Appunti Algebra e geometria

Teoria geometria spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale reale V è un insieme su cui abbiamo una somma interna e un prodotto per scalare (reale) con le opportune relazioni di compatibilità.

Ad esempio sono spazi vettoriali reali ℝ³, ℝⁿ, ℝ[x].

W ⊆ V è un sottospazio vettoriale ⇔ { ∀w₁, w₂ ∈ W ⇒ w₁ + w₂ ∈ W ∀v ∈ V ∀ ∈ ℝ ⇒ v ∈ W.

HP: V spazio vettoriale, v₁, ..., vₙ ∈ V (n naturale ≠ 0).

Allora Span {v₁, ..., vₙ} è uno spazio vettoriale di V.

Se W ⊆ V è un sottospazio vettoriale, allora 0 ∈ W. In altri termini, se W è una sottosezione di V che non contiene 0, allora non può essere un sottospazio.

Attenzione: non è valido il viceversa, ovvero non è valido che se 0 ∈ W allora W è un sottospazio di V.

Es: W = { (x₁)(x₂)(x₃) ∈ ℝ³ | x₁ = x₂ = x₃ } contiene lo 0 ma non è un sottospazio di ℝ³.

Operazioni tra sottospazi

Siano W₁, W₂ sottospazi di V vettoriale. Allora:

• W₁ ∩ W₂ è sottospazio di V.
• W₁ + W₂ è sottospazio di V.
• W₁ ∪ W₂? Non possiamo concludere se non sappiamo di quale sono fatti W₁ e W₂.

Es: W₁ = span {e₁, e₂} W₂ = span {e₁, e₃} ⇒ W₁ ∪ W₂ non è sottospazio di ℝ³.

Es: W₁ = span {e₁, e₂, e₄} W₂ = span {e₁, e₄} ⇒ W₁ ∪ W₂ è sottospazio di ℝ³.

Oss: W₁ ∪ W₂ è sottospazio di V ⇔ uno è incluso nell'altro.

Linearmente indipendenti

Sia {v₁, ..., vₙ} una lista di vettori di V: i vettori v₁, ..., vₙ si dicono linearmente indipendenti se solo tutti 0 = la combinazione lineare degli altri elementi della lista.

Teoria geometria spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale reale V è un insieme su cui abbiamo una somma interna e un prodotto per scalare (reale) con le opportune relazioni di compatibilità.

Ad esempio sono spazi vettoriali reali ℝⁿ, ℝ⁴, ℝ[x].

W ⊆ V è un sottospazio vettoriale ⇔ W + 0 ∀w₁, w₂ ∈ W ⇒ w₁ + w₂ ∈ W ∀w ∈ W ∀α ∈ ℝ ⇒ αw ∈ W.

HP: V spazio vettoriale v₁, ..., vn ∈ V (n naturale ≠ 0). Allora Span {v₁, ..., vn} è uno spazio vettoriale di V.

Se W ⊆ V è un sottospazio vettoriale, allora 0 ∈ W. In altri termini, se W è un sottospazio di V che non contiene 0, allora 0 non può essere un sottospazio.

Attenzione: non è valido il viceversa, ovvero non è valido che se 0 ∈ W allora W è un spazio di V.

Es: W = {(x₁, x₂) ∈ ℝ³ | x₁ - x₂ | contiene lo 0 ma non è un sottospazio di ℝ³.

Operazioni tra sottospazi

Siano W₁, W₂ sottospazi di V vettoriale. Allora:

• W₁ ∩ W₂ è sottospazio di V.
• W₁ + W₂ è sottospazio di V.
• W₁ ∪ W₂? Non possiamo concludere se non sappiamo come sono fatti W₁ e W₂.

Es: W₁ = span {e₁, e₂} W₂ = span {e₁, e₃} ⇒ W₁ ∪ W₂ non è sottospazio di ℝ³.

Es: W₁ = span {e₁, e₂, e₄} W₂ = span {e₁, e₄} ⇒ W₁ ∪ W₂ è sottospazio di ℝ³.

Oss: W₁ ∪ W₂ è sottospazio di V ⇔ uno è incluso nell'altro.

Linearmente indipendenti

Sia {v₁, ..., vn} una lista di vettori di V. I vettori v₁, ..., vn si dicono linearmente indipendenti se sono solo tutti non nulli e ciascun elemento di w₁ non è combinazione lineare degli altri elementi della lista.

Linearmente dipendenti

Sia u₁, ..., un una lista di vettori di V. I vettori u₁, ..., un si dicono linearmente dipendenti se è possibile scrivere un vettore di tale lista come combinazione lineare degli altri.

Base

Sia V uno spazio vettoriale. Una base di V è una lista di vettori u₁, ..., un ⊆ V sono linearmente indipendenti, sono generatori.

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato, definiamo dim V come il numero di elementi che costituiscono una base di V.

IMP: ℝ^m è uno spazio vettoriale di dimensione m (ad es. ℝ³ ha come base {(1,0,0), (0,1,0), 0,0,1} che ha cardinalità 3.

Se v₁, ..., vn ⊆ ℝ^m allora valgono le seguenti:

• V₁, ..., vn linearmente indipendenti → k ≤ m. k < m → v₁, ..., vn non una sola linearmente indipendenti.
• V₁, ..., vn generano ℝ^m → k ≥ m. k > m → v₁, ..., vn non generano ℝ^m.
• V₁, ..., vn base di ℝ^m → k = m. k ≠ m → v₁, ..., vn non è una base di ℝ^m.

Inoltre v₁, ..., vn ⊆ ℝ^m sono linearmente indipendenti se e solo se sono una base (⇔ sono un sistema di generatori).

Teorema di Grassmann

Sia V