Appunti completi di Matematica generale

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Author: polki99

Revisionato il 25/07/2026

di polki99

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Appunti completi e riassuntivi del corso di Matematica generale compatibile per i corsi di laurea di Economia e gestione aziendale (EGA), Economia e azienda digitale (EAD) e Banca e finanza (BF) …

Esame Matematica generale

Facoltà Economia

Dal corso del Prof. Allevi Elisabetta

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2022-2023

123 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Ripasso

Definizione di funzione

Definizione di funzione: dati due insiemi A e B, si dice funzione f: A -> B quella relazione matematica che lega a tutti gli elementi di A uno e un solo elemento di B => ∀a ∈ A ∃!b ∈ B: f: a -> b

X -> y
X = dominio
Y = codominio -> non mi sono serviti tutti gli elementi di y

Sottoinsieme di B di tutti gli elementi legati ad A -> si dice immagine (elementi che hanno una controimmagine)

Im(f): {y ∈ R: y = f(x) al variare di x ∈ dom(f)}

Insiemi di numeri

N: numeri interi finiti positivi
Z: numeri interi relativi -> Z ⊃ N (Z contiene N)
Q: numeri razionali -> Q ⊃ Z ∧ Q = {m/n}

La retta

Da un verso alla retta: retta orientata
Verso giusto: positiva
Verso opposto: negativa

Esempio

AC: + -> verso minimo -> verso crescente -> segno positivo

BA: - -> verso opposto

R: insieme di ogni "sottomultiplo finito, infinitoperiodico, irrazionale" -> insieme dei numeri reali -> il cui relazione d'ordine totale

Proprietà della somma

Dati A, B, C ∈ R, se A ⊂ B -> A+C ⊂ B+C

∀A ∈ R, ∃ 0S tale che A+0B = A ⊂ B

Ripasso

Definizione di funzione

Definizione di funzione: dati due insiemi A e B, si dice funzione f: A→B quella relazione matematica che lega a tutti gli elementi di A uno e un solo elemento di B

∀ a∈A ∃! b∈B : f:a→b

f : x → y x = dominio

y = codominio non mi sono serviti tutti gli elementi di Y

Sottoinsieme di B di tutti gli elementi legati ad A

f si dice immagine (elementi che hanno una controim-magine)

Im (f): {y∈R : y = f(x) al variare di x∈Dom(f)}

Insiemi di numeri

N : numeri interi finiti positivi

Z : numeri interi relativi Z ⊃ N (Z contiene N)

Q : numeri razionali Q ⊃ Z ∧ n∈Z ∧ q≠0 (m/n)

La retta

Da un verso alla retta: retta orientata

Verso giusto: positiva

Verso opposto: negativa

Esempio

a · − · − · − · − ○ · b

AC ·→→→ AC ·→→→₇

Segno positivo

BA←←←→ verso opposto

R : insieme di ogni “altro numero: finito, infinitoperiodico, irrazionale”

Insieme dei numeri reali ⇛ vi è una relazione d’ordine totale

Proprietà della somma

Dati A, B, C ∈ R, se A ∀ A ∈ R, {o}

Valore assoluto

Valore assoluto |a|: è la distanza di un numero a, e un intero la 0, x = a o − a e l'opposto |x|=−x |x|=0 → x e l'0 x=0 |x|=−1 |x|=4 → impossibile |x| > 3 < 3 → x > x > 3 |x| ≤ 6 → −6 ≤ x ≤ 6

Teorema

∀,∈, se calcolo | + 4| ≠ || ∑ |4|

Intervalli

Intervalli [a, b] = intervallo chiuso (a, b) = intervallo aperto (a, b] ≠ pari un [a, b) [a, +∞) = familiare intervallo chiuso limitato superiormente (a, +∞) intervallo aperto oec. limitato superiormente (0, α) o (0, α) ≠ inferiormente

Proprietà della completezza

No A, B, ⊆ (sottoinsiemi di ) A ∩ ∅ = B ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B ⇒ a < b > a ∈ A e B a, dicono insiemi separati

Prenedo A e B insiemi restasi, esiste sempre in un (c) numero t.c. ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B, ma a ≤ c ≤ b (c = elemento separatore)

A ffirme di in uoco A e B devono essere conniu

A e B separati ⇒ numera t.eso ente a ∈ A, b ∈ B t.c b a ∈ e A e B conmiquis

Maggiorante di X

K maggiorante di X

Esempio: X = [-5;4] ∪ {6;7;3}

Un maggiorante k=8

Ci sono infiniti maggioranti

Minorante di X

K minorante di X

k = -5 è un minorante

Non tutti gli insiemi ammettono maggioranti e minoranti

[0,&nbsp1, ∞) [0,+∞) [-∞0; a)

Insieme superiormente limitato ⇔ X ha un maggiorante

Insieme inferiormente limitato ⇔ X ha un minorante ∃ k ∈ ℝ: ∀ x∈X: x ≤ k

∃ k ∈ ℝ: ∀ x∈X: k ≤ X

Massimo

Per X ⊆ ℝ, x ∈ X ⇔ ∀x ∈ X x* ≥ x→ x* si dice massimo di X

2 è un maggiorante che fa parte dell'insieme, è massimo

Massimo di X

Insieme dei maggioranti

X ⊆ ℝ, X ≠ ∅ limitato superiormente

M^x = insieme dei maggioranti di X

Esempio: X = [4;5)

MAGX^1 : [5;+∞)

Il più piccolo dei maggioranti= 5 = estremo superiore di un insieme

Può coincidere

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