Appunti completi Sistemi di controllo

Teoria

Sistemi di Controllo

Perturbazioni

1. Durata limitata nel tempo

   μ(t) = {0 t ≤ 0

   {0 t ≥ Tₑψ

   Stabile se per t ≥ 0 le limit dei valori dell'uscita tende a 0

2. Persistenti di ampiezza limitata:

   μ(t) = {0 t ≤ 0

   {|u(t)| ≤ Mᵤ ∀ t ≥ 0

   Stabile se anche l'ampiezza dell'uscita è limitata

Stabilità

Se la matrice delle funzioni di trasferimento G(s) ha tutti poli a P.R.CO allora il sistema è stabile per entrambe le perturbazioni viste prima.

Sistema in Retroazione

y = G₁ / (1 + G₁G₂)

Se G₁G₂ ≠ -1 allora il sistema si dice "ben posto"

Sistema di Controllo

Un sistema di controllo è internamente stabile quando tutte le funzioni di trasferimento hanno tutti i poli a P.R₀

FDT: blocchi attraversati dall'ingresso all'uscita che ci interessa

1 + tutti i blocchi del sistema

Teoria

Sistemi di Controllo

Perturbazioni

1. Durata Limitata nel tempo
   • μ(t) = 0 t ≤ 0
   • μ(t) = 0 t > τ
2. Persistenti di ampiezza limitata:
   • μ(t) = 0 t ≤ 0
   • |μ(t)| ≤ μ ∀ t ≥ 0

[Stabile se per t ≥ 0 le uscite del sistema tendono a 0]

[Stabile se anche ampiezza dell'uscita è limitata]

Stabilità

Se la matrice delle funzioni di trasferimento G(s) ha tutti poli a P.R.C.O allora il sistema è stabile per entrambe le perturbazioni viste prima.

Sistema in Retroazione

y = G1 / (1 + G1G2)

Se G1G2 ≠ -1 → il sistema si dice "ben posto"

Sistema di Controllo

Un sistema di controllo è internamente stabile quando tutte le funzioni di trasferimento hanno tutti i poli a P.R.C.O

FDT = Dall'ingresso all'uscita che ci interessa 1 + tutti i blocchi del sistema

Condizioni per la stabilità interna

1) 1+CPH ha tutti gli zeri a P.R.

2) Non ci sono cancellazioni polo-zero a P.R≥0 tra C, P ed H.

Sistema completo:

E_(s) = 1/(1+L)

Problema dell’inseguimento:

E(s) = 1/(1+Ls) * Y^o(s)

Voglio lim_t→∞|e(t)|=0 ⇔ E(s) ha tutti poli a P.R.

Problema di reiezione dei disturbi:

Pongo a 0 tutti gli ingressi tranne quello a cui sono interessato.

• d_u(t) ≠ 0

Voglio lim_t→∞|Y(t)|=0 ⇔ Y_(s)= 1/(1+L) * D_u ha tutti poli a P.R.

• d_i(t) ≠ 0

Voglio lim_t→∞|Y(t)|=0 ⇔ Y_(s)= P/(1+L) * D_i ha tutti poli a P.R.

chi:

d≠0

Voglio _t→∞ |y(t)|=0 ⇔ Y(s) = -L / 1+L . D_R ha tutti i poli a P.R.C < 0

Trasformate di Laplace:

• a → a / s
• a⋅t → a / s²
• a⋅cos(ωt+Φ) → a s / s²+ω²
• a⋅sin(ωt+Φ) → a ω / s²+ω²

e^-at = 1 / s+a

ℒ [a+at] = a / s + a / s²

Principio del modello interno:

Per mantenere la stabilità occorre replicare la parte instabile del segnale.

Insieme S_I:

È l'insieme delle funzioni di trasferimento razionali fratte , proprie e con tutti i poli a P.R.C.

• 1 grado num. , 2 grado num.

Se P(s) ∈ S_I ⇒ C/P∈ ...

{ C(s)= a / 1-PQ, Q(s)∈S_I }

È la classe dei controllori che rendono internamente stabile il sistema.

Dimostriamo che se P(s)∈S_I, Q(s)∈S_I e C(s)= a / 1-PQ tutte le diverse fdt del sistema e S_I.

1 / 1+CP = 1 / 1+HQP = P

1 / 1-QP+QP = 1-QP

C / 1+CP = 1-QP / 1+ Q / 1-QP = Q / 1+CP = P / 1+CP

C / 1+CP = P C / 1+CP = PQ

P(S) ∈ S'

P(s) = b_ms^m-1 + .... + b₁s + b₀ / s^m + a_m-1s^m-1 + .... + a₁s + a₀ = N(s) / M(s)

C(s) = c_ncs^mc + .... + c₁s + c₀ / s^mc + d_ms^mc+1 + .... + d₁s + d₀ = X(s) / Y(s)

Stabilita Interna

1+CP = 1+ X / Y . N / M = Y'M + XN / Y'

Si ha stabilitá interna se Y'M + XN ha tutti zeri a P.R.O.

