Appunti di Analisi matematica 2

Revisionato il 28/07/2026

di Aishapodavini

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Argomenti trattati:Derivata parziale, derivabilità funzioni n variabili, curve, arco curva regolare, differenziale secondo, max/min assoluti e relativi, punti critici, SMS, insiemi …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. Pireddu Marina

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2017-2018

80 pagine

Appunti esame

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Derivata parziale

F: A⊆Rⁿ→R, X₀∈A, A aperto.

Definiamo derivata parziale di F in X₀ = (X₀₁,...,X_0n) lungo l'i-esima direzione, con i = {1,...,n}, e la denotiamo con ∂F/∂x_i (X₀), come il seguente limite, se è finito:

lim_h→0 (F(X₀ + he_i)-F(X₀))/h

Derivabilità funzione n variabili

F: A⊆Rⁿ→R, A aperto. Si dice derivabile in X₀∈A se F ammette tutte le derivate parziali.

In tal caso indichiamo con ∇F(X₀) vettore derivate parziali di F in X₀, cioè ∇F(X₀) = (∂F/∂x₁ (X₀),..., ∂F/∂x_n (X₀)) e lo indichiamo come gradiente di F in X₀.

F derivabile su A ⇒ F derivabile in ogni punto X₀∈A.

Curve

F: I⊆R → R^m, t→(f₁(t),...,f_m(t)) con f_i: I⊂R → R per i∈{1,...,m}.

Arco curva regolare

F: I⊆R → R^m, I intervallo aperto tale che F∈C¹(J) e f'(t₀) ≠ 0 ∀t₀∈J.

In tal caso risulta ben definito il versore tangente T(t₀)=f'(t₀)/‖f'(t₀)‖ e dipende con continuità da t₀.

Derivata parziale

F: A⊆ℝⁿ→ℝ, X_o∈A, A aperto.

Definiamo derivata parziale di F in X_o = (X_o,1,...,X_o,n) lungo l'i-esima direzione, con i = {1,...,n}, e la denotiamo con ∂F/∂x_i(x_o), come il seguente limite, se è finito:

lim_h→0 (F(X_o + he_i) - F(X_o))/h

Derivabilità funzione n variabili

F: A⊆ℝⁿ→ℝ, A aperto. Si dice derivabile in X_o∈A se F ammette tutte le derivate parziali.

In tal caso indichiamo con ∇F(X_o) vettore derivate parziali di F in X_o, cioè ∇F(X_o) = (∂F/∂x₁(x_o),...,∂F/∂x_n(x_o)) e lo indichiamo come gradiente di F in X_o.

F derivabile su A ⇔ F derivabile in ogni punto X_o∈A.

Curve

F: I⊆R → R^m, t → (f₁(t),...,f_m(t)) con f_i: I⊂R → R per i∈{1,...,m}.

Arco curva regolare

F: J⊆R → R^m, J intervallo aperto tale che F∈C¹(J) e F'(t_o) ≠0 ∀t∈J.

In tal caso risulta ben definito il versore tangente T(t_o) = f'(t_o) e dipende con continuità da t_o.

If f'(t_o) ≠0.

Differenziale secondo

f∈C²(A), A⊆ℝⁿ aperto, x₀∈A.

Si dice differenziale secondo di f in x₀:

d²f(x₀) : ℝⁿ→ℝ, h↦∑_i=1ⁿ ∑_j=1ⁿ a²f / ∂x_i∂x_j (x₀) h_i h_j.

Max|min assoluto

f : A⊆ℝⁿ→ℝ, x₀∈A.

x₀ è punto di max (min) assoluto debole per f su A ed f(x₀) è max (min) assoluto debole per f su A se F(x₀) ≥ f(x) (F(x₀) ≤ f(x)) ∀ x∈A.

Max|min relativo

f : A⊆ℝⁿ→ℝ, x₀∈A.

x₀ è punto di max (min) relativo debole per f su A ed f(x₀) è max (min) relativo debole per f su A se ∃ U intorno x₀ : F(x₀) ≥ f(x) (F(x₀) ≤ f(x)) ∀ x∈A ∩ V.

Punti critici

F: A ⊆ Rⁿ → R, chiamiamo punti critici i punti di A in cui si annulla il gradiente di F.

Sns

Una forma quadratica Q: Rⁿ → R si dice:

Definita positiva (negativa) se Q(h) > 0 (Q(h).
Semidefinita positiva (negativa) se Q(h) ≥ 0 (Q(h) ≤ 0) ∀h ∈ Rⁿ ed ∃h ≠ 0 : Q(h) = 0.
Indefinita se ∃ h̅ ∈ h: Q(h̅) > 0 e Q(h̅).

Insieme convesso

Ω ⊆ Rⁿ convesso ∀ x₁, x₂ ∈ Ω l'insieme [x₁, x₂] = {(1-t)x₁ + tx₂ : t ∈ (0, 1)}.

F((1-t)x₁ + tx₂) ≤ (1-t)F(x₁) + tF(x₂).

Insieme concavo

F: Ω → R concava se -F è conessa.

Strettamente convesso

F: Ω → R strettamente convesso se ∀ x₁ ≠ x₂ ∈ Ω e ∀ t ∈ (0, 1).

F((1-t)x₁ + tx₂) 1) + tF(x₂).

Strettamente concavo

F: Ω → R strettamente concavo se -F è strettamente convesso.

Integrabilità (integro doppio)

F: [a,b] x [c,d] ➝ R limitata sul rettangolo R = [a,b] x [c,d] ⊂ R², F si dice integrabile su R se ∫ finito.

lim_n→∞ sn = > integrale doppio di F su R = ∫∫_R F(x,y)dxdy.

In modo da avere ∫∫_R F(x,y)dxdy = lim_n→∞ Σ_h=1ⁿ (b-a)(d-c)/n² F(p_hk).

Insiemi semplici e regolari

E ⊂ R² si dice y-semplice se E = {(x,y)∈R²: x∈(a,b) g₁(x)_{y_g₂(x)}.

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