Appunti completi lezioni di Meccanica dei fluidi

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Ingegneria Meccanica

Corso di Laurea: 2025/2026

Anno Accademico:

II

Semestre: Meccanica dei Fluidi

Insegnamento: 083503

Codice Insegnamento:

7

Numero di CFU:

Berzi Diego

Professore: Idraulica – D. Citrini, G. Noseda

Libro di testo (di riferimento):

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

13 lezioni teoriche sulla meccanica dei fluidi (idraulica e flussi esterni)

Documento redatto a scopo di studio personale. È severamente vietata la riproduzione, la condivisione e la rivendita non

autorizzata a terzi. Questo materiale non sostituisce lo studio sui testi ufficiali o la frequenza alle lezioni.

Programma del corso:

Sistemi continui e proprietà fisiche dei fluidi: equazione di stato, idrocinematica, bilanci di massa e

di quantità di moto. Idrostatica: concetto di pressione, statica dei fluidi comprimibili e

incomprimibili, spinte idrostatiche. Modello di fluido ideale: equazione di Eulero, teorema di

Bernoulli e considerazioni meccaniche ed energetiche; processi di efnusso, misure di velocità e di

portata; effetÝ della comprimibilità. Teoremi meccanici globali: formulazione integrale

dell'equazione dell'equilibrio dinamico, spinte dinamiche e macchine idrauliche (pompe e turbine).

Meccanica dei fluidi reali in regime stazionario: modelli monodimensionali, flussi laminari e

turbolenti, profili di velocità nelle tubazioni; condotÝ lisci e scabri; calcolo di un impianto a fluido.

Meccanica delle correnti in regime non stazionario: condotte in regime non stazionario,

fenomenologia di colpo d'ariete. Modello di fluido Stokesiano: relazioni sforzi-deformazioni,

equazione di Navier-Stokes, considerazioni energetiche e soluzioni semplici (flusso laminare

stazionario tra lastre piane e parallele e in tubi cilindrici, lubrificazione idrodinamica). Similitudine,

analisi dimensionale e modelli: Teorema e gruppi adimensionali significativi nella meccanica dei

fluidi; modelli e similitudine. Flussi su corpi immersi ed interazioni fluido-struttura: concetÝ di lift e

drag, flussi attorno a corpi immersi. Strato limite: sviluppo dello strato limite su lastra piana,

transizione tra strato limite laminare e turbolento, strato limite turbolento, effetÝ del gradiente di

pressione e separazione. versione “MARKED”

La parte relativa alle lezioni è in ovvero la versione evidenziata e commentata,

ideale per un ripasso veloce in quanto consente di identificare immediatamente, a livello visivo, gli

elementi più importanti (formule, definizioni, concetÝ, …); oppure per studiare avendo già in