Stabilita del sistema

Anche in questo caso perchè il sistema risulti stabile le 4 F.D.T usate prima devono S'.

1 / 1+CP → C / 1+CP = 1 / 1+CP C / 1+CP

Sostituisco → C = X + PQ / Y - NQ

P = N / Y

Ottengo sempre somme e prodotti

di M, N, X, Y che quali appartengono

a S' ⇒ C e 4 F.D.T ∈ S'

FDT AO ANELLO CHIUSO:

W(s) = ^CP/_1+CP ⇒ CP = ^W/_1-W

STABILITA' INTERNA:

1. W(s) ha tutti gli zeri a P.R. 0 ⇒ F(s) è propria strettamente

Un controllore è fisicamente realizzabile, cioè E(C) ≥ 0, se : E(W) ≥ E(P)

Fattorizzazione P(s) e "scomposizione" C(s):

P(s) = _B+(s)B–(s) / _A+(s)A–(s) con B+ → zeri a P.R.Z.O A+ → Poli a P.R > 0

W(s) = _B+(s)F(s) / (s+1)^N con F(s) = F₀ + F₁s + ... ← Grado N^p-1

N = N^p + N^z + E - 1

H(s) = (s + 1)^N - _B+(s)F(s) / A+(s)

N(s) = _B+(s)B–(s) / _A–(s)(s+1)^Np

M(s) = A+(s) / (s+1)^Np

X(s) = A–(s)F(s) / _B–(s)(s+1)^Nz+E-1

Y(s) = H(s) / (s+1)^Nz+E-1

XΝ + Y☐ = 1

SINTESI DIRETTA

W(s) = ^CP/_1+CP   CP = ^W(s)/_1-W(s)

STABILITA INTERNA:

W(s) ha tutti poli a P.R.C. < 0

⇒ Se P(s) ha uno zero a P.R.Z. ⇒ Voglio W(s) con un zero

⇒ Se P(s) ha un polo a P.R.Z. ⇒ Voglio 1-W(s) con uno zero

FISICO REALIZZABILITA:

C(s) è propria ⇒ E(C)≥0 ⇒ E(W)≥E(P)

TECNICA DI SINTESI DIRETTA:

Scelgo W(s) = W_I(s) = ¹/_{1+2ζ^s/ωn + ^s2/ω²n}   ζ∈[0, 1], ω_m>0

La scelta di tale W_I(s) limita con F.D.T. dell'impianto

Allo sminuito: P(s) = ¹/_s^k Pmp(s)   con   k = 0, 1

Poli e Zeri a P.R.C. < 0

SPECIFICHE DI CONTROLLO

Σ e U_E si determinano soddisfacendo alcune specifiche.

In tutto sono 4 e in ordine si classificano:

• 2 S. di precisione, 1 S. di stabilità e 1 S. di prontezza.

S.1:

Errore di inseguimento, nullo per segnali costanti.

• soddisfatta sempre se P(s) ha un polo in s=0

S.2:

Errore a regime di inseguimento ad un ingresso a rampa unitaria sia non superiore ad ε₁.

• soddisfatta se ^K_E/_B3 ≥ 1/^ε₁/_Θ0B3 → voglio Σ ξ_{ζ max}

S.3:

Massima sovraelongazione non superiore ad Ŝ_max.

• soddisfatta quando β₃[ς] ≤ Ŝ_max curva ς̂

S.4:

Banda a 3dB (B₃) circa uguale a Bº₃.

• soddisfatta se B₃ = log_n |Φ₃(ζ)| = Bº₃

NECESSITÀ DI WII(s):

Quando le specifiche diventano molto stringenti, si manifesta z_min z_max non è possibile trovare WI(s) che soddisfi il problema.

WI(s) = WI(s) = ^1+5τ/_1+5^ζ/m rete anticipatrice

Scelgo m poco >1

B_c e E₁ restano gli stessi.

Determino la nuova sovraelongazione massima:

Determino T:

τ = (m / m-1) ((2 z / c_om) - e₁)

Vincolo dell' eccesso:

Voglio sempre E(p) ≤ 2 così che sarà soddisfatta E(U) ≥ E(p).

