Appunti Controlli automatici

Capitolo 1 Stabilità dei sistemi in retroazione

1.1 Sistemi interconnessi

1.1.1 Sistemi in serie o cascata

( (ẋ = A x + B u ẋ = A x + B u1 1 1 1 1 2 2 2 2 2S : S :1 2y = C x y = C x1 1 1 2 2 2W (s) = W (s)W (s)2 1∪autovalori S = autovalori S autovalori S1 2∪ −poli W (s) = poli W (s) poli W (s) cancellazioni poli/zeri1 2Quindi gli autovalori non si spostano.

Nel caso di cancellazioni tra poli e zeri nel fare il prodotto tra W (s) e W (s) si ha1 2che il polo cancellato è un autovalore nascosto cioè è autovalore di S ma non è unpolo di W (s), diventando dunque non raggiungibile e/o non osservabile.

Esempio:( ( −xẋ = x + u ẋ = + u1 1 1 2 2 2S : S : connessi in cascata1 2y = x y = 2x + u1 1 2 2 2Gli autovalori del primo e del secondo sistema con le funzioni di trasferimentosono: −1λ = 1 λ =1 2 −1 s 1W (s) =W (s) = 21 −s 1 s +112 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazione ! ! 1 0 1ẋ = x + u = x + u 1 1 1 1 ẋ = x + u  −11 0⇒−x −xS : S :ẋ = + u = + x2 2 2 2 1  −2x −2x −2y = y = + u = + x y = x1 2 2 2 2 1 − 1s 11 · =W (s) = − s +1 s +1s 1L’unico polo è -1 quindi l’autovalore 1 è nascosto ed è non osservabile.

In generale se si cancella un polo di S allora tale autovalore è non osservabile,1mentre se si cancella un polo di S tale autovalore è non raggiungibile.2

1.1.2 Sistemi in parallelo

(( ẋ = A x + B uẋ = A x + B u 2 2 2 2 21 1 1 1 1 S :S : 21 y = C xy = C x 2 2 21 1 1 W (s) = W (s) + W (s)1 2∪autovalori S = autovalori S autovalori S1 2∪ −poli W (s) = poli W (s) poli W (s) cancellazioni poli/zeri1 2Quindi gli autovalori non si spostano.

Nel caso di cancellazioni tra poli e zeri nel fare la somma tra W (s) e W (s) si ha1 2che il polo cancellato è un autovalore nascosto cioè è autovalore di S ma non è unpolo di W (s), diventando dunque non raggiungibile e/o non osservabile.

1.1.3 Sistemi in retroazione o feedback

1.1. Sistemi interconnessi 3( (ẋ = A x + B u ẋ = A x + B u1 1 1 1 1 2 2 2 2 2S : S :1 2y = C x y = C x1 1 1 2 2 2Imponendo i vincoli:  ! !−BA C B1 1 2 1 ẋ = x + u B C A 0S : 2 1 2  y = xC 0 1Gli autovalori di S (sistema retroazionato o ad anello chiuso) non sono dati dall’unione di quelli di S ed S (come nel caso di sistemi in cascata o parallelo) ma sono1 2tanti quanti la somma di quelli di S e quelli di S , sono quindi spostati rispetto a1 2questi.

Anche i poli dunque si spostano e sono diversi da quelli di S e S ; possiamo avere1 2anche cancellazioni. −1W (s) = (I + W (s)W (s)) W (s)1 2 1

Nel caso di sistemi SISO (un ingresso e un’uscita):W (s)1W (s) = 1 + W (s)W (s)1 2

Nel caso di retroazione positiva (in cui nel sommatore compare invece di un ”-” un”+” per il ramo di reazione), si ha: −1−W (s) = (I W (s)W (s)) W (s)1 2 11.1.4 Sistemi in retroazione negativa costantek è una costante e non abbiamo più un sistema nel ramo di reazione.RGli autovalori di S sono tanti quanti quelli di S ma si spostano, stessa cosa i poli1che non possono cancellarsi (gli zeri invece sono immutati).4 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazioneN (s)FW (s) =1 D (s)F N (s)W (s) F1 =W (s) = 1 + k W (s) D (s) + k N (s)R 1 F R FUn caso particolare si ha quando k = 1 e in tal caso si ha una retroazioneRnegativa unitaria (unit negative feedback ).

