Appunti del corso di Fondamenti di telecomunicazioni

Richiami sui numeri complessi (capitolo 1)

Nascono per dare soluzione a x²=-1

x² =-1

i² =-1

Numero complesso c=a+ib con a,b,i ∈ R - c∈C

c=i=(ab)=a+ib

c*=(a-bi)=(a,b,0)

Nel piano di Gauss

c=a+ib

Somma se complessi: (a,b,1) , (c,d,1) (anc.b.id.1)

Prodotto: (a,b,1), (a,b,d) (ac-bd.ad+bc)

(0.b.ra) è un reale (a,0,i) (c.immaghi) (a,o.i) = 0.reale

In telecomunicazioni usano j al posto di i

Formula di Eulero

c=cos(t) + jsen(t)=c Numero che ruota

Re = cos(ut+o)

sen(t)= eu

Sinusoidi e fasori

(t)=A. cos (ut+o)

(t) = Re

Richiami sui numeri complessi (capitolo 1)

Nascono per dare soluzione a x²=-1

C₁∈ℝ

C₂∉ℝ

Numero complesso c= a+ib con a,b∈ℝ, i∈ℂ

i² = -1

c = a+ib

c₁^*c₁ = (a²)+(ib)²

Nel piano di Gauss

(a,0) ∉ ℝ un reale

(0,a), i è immaginario → (0,1), (0,-i), (1,-i), (0,Ic,-1) = 2 reale

(a,b): = (a,0) + (0,b) = a * (b,0) * (0,-1) = a+ib

(a,b)

In telecomunicazioni usiamo j al posto di i

Formula di Eulero

j^φA = cosφ + j sinφ = C → rotazione

cosφ = ^{ejφ + e-jφ}/₂

sinφ = ^{ejφ - e-jφ}/_2j

Sinusoidi e fasori

x(t) = A cos (ωt + φ) = _A/²+ A₂ e^{-j(ωt + φ)}

x(t) = Re { _A ^{j(ωt + φ)} }

Numero complesso rappresentativo del fasore A_e^jθ

(Ha_sua_ampiezza_e_fase)

Se la frequenza è nota, è comodo usare questo numero: metodo di Steinmetz.

Analisi di Fourier (capitolo 2)

Sviluppo in serie di Fourier

x(t) = x(t + T) funz. periodica

Prima forma (esponenziale)

x(t) = x(t + T) con _x(t) ^{∈ C}

x(t) = _∞ ^∑ C_m e^jmw₀t

con w₀ = ^2∏/_T

C_m = ¹/_T ∫ x(t)e^-jmw₀t dt

Num. compless. appar. nell' m-esimo fasore

LIM _N→∞ {x(t) - _{∑ M = -N}^NC_me^jmw₀t}= 0

Convergenza puntuale

LIM _N→∞ ∫ ₀^T {x(t) - _{∑ M = -N}^NC_me^jmw₀t}² dt= 0

Convergenza media quadratica

Se valgono le condizioni di Dirichlet

• ^T ∫ ₀ |x(t)| dt < ∞
• # MAX ⪯ # MIN su T < ∞
• # DISCONTINUITÀ 1° SPECIE x(t) su T < ∞

Allora la serie converge

_{∑ M=-∞}^∞ C_m e^jmw₀t = ^{x(t-) - x(t+)}/₂

Condizione per conv. media quad.

• ^T ∫ ₀ |x(t)|² E_x < ∞ ⟹ C.M.Q.

Considerazioni

• ^T ∫ ₀ x(t) dt
• x(t) ⇔ {_{∑ M=-∞}^∞ C_m e^jmw₀t}
• Se x(t) ∈ R ⟹ C_-m = C_m^* C₀ = ¹/_T ∫^T _-T/2 x(t) e^-j0wtdt = ¹/_T ∫^T₀x(t)dt ⟹ valor medio di x(t)

Spettro di ampiezza

Spettro di fase

|c₁| |c₁| |c₂| |c₂|

-ω₀ 0 ω₀ 2ω₀ ω

ω₀ 2ω₀ ω

Formano un pettine con righe equispaziate

Sono dette bilateral da -∞ a +∞

x(t) ∈ ℝ

Cₘ*→coniugato

Simmetria hermitiana

C ↔ a - i b → C' = a + i b

c = 2e^{i φ} - c = 2e^{i φ}c

Cₘ = 1/T∫ x(t)e^-jω₀t dt

x(t) =∑_m=-∞^∞ cₘ e ^jmω₀t = ... + Co +∑_m=1^∞...=∑_m=-∞^∞

x(t) =∑_m=-∞^∞ cₘ e ^jmω₀t = ... + Co +∑_m=1^∞=∑_m=1^∞ cₘ e ^-jmω₀t=∑_m=1^∞

=C₀+∑_m^{∞ Re} C_m e ^jmω₀t

Seconda forma

A₀ = C ₀

A_m = 2 |c_m| per m ≥ 1

φ m = ang ξ _cₘ

... 1 eⁱ(φ^tmt=2

cₘ = A_m eⁱ