Se E(p) ≥ 3 ho comunque E(U) = 2; allora sia che sta lavorando con W₁(s) che con W₁₁(s) introduco un nuovo polo ad alta frequenza:

W₁₁ = ... -1 / (1 + S / S_W0) (la sottolineatura è E(p) - 2 → E(U))

Relazione tra P(s) e comportamento di Y(s):

P(s) ha uno zero a P.R.>0 → sottoelongazione

La sottoelongazione è più marcata quando lo zero è vicino all'asse immaginario.

Ciò accade perché lo zero e l'inversamento è proporzionale al ritardo.

P(s) ha un polo a P.R.>0 → sovraelongazione

La sovraelongazione è più marcata quando il polo è lontano all'asse immaginario.

Per rendere stabile il sistema serve un reto cercando che ci porta ad avere oscillazioni.

P(s) ha un polo che uno zero a P.R.>0

→ sia sottoelongazione che sovraelongazione

Funzione di sensitività:

S(s) = ¹/_{1 + CP} = ¹/_{1 + L}

W(s) + S(s) = 1

Teorema della risposta in frequenza:

y_o(t) = A cos(ωt + φ)

y(t) = y_tr(t) + y_reg(t)

Uscita:

lim_t→∞ y_tr(t) = 0

y_tr(t) ≅ y^o(t)

Profiro ideale W(jω):

|W(jω)| = 1 ∀ω∈[0,β₁]

∠W(jω) = 0 ∀ω ≥ 0

Co pulsazione di attraversamento ω_c è definita dalla condizione:

|L(jω_c)| = 1

Polo a P.R > 0 ⇒ ω_c limitata inferiorente

Zero a P.R > 0 ⇒ ω_c limitata superiorente

|S(jω)| ≤ 1 ∀ω ≥ 0

Teorema di Bode:

Considero un sistema a retroazione unitaria e siano p1, p2, ..., pN poli di L(s) a p.r. > 0

∫₀^∞ ln|S(jw)|dw = π Σ_i=1^N Re[pi] + { ^K'π⁄₂ E(L)=1 }

{ 0 E(L) > 1

con  K'= lim s·L(s)

     s→0

Margine di fase:

mf = π + ℒL(jw) ← Se E'>0 ⇒ È garantita la stabilità del sistema di controllo.

SISTEMI A DATI CAMPIONATI:

POSSO SCEGLIERE TRA DUE PROCEDURE:

• TECNICA DIRETTA:
  • DISCRETIZZO L'IMPIANTO E DETERMINO P_c
  • PROGETTO C_d SU BASE DI P_c E DELLE SPECIFICHE DI CONTROLLO
• TECNICA INDIRETTA:
  • PROGETTO C_s SU BASE DELLE SPECIFICHE
  • IMPLEMENTO C_s TRAMITE N_d, G_d, D/A E T/H

TRASFORMATA Z:

u(k) → ^z/_z-1

2^ku(k) → ^z/_z-2

f(z) = ∑_k=0^∞ f(k) z^-k

RELAZIONE TRA TRASFORMATA ZETA E DI LAPLACE:

I POLI DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE DI f(t) SI TRASFORMANO IN POLI DELLA TRASFORMATA ZETA DI f(k)T SECONDO LA MAPPA z = e^sT

TALE MAPPA E' BIUNIVOCA SE ω ∈ (-ω_n, ω_n) E QUINDI SE σ è FASCIA DI NYQUIST

Interpretazione Digitale Tecnica Indiretta

C(z): z[μ_k]

μ_k = ... - a_n μ_k-n + b₀ e_k + ... + b_n e_k-n

C(z) = z[μ_k] = ^{b₀ zm + b₁ zm-1 + ... + b_m}/_{z^m + a1 z^m-1 + ... + am}

Per passare da C^*(s) a C(z) devo determinare i coefficienti e il grado "m".

Posso farlo avvalendomi di due tecniche; la tecnica di integrazione oppure la tecnica di matching poli-zeri.

Tecnica di Integrazione:

C(z) = C^*(s = T(z)) con T(z) = ^{z - 1}/_{[1 - α + αz]^T}, α∈[0,1]

Matching Poli-Zeri:

C^*(s) = k ^{(s - r₁)... (s - r_m)}/_{(s - p1)... (s - pm)}, n > m

C(z) = K₀ ^{(z - er₁T)... (z - er_mT)}/_{(z - e^p1T)... (z - e^pmT)}

⋅ (z + 1)^{n - m}

Aggiungo n - m zeri sennò ottengo un’uscita sfasata.

Per calcolare K₀ assumo che i controllori abbiano spesso guadagno in continua a ingressi costanti.