Osservazione:In generale la retroazione non sposta gli autovalori nascosti cioè se abbiamodue sistemi: S sul ramo diretto e S sul ramo di retroazione allora gli1 2eventuali autovalori nascosti (non raggiungibili e/o non osservabili) di S o1S si trovano immutati in S.2

Esempio:Prendiamo un sistema retroazionato con:(ẋ = A x + B u1 1 1 1 1S : y = C x1 1 1 −1 0 1 {−1,1 0A = B = C = Λ = 1}1 1 10 1 0 1−1−F (s) = C (sI A ) B =1 1 1 s +1Quindi l’autovalore 1 è nascosto (né raggiungibile né osservabile).

Per il sistema retroazionato abbiamo:( −ẋ = (A B C )x + B u1 1 1 1 1 1y = C x1 1 1 −2 0− {−2,A B C = Λ = 1}1 1 1 0 1Quindi l’autovalore -1 viene spostato (diventa -2) mentre l’autovalore 1 rimaneimmutato (poiché è nascosto). 1−1− −W (s) = C (sI (A B C )) B =1 1 1 1 1 s +2Rimane dunque nascosto l’autovalore 1.

1.2 Stabilità dei sistemi in retroazione

1.2. Stabilità dei sistemi in retroazione 5Consideriamo una retroazione negativa costante e indichiamo con F (s) la funzionedi trasferimento del ramo diretto (o ad anello aperto) e con W (s) la funzione ditrasferimento del sistema retroazionato (o ad anello chiuso).

In generale la retroazione può stabilizzare o destabilizzare il sistema.

Esempio: kF (s) = instabile−s 1F (s) kW (s) = = −1 + F (s) s 1+ kSe k > 1 è stabile asintoticamente.

Esempio: −k(s 1)F (s) = stabile asintoticamente2(s + 1) −k(s 1)W (s) = 2 −s + (k + 2)s + 1 kSe k > 1 è instabile.

Serve un criterio che permette di dire se un sistema in retroazione è stabile asintoticamente o meno e anche quanto dista dall’instabilità.

Il criterio di Nyquist permette di fare ciò attraverso l’esame del diagramma diNyquist.

1.2.1 Criterio di Nyquist

Facciamo tre ipotesi:

• Hyp0: Consideriamo sistemi SISO (ipotesi restrittiva)
• Hyp1: Facciamo riferimento ad una retroazione negativa unitaria.Questa è un’ipotesi non restrittiva poiché:6 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazioneQuindi qualsiasi retroazione con k sul ramo di reazione si può scrivere comeRla cascata di 1/k e di una retroazione negativa unitaria con k F (s) comeR RFdT sul ramo diretto.
• Hyp2: Assumiamo che F (s) (sistema sul ramo diretto) non nasconda autova-≥lori con Re[] 0.Questa è un’ipotesi restrittiva poiché se viene violata il sistema sarà sempreinstabile.L’ipotesi deriva dal fatto che la retroazione non sposta gli autovalori nascosti(rimangono immutati nel sistema retroazionato).

Grazie a hyp2 la stabilità asintotica del sistema retroazionato dipende solo dai suoipoli (dalla loro collocazione).

La collocazione dei poli della FdT ad anello chiuso W (s) si può mettere in relazionecon l’andamento del diagramma di Nyquist (ddN) della risposta armonica ad anelloaperto F (jω).

Consideriamo ora due fatti (dati per veri senza dimostrazione):

• Fatto A: W (s) ha poli con Re[] = 0 se e solo se il ddN di F (jω) passa per(-1,0) detto punto critico.
• Fatto B: se F (s) non ha poli con Re[] = 0 (hyp3), si ha:& + +− n (1.1)N = n FF WIn cui: &1. N : numero di giri del ddN di F (jω) intorno al punto critico (positiviFse in senso orario)+2. n : numero di poli di W (s) con Re[] > 0W1.2. Stabilità dei sistemi in retroazione 7+3. n : numero di poli di F (s) con Re[] > 0F Criterio di Nyquist (CdN):Nelle ipotesi 0,1,2,3 il sistema retroazionato è stabile asintoticamente (AS)se e solo se:1. il diagramma di Nyquist di F (jω) non passa per il punto critico& +−n2. N =F FIl criterio si ottiene dai fatti A e B imponendo che W (s) non abbia né poli con+Re[] = 0 (ddN di F (jω) non passa per il punto critico) né con Re[] > 0 (n = 0).W

Osservazioni sul CdN:

• Per giudicare della stabilità del sistema ad anello chiuso basta il ddNdel sistema ad anello aperto.
• Se la condizione 1 del CdN è violata allora il sistema retroazionato hacertamente poli con Re[] = 0 e può essere stabile semplicemente (SS)o instabile (I).
• Se la condizione 2 del CdN è violata allora:&+ +n = N + n > 0W F FIl sistema retroazionato è certamente instabile (I).
• +se n = 0 la condizione 2 del CdN diventa:F &N = 0FIl criterio si dice allora ridotto.

