Appunti completi Matematica generale

Le funzioni

Una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

I limiti

Il limite di una funzione in un punto x₀ di accumulazione per il suo dominio esprime la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all'avvicinarsi del suo argomento a x₀. Indicando con f(x) la funzione, il limite viene indicato con:

Gli asintoti

Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione quando la distanza di un punto qualsiasi della funzione da tale retta tende a 0 al tendere all'infinito dell'ascissa o dell'ordinata del punto.

• Asintoto verticale: Si ha quando il risultato del limite per x che tende a un numero finito è ± infinito.
• Asintoto orizzontale: Si ha quando il risultato del limite per x che tende a ± infinito è un numero finito.
• Asintoto obliquo: Esistono anche gli asintoti obliqui, ossia quando la funzione tende asintoticamente a una retta di equazione y=mx+q.

Forme indeterminate

Le forme indeterminate sono casi in cui la soluzione non è immediata e richiede un ulteriore approfondimento. Ecco le principali forme indeterminate dei limiti:

• Metodo di risoluzione di "zero/zero": Scomporre il numeratore e il denominatore, semplificare la funzione e risostituire il valore del limite.
• Metodo di risoluzione di "infinito/infinito": Trovare il termine con l'esponente maggiore sia a numeratore che a denominatore e raccoglierlo.
• Metodo di risoluzione di "zero * infinito": Riscrivere il termine che genera l'infinitesimo come un reciproco (per esempio il reciproco di n è 1/n, si può anche esprimere mediante le potenze con n^-1 che è uguale a 1/n) in modo da ricondursi alla forma di indecisione "zero/zero" o "infinito/infinito".
• Metodo di risoluzione "+infinito -infinito": Raccogliere il termine con l'esponente maggiore, nel caso in cui gli esponenti dovessero essere "uguali" si procede con la razionalizzazione (ossia quando si moltiplica la funzione per una stessa quantità sia a numeratore che a denominatore però cambiata di segno, per esempio: f(x) + -f(x)/-f(x)).

Le derivate

La derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x₀ è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell’incremento h, sotto l’ipotesi che tale limite esista e sia finito.

Il rapporto incrementale di una funzione reale di variabile reale f(x) è un numero che, intuitivamente, misura "quanto velocemente" una funzione cresce o decresce al variare della coordinata indipendente attorno a un dato punto.

Sia E appartenente a R un intervallo non vuoto e f: E in R una funzione reale nella variabile reale x; si definisce incremento della funzione (o della variabile dipendente) attorno al punto di ascissa x₀ in E la quantità Δf(x)₀ := f(x₀ + h) - f(x₀), per una fissata quantità h diversa da zero (e tale che (x₀+h) in E); si definisce incremento della variabile indipendente la corrispettiva quantità Δx := (x₀+h) - x₀ = h.

Teorema di Rolle

Sia f(x):

• Una funzione continua nell’intervallo chiuso [a,b]
• Derivabile nell’intervallo aperto (a,b).
• Se f(a) = f(b) allora esiste un punto x₀ appartenente all’intervallo aperto (a,b) di f’(x₀) dove la derivata prima si annulla.

Teorema di Lagrange

Sia f(x):

• Una funzione continua in [a,b]
• Derivabile in (a,b)

Allora esiste almeno un punto x₀ appartenente a (a,b) per cui:

Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione (x₀,f(x₀)) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale alla retta secante passante per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)). Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f(a) è diverso da f(b), se invece f(a) è uguale a f(b) si ricade nel Teorema di Rolle.