Appunti di Algebra lineare e geometria

Name: Appunti di Algebra lineare e geometria
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Author: scarpeviola

Revisionato il 10/09/2026

di scarpeviola

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Appunti schematizzati del corso di Algebra lineare e geometria del professor Ghigi. Schematizzati in maniera semplice e comprensiva con tanto di esempi ed esercizi di aiuto …

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ghigi Alessandro

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2021-2022

57 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Ripasso teoria: invertibilità e diagonalizzazione

Una matrice è invertibile → se det ≠ 0.

Una matrice è diagonalizzabile → se Ma = Mg.

A) Matrice non invertibile ma diagonalizzabile

La matrice ( 1 0 0 2 0 0 ) è Non invertibile, ma diagonalizzabile perché:

Invertibilità → det ≠ 0.

Diagonalizzazione → Ma e Mg =.

X guardo il P(λ) della matrice.

det = (1 - λ) · det ( 2-λ 0 0 0-λ ) = (1-λ) · ((2-λ)(0-λ) - 0) = (1-λ) · (0-2λ - 0 + λ²) = (1-λ) · (-2λ + λ²) = -2 + λ² + 2λ - λ³ = 0.

= [-2 + \[3\] λ² - λ³] = 0.

λ(-2 + 3λ - λ²) = 0.

(-b ± √b² - 4ac) / 2a.

-3 ± √49 -(4·2)(-1) / 2(-2) = -3 ± 7 / -4.

→ (λ = 2) Ma = Mg.

→ (λ = 1) Ma = Mg.

→ |Ma = Mg| diagonalizzabile.

Ripasso teoria: invertibilità e diagonalizzazione

Una matrice è invertibile se det ≠ 0.

Una matrice è diagonalizzabile se Ma e Mg sono =.

La matrice ^{(1 0 0)} è Non invertibile, ma diagonalizzabile perché invertibilità → det ≠ 0.
Diagonalizzazione → Ma e Mg =.
X quadro fa: faccio il Pa della matrice.
det = (1 - λ) · det _{(2-λ 0)}.
= 1 ± 3√2 - λ².
λ = 0 → Ma = Mg.
λ = 2.
λ = 1.
Ma = Mg → diagonalizzabile.

C) Matrice non invertibile e non diagonalizzabile

La matrice ^{1 0 0}/_{0 1 0}/^{0 0 1} è Ni invertibile e ni diagonalizzabile V₁, perché ➡ diagonalizzabile ➡ det ≠ 0.

Ma det = 0 perché c'è riga di teli ➡ invertibile.

det = (1-λ) · det ^{1 0}/_{0 -λ} = (1-λ) ((1-λ) (-λ) - 0) = (1-λ) (0-λ;+λ²) = (1-λ)(-λ;+λ²) = (-λ²+λ³-2λ²-3λ) = λ (-1+2λ;+λ²) = 0.

-b ± √b²-4ac = -2 ± √4-4(-1)(1) = -2 ± √4 + 4 -2 ± √2 = -2 ± 0 = -22 ± 0 = ±2 = 2.

λ=0 Ma=Mg.

λ=-2 ^{1+2 1 0}/_{0 1+2 1}/^{0 0 -2}.

Mg=3 ^{3 1 0}/_{0 3 1}^{0 0 2}.

Mg=3.

MA ≠ MG.

Non è invertibile!

Ortogonalità

Per essere ortogonale la matrice deve avere ➡ det = ±1.

Stabilire avalà che le seguenti matrici sono ortogonali.

^{0 -1}/_{1 0} V₁, perché det = -1 · det ^{1 0}/_{0 -1} = -1 · (-1-0) = -1 · (-1) = 1 ✓.

^{1 -1}/_{-1 1} X, perché det = 1 - (-1) = 1+1 = 2 ✗.

Applicazione lineare

L: ℝ^* → ℝ^*... L(^*) ( ) e L(ℚ^*) ( ).

Cose da sapere e rispondere alle domande...

Surriettiva → ℝ² → da numero + grande a + piccolo.
Iniettiva → ℝ² → ℝ^* da numero + piccolo a + grande.

Ker → insieme di → ℝ² → sono vere quelle dove c’è Ker ∈ (^*).

I numeri devono essere comb. lin. di L( ).

dim Ker L = ⓘ. La dimensione del Ker corrisponde all’insieme di partenza.

Im L → insieme di → ℝ³ → sono vere quelle dove c’è Im L ∈ (^*).

The symbol ⓒ means contained and true.

Im L ⊆ L(ℚ) ℝ ⓥ =!1.

∋ 5 ( ) 3 (Esempio se nella consegna te Y di L sono= 0).

Domande sulle applicazioni lineari

ⓕ Sia L: ℝ³→ℝ² un’applicaz. lin. tale che L(⁰(^*) = (^*,1) e L(!) = (⌠.2)^*.

Quale è vera necessariamente?

□ L nn è Surriettiva χ, ℝ³→ℝ² è surriettiva!
□ Ker L = span (^* -1) ✓, c’è ≡ nn va bene.
■ (_-1) ∈ Ker L ✓, c’è e e poi e comb. lin. di.
■ Span(!) ⊂ Im L ✓, c’è ≡ C (contenuto va bene).

① Sia L:_R³→_R² un’applicaz. lin. tale che L(i) = (2). Qual è vera?

dim Ker L = 2 perché è _R³ quindi dim n = 3.

Im L = Span (1) c’è [...] va bene!

L nn è iniettiva perché _R²→_R² è suriettiva quindi nn è iniettiva.

(-1) ∈ Im L perché c’è e ed è comb. lin.

□ Sia L:_R²→_R³ un’app. lin. tale che L(i) = (0 0 y) e L(i₂) = (0 0 y). Qual è vera?

Im L = {3 j} y = 3 perché nella consegna nelle immagini la ye = 0.

dim Ker L = 1 è = 2 (perché è R².

L è suriettiva.

È iniettiva.

Intersezione tra sottospazi

U ∩ W intersione minima tra sottospazi.

Nell'esercizio vengono date dim di U e di W, quando mi chiede la dim minima della loro intersensione devo fare questo calcolo.

dim U + dim W = * − * →

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