Esempio: 10F (s) = (1 + s)(1 + 0.1s)8 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazione( & +N = 0 = nF W ⇒ sistema retroazionato AS+n = 0FPossiamo anche fare una verifica applicando Routh al denominatore di:10W (s) = 20.1s + 1.1s + 11Dato da: D (s) = D (s) + N (s)W F FSi hanno 2 poli con Re[] < 0 (sistema retroazionato è AS).

Esempio: (k> 0kF (s) = (1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ < 0 poli positivi1 2 1 21.2. Stabilità dei sistemi in retroazione 9 +n = 2F & + ⇒6 −n sistema retroazionato IN = 0 =F F +n = 2 W

Esempio: (k> 0kF (s) = +(1 + τ s)(1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ , τ > 0 n = 01 2 3 1 2 3 FSe k aumenta cresce anche il modulo quindi il grafico si ”gonfia” in tutte ledirezioni (accrescimento isotropico del ddN).

Invece di modificare il grafico possiamo far avvicinare il punto critico a (0,0).

• ⇒Caso A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo& +−n ⇒N = 0 = ASF F
• ⇒Caso B: il punto critico è interno al ddN k grande& + ⇒6 −n IN = 2 =F F

Esempio:  k> 0 τ > 0(1 + τ s)  11F (s) = k +(1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ < 0 n = 22 3 2 3 F |τ | |τ | |τ | > >1 2 310 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazione

• ⇒Caso A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo& +6 −n ⇒N = 0 = IF F
• ⇒Caso B: il punto critico è interno al ddN k grande& +−n ⇒N = 2 = ASF F

∗In generale vi è un certo valore soglia k per cui:

• ∗ ⇒k > k : Caso B AS
• ∗ ⇒k < k : Caso A I

∗Calcoliamo k con il criterio di Routh (CdR) applicato al denominatore di W (s):2D (s) = (1 + τ s)(1 + τ s) + kτ s + k = τ τ s + (τ + τ + kτ )s + k + 1W 2 3 1 2 3 2 3 1La CN per il criterio è soddisfatta solo se:1. τ τ > 0 e questo è vero per le ipotesi2 32. k + 1 > 0 e questo è vero per le ipotesiτ + τ2 3 ∗⇒ − ⇒3. (τ + τ + kτ ) > 0 k > = k AS2 3 1 τ 1

Esempio: k< 0τ > 0(1 + τ s)  11F (s) = k +(1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ < 0 n = 22 3 2 3 F|τ | |τ | |τ | > >1 2 3◦Essendo ora k negativo il ddN viene ruotato di 180 (mezzo giro), o equivalentemente possiamo invertire il verso degli assi (immaginario e reale):1.2. Stabilità dei sistemi in retroazione 11O equivalentemente:

• ⇒Caso A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo in valore assoluto& +6 −n ⇒N = 0 = IF F
• ⇒Caso B: il punto critico è interno al ddN k grande in valore assoluto& +−1 6 −n ⇒N = = IF F

1.2.2 Rimozione di hyp3

Per rimuovere hyp3 si deve ammettere che F (s) abbia poli con Re[] = 0, cioèelementi integratori (poli nell’origine) o risonanti (poli immaginari coniugati).

∞In questi casi per ω = 0 o ω = ω il modulo di F (jω) è mentre la fase èndiscontinua e dunque il ddN risulta essere aperto in corrispondenza a tali pulsazioni.

Per poter contare il numero di giri di un ddN aperto, dato dalla presenza dipoli con Re[] = 0, si effettua una chiusura all’infinito del ddN:mezzo giro in senso orario nel verso delle ω crescenti per ogni polo con Re[] = 0.12 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazioneCon queste chiusure il CdN si applica inalterato (abbiamo dunque rimossohyp3).

