Appunti di Advanced structural design

Progetto di piastre in CA criterio di snervamento di Johansen

Ipotesi

• Le barre di armatura che attraversano la yield line sono assunte snervate
• Si assume che la rigidità torsionale sia trascurabile rispetto a quella flessionale
• Si assume che le barre snervate non si pieghino

Consideriamo una porzione unitaria di armatura lungo una yield line.

M_niu 1/cosα = m_ku cosα M_ntu 1/cosα = m_ku senα M_niu = m_ku cos²α M_ntu = m_ku senα cosα momenti resistenti lungo la yield line

Armatura in più direzioni

Nel caso di: armatura in più direzioni:

M_niu = Σ_k=1^N m_ku cos²α_k M_ntu = Σ m_ku senα_k cosα_k

Armatura ortotropica

Nel caso di armatura ortotropica:

α_x = θ α_y = θ - π/2 sapendo che: cos²(θ - π/2) = sen²θ ; sen(θ - π/2) = cos θ ; cos(θ - π/2) = -senθ

m_xu = m_xu cos²θ + m_yu sen²θ

m_yu = (m_xu senθ cosθ - m_yu senθ cosθ) = senθ cosθ (m_xu - m_yu)

Progetto di piastre in CA criterio di snervamento di Johansen

Ipotesi

• Le barre di armatura che attraversano la yield line sono assunte snervate
• Si assume che la rigidità torsionale sia trascurabile rispetto a quella flessionale
• Si assume che le barre snervate non si pieghino

Consideriamo una porzione unitaria di armatura lungo una yield line.

Il momento resistente è dato solo da mmu.

mmu ⋅ ¹/_cosα - mmu ⋅ cosα

mmtu ⋅ ¹/_cosα - mmu ⋅ senα

mmu - mmu ⋅ cos²α

mmtu = mmu ⋅ senα ⋅ cosα

Momenti resistenti lungo la yield line

Nel caso di: armatura in più direzioni:

M_niu = ^N∑_k=1 m_ku ⋅ cos²α_k

M_mtu = ∑ m_ku ⋅ senα_k ⋅ cosα_k

Nel caso di: armatura ortotropica:

α_x = θ

α_y = θ - ^π/₂

Sapendo che: cos²(θ - ^π/₂) = sen²θ; sen(θ - ^π/₂) = cosθ ; cos(θ - ^π/₂) = cosθ ; cos(θ - ^π/₂) = -senθ

mmu = mmu ⋅ cos²θ + myu ⋅ sen²θ

mmtu = mmu ⋅ senθ ⋅ cosθ - myu (senθ ⋅ cosθ) = (m_xu - myu)

Momento agente

* Una volta definito il momento resistente dobbiamo definire il momento agente.

d_x = ds · senθ

d_y = ds · cosθ

M_ndds - Mx cos²θds + M_xy senθcosΘds + M_xy senθcosΘds + My sen²θds

M_nt ds = M_x senθcosθds - M_xy cos²θds + M_xy sen²θ ds - My senθcosθ ds

M_n = M_x cos²θ + 2 M_xy senθcosθ + My sen²θ

M_nt = (Mx - My) senθcosθ + M_xy (sen²θ - cos²θ)

Condizioni di non collasso

* Affinché la struttura non collassi devono essere verificate:

{m_nu^(-)(θ) ≤ M_nu(θ) ≤ m_nu⁽⁺⁾(θ) m_ntu^(-)(θ) ≤ M_ntu(θ) ≤ m_ntu⁽⁺⁾(θ) (*)

La disequazione (*) risulta sempre soddisfatta in quanto esistono diversi meccanismi che concorrono alla resistenza torsionale oltre a quella offerta dalle barre.

Metodo di Wood-Armer

Consente una valutazione puntuale del momento flettente.

Si basa sulla disuguaglianza:

m_nu(θ) ≤ M_nu(θ) ≤ m⁺_nu(θ)

Momento positivo: M_nu(θ) ≤ m⁺_nu(θ)

Riformulando le definizioni di: M_nu e m_nu:

m_nu = m_xucos²θ + m_yusen²θ

M_nu = M_xucos²θ + 2M_xyusenθcosθ + M_yusen²θ

Il design ottimale è dato da:

Orientazione critica Θ_CR = {Θ: min [m_nu(θ) - M_nu(θ)]}

m, MΘ_CR

La condizione di minimo è data da:

d(m_nu-M_nu)/dθ = 0

d²(m_nu-M_nu)/dθ² > 0

Assumendo l'armatura non sia sovradimensionata

min { m_nu(Θ) - M_nu(Θ) } = 0

m_nu(Θ) = M_nu(Θ) (B)

* Definendo tanΘ = k => cos²Θ = 1/(1 + tan²Θ) = 1/(1 + k²)

m_nu = m_xucos²Θ + m_yusen²Θ =