∥ ∥x

+ y∥ + y∥ + + y∥

p p

p p

Raccogliendo il termine comune:

pp p−1

∥x ≤ ∥y∥

+ y∥ (∥x∥ + )∥x + y∥

p p p

, si ottiene la tesi:

Dividendo entrambi i membri per p−1

∥x + y∥

p

∥x ≤ ∥x∥ ∥y∥

+ y∥ +

p p p

C.V.D.

1.1.2 Norma di una matrice

Sia una matrice di dimensioni

∈ ×

A M (n, m) n m:

 

a a . . . a

11 12 1m

..

.

a . . . . . .

 

21

A = . ..

 

..

 

.

. . . . . .

 

a . . . . . . a

n1 nm

Definiamo come la di intesa come vettore con

∥A∥ ·

A n m

norma euclidea

coordinate: v X

u 2

|a |

∥A∥ = ij

u

t 1≤i≤n

1≤j≤m

Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (sezione 1.3) segue che

Teorema:

per ogni si ha:

m n

→

A : R R ∥Ax∥ ≤ ∥A∥ · ∥x∥

dove è la norma in , la norma della matrice e la norma in

n

∥Ax∥ ∥A∥ ∥x∥

R

.

m

R DIMOSTRAZIONE

Indichiamo con le della matrice Il prodotto

A , . . . , A A. Ax

righe

1 n 7

si scrive come:  

·

(A x)

1 ·

(A x)

 

2 n

.. ∈

Ax =   R

.

 

 

·

(A x)

n

Calcoliamo il quadrato della norma euclidea di Ax:

n

X

2 2

∥Ax∥ ·

= (A x)

i

i=1

Applicando la disuguaglianza di a ogni termine della

Cauchy-Schwarz

somma: n n

X X

2 2 2

· ≤ ∥A ∥ · ∥x∥

(A x)

i i

i=1 i=1

Raccogliendo il termine comune :

2

∥x∥ !

n

X

2 2 2

∥Ax∥ ≤ ∥A ∥ · ∥x∥

i

i=1

La quantità tra parentesi è la somma dei quadrati di tutti i coefficienti

di ogni riga, sommati su tutte le righe, che è esattamente :

2

∥A∥

!

n m

X X 2 2

|a | ∥A∥

=

ij

i=1 j=1

Si ottiene quindi: 2 2 2

∥Ax∥ ≤ ∥A∥ · ∥x∥

Estraendo la radice quadrata si ha la tesi:

∥Ax∥ ≤ ∥A∥ · ∥x∥

C.V.D.

Data questa disuguaglianza, possiamo affermare che: ∥Ax∥ = O(∥x∥)

8

1.2 Distanza euclidea

In , la distanza euclidea fra e è:

2 2

∈

(x , y ) (x , y )

R R

1 1 0 0 Nozione ispirata al teore-

p 2 2

− − −→

d((x , y ), (x , y )) = (x x ) + (y y ) ma di Pitagora

1 1 0 0 1 0 1 0

Noi la considereremo una definizione non ci serve la dimostrazione.

−→

In , la distanza euclidea fra e

n x := (x , . . . , x )

Definizione generale: R 1 n

è:

y := (y , . . . , y )

1 n p 2 2

− · · · − ∥x −

d(x, y) = (x y ) + + (x y ) = y∥

1 1 n n

1.2.1 Distanza del taxi

Vi sono anche altre nozioni di distanza, per esempio in c’è la "distanza

2

R

del taxi": "percorriamo" i cateti

|x − | |x − | −→

d((x , x ), (y , y )) = y + y invece dell’ipotenusa

1 2 1 2 1 1 2 2

1.2.2 Distanza fra funzioni continue b

Z

oppure

− |f −

d(f, g) = max (|f (x) g(x)|) (x) g(x)| dx

a≤x≤b a

1.2.3 Proprietà della distanza

Uno spazio metrico è una struttura ma-

Definizione di spazio metrico:

tematica costituita da una coppia di elementi, dove è un insieme e

(X,d) X

una funzione distanza che associa a due punti e di un numero reale

d x y X

non negativo in modo che le seguenti proprietà valgano per ogni scelta

d(x,y)

di in

x,y,z X:

1. ⇐⇒ ̸

d(x, y) > 0 x = y

2. ⇐⇒

d(x, y) = 0 x = y

3. simmetria

−→

d(x, y) = d(y, x)

4. disuguaglianza triangolare

≤ −→

d(x, z) d(x, y) + d(y, z) 9

DIMOSTRAZIONE

1 e 2) Una radice quadrata è sempre Inoltre

≥ 0.

v n n

u

X X

u 2

2

− ⇐⇒ − ⇐⇒ ∀i ≤

(x y ) = 0 (x y ) = 0 x = y n

t i i i i i i

i=1 i=1

3) È ovvio, perché 2 2

− −

(x y ) = (y x )

i i i i

4) Riscriviamo la disequazione in un altro modo:

∥x − ∥(x − − ≤ ∥x − −

d(x, z) = z∥ = y) + (y z)∥ y∥+∥y z∥ = d(x, y)+d(y, z)

Adesso notiamo che, per dimostrare la disequazione di parten-

za, ci basta dimostrare la sub-additività della norma euclidea

(∥a con:

≤ ∥a∥ ∥b∥)

+ b∥ + − −

a = x y b = y z

Procediamo elevando al quadrato il primo termine:

2

∥a · · · · ·

+ b∥ = (a + b) (a + b) = (a a) + (a b) + (b a) + (b b) =

2 2

· · · ∥a∥ · ∥b∥

= (a a) + 2(a b) + (b b) = + 2(a b) +

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (sezione 1.3), sappiamo

che il prodotto scalare (a è minore o uguale al prodotto delle

· b)

norme (∥a∥ quindi:

· ∥b∥),

2 2 2 2

∥a∥ · ∥b∥ ≤ ∥a∥ ∥a∥ · ∥b∥ ∥b∥

+ 2(a b) + + 2 +

| {z } | {z }

2 2

(∥a∥+∥b∥)

∥a+b∥

Rimuovendo i quadrati (poiché le norme sono quantità non

negative), otteniamo: Dimostrata la

∥a ≤ ∥a∥ ∥b∥ −→

+ b∥ + sub-additività

C.V.D.

10

1.3 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz afferma che, in uno spa-

Definizione:

zio vettoriale con prodotto scalare, il modulo del prodotto scalare tra due

vettori è minore o uguale al prodotto delle loro norme:

|(a · ≤ ∥a∥ · ∥b∥

b)| 2 2

1.3.1 Prima dimostrazione (sc