Esempio: 10s(s + 1)Notiamo subito che il grafico del modulo viene dall’infinito e non più dal finito.Chiudiamo il ddN con un mezzo giro in senso orario:1.2. Stabilità dei sistemi in retroazione 13La chiusura è all’infinito quindi in questo caso tutto il semiasse reale positivo èdentro il ddN.

Esempio: (k> 0kF (s) = +s(1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ > 0 n = 01 2 2 2 F

• ⇒Caso A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo& +−n ⇒= 0 = ASN FF
• ⇒Caso B: il punto critico è interno al ddN k grande& +6 −n ⇒N = 2 = IF F14 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazione∗Calcoliamo k con il CdR (CN non soddisfatta quindi facciamo la tabella):3 2D (s) = τ τ s + (τ + τ )s + s + kW 1 2 1 2τ τ 13 1 22 τ + τ k1 2 −1 τ + τ τ τ k1 2 1 20 k
• τ τ > 01 2
• τ + τ > 01 2
• k> 0 τ + τ1 2
• ∗− ⇒ = kτ + τ τ τ k > 0 k <1 2 1 2 τ τ1 2Se avessimo considerato k < 0: & +6 −n ⇒N = 1 = IF F

Esempio: s +1 +nF (s) = k = 0F2s

• K > 0:Si hanno 2 mezzi giri (due poli nell’origine), il punto critico è sempre esternoal ddN quindi: & +−n ⇒N = 0 = ASF F
• K < 0:1.2. Stabilità dei sistemi in retroazione 15Si hanno 2 mezzi giri (due poli nell’origine) ma il grafico è ruotato, il puntocritico è sempre interno al ddN quindi:& +6 −n ⇒N = 1 = IF F

Esempio: kF (s) = 2(s + 1)(s + 1)Abbiamo 2 poli con parte reale nulla complessi coniugati.16 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazione( +n = 0F& +6 ⇒N = 2 = n IF F

1.3 Influenza del guadagno sulla stabilità in retroazione

Consideriamo: N (s)·F (s) = k F D (s)F·N (s) = k N (s)F F FAl variare di k il ddN di F (jω) non cambia forma ma solo scala, si può però farFscorrere il punto critico sull’asse reale e lasciare il ddN immutato (verso destra sek aumenta o verso sinistra se k diminuisce).F FAl variare di k si riscontrano alcuni comportamenti tipici del sistema in retroa-Fzione:

1.3.1 Stabilità regolare

Si verifica quando (C.S.):

• +n = 0F
• +ddN (solo per le ω positive) ha una sola intersezione con il semiasse realenegativo.

1.3. Influenza del guadagno sulla stabilità in retroazione17Esempio:

• ∗⇒ ⇒Caso A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo k < kF F& +−n ⇒N = 0 = ASF F
• ∗⇒ ⇒Caso B: il punto critico è interno al ddN k grande k > kF F& +6 −n ⇒N = 2 = IF F

◦−180Nel ddN il semiasse reale negativo ha fase quindi si ha un attraversamentodel semiasse reale negativo nel ddN quando sul diagramma della fase si attraversa◦−180 .

1.3.2 Stabilità condizionata

Si verifica quando (C.S.):

• +n = 0F
• +ddN ha intersezioni multiple con il semiasse reale negativo.

Esempio:

• ∗Caso A: 0 < k < kF 1 & +−n ⇒N = 0 = ASF F18 Capitolo 1. Stabilità dei sistemi in retroazione
• ∗∗ < k < kCaso B: k F 21 & +6 −n ⇒N = 2 = IF F
• ∗ ∗Caso C: k < k < kF2 3& +− −n ⇒N = 1 1 = 0 = ASF F
• ∗Caso D: k > kF 3 & +6 −n ⇒N = 2 = IF F

Per ogni attraversamento del semiasse reale negativo nel ddN si ha sul diagramma◦−180della fase un attraversamento di .

1.3.3 Stabilità paradossale

+Si può verificare quando n > 0.FPer spostare i poli del sistema retroazionato dal semipiano destro a quello sinistroè necessaria una certa quantità di retroazione (anche per fare il contrario).

Questi tre comportamenti non esauriscono tutte le possibilità (ad esempio ci sonosistemi AS o I per qualunque k > 0).F

1.4 Margini di stabilità

I margini di stabilità caratterizzano la distanza del sistema in retroa