C^*(0) = C(1)

Teorema di Shannon

Per far sì che un segnale a banda limitata sia univocamente determinato da campioni occorre scegliere una pulsazione di Nyquist t.c.:

B₃ ≤ ω_N ≤ 10 B₃

ω_N = π/T

Rappresentazione I/SUO

• ^.X(t) = AX(t) + Bμ(t)
• Y(t) = CX(t) + Dμ(t)
• X(0) = X_o

Svolgendo la trasformata di Laplace di ^.X(t) e Y(t), ricordando che ^L[^.X(t)] = sL[X(t)] - X_o, ottengo:

X(s) = (sI-A)^-1 X_o + (sI-A)^-1 B U(s)

Y(s) = C X(s) + D U(s)

Sostituendo X(s) in Y(s) ottengo:

Y(s) = C (sI-A)^-1 X_o + (C(sI-A)^-1 B + D) U(s)

Le due componenti moltiplicate per X_o si dicono "Risposta libera"; le componenti moltiplicate per U(s) si dicono "Risposta forzata".

G(s) = C (sI-A)^-1 B + D = C · (1/det(sI-A)) · Adj(sI-A) B + D

^PATRICEAGGIUNTA

Se ingresso, stato e uscita sono ben connessi gli autovalori di A coincidono con i poli di G(s).

Retroazione stato dello stato

\[\dot{x}(t) = Fx(t) + Rr(t) \]

Tale retroazione non modifica gli zeri dello F.D.T e permette di scegliere arbitrariamente gli n poli di W(s) progettando opportunamente il vettore dei guadagni F.

\[W(s) = \frac{ Poli \; di \; P(s) }{ det(sI - A - BF) } \]

Osservazione:

\[\begin{cases} \dot{\hat{x}}(t) = A\hat{x}(t) + B u(t) + L (Y(t) - \hat{Y}(t)) \\ Y(t) = C x(t) \\ \hat{x}(0) = x_0 \end{cases}\]

Si studia \[\dot{e}(t) = (A - LC)e(t) \rightarrow e(t) = e^{(A-LC)t} e_0 \]

Se ingresso, stato e uscita sono ben connessi posso scegliere a piacere gli autovalori di \((A-LC)\).

\[e^{(A-LC)t} = e^{\lambda_1 t} [ \times \times ] + ... + e^{\lambda_n t} [ \times \times ] \]

Se \(\lambda_1, ..., \lambda_n\) sono tutti autovalori a P.R < 0 \[\Rightarrow \lim_{{t \to \infty}} ||e(t)|| = 0 \]

Regolatore:

È un particolare sistema di controllo in cui sono presenti sia la reazione statica dello stato che l'osservatore.

Per progettario devo determinare F ed L.

L'equazione:

(ẋ) = (A BF) (x) + (B) r (x̂̇) = (LC I+A+BF-LC) (x̂) + (B) r

Completa raggiungibilità nella rappresentazione a T.D.:

Il sistema Σ_T.D è completamente raggiungibile se ∀x_f∈ℝ esistono un tempo finito N ed una sequenza di ingressi u(0), u(1), ..., u(N-1) s.c. x(N)=x_f.

Nel pratico è completamente raggiungibile se la matrice ℛ = [B AB ... A^-1B] ∈ ℝ^x è non singolare ed ha rango (det ℛ ≠0) pieno.

Se il sistema Σ_T.D è completamente raggiungibile allora tutti gli autovalori di A diventano poli di (zI-A)^-1B.

Se tutti gli autovalori non raggiungibili hanno modulo < 1 il sistema è detto stabilizzabile.

La retroazione lineare statica dello stato modifica solo gli autovalori raggiungibili di A.

Completa raggiungibilità ⇒ ingresso ben connesso allo stato

Completa raggiungibilità a T.c.i

Il sistema è completamente raggiungibile se la matrice R non singolare.

Il sistema è detto stabilizzabile se gli autovalori non raggiungibili hanno P.RCO

Completa osservabilità nuova rappresentazione a T.D.

Se il sistema è completamente osservabile è possibile ricavare univocamente X₀ sulla base della conoscenza di Y(0), Y(1), ..., Y(n−1), cioè osservando i primi m campioni dell'uscita.

Nel pratico è completamente osservabile se la matrice S = (C, CA, ..., CAⁿ⁻¹)^T non è singolare.

Se il sistema è completamente osservabile S ha rango per righe pari a µcm. Quindi µ autovalori di A si trasformano in poli di (C(SI−A)⁻¹

Se tutti gli autovalori non osservabili hanno modulo < 1 il sistema è detto rivelabile.

Completa osservabilità ⇒ variabili di stato ben connesse all'uscita.

Completa osservabilità a T.c.i.

Il sistema è completamente osservabile se S e non singolare.

Il sistema e detto rivelabile se gli autovalori non osservabili hanno P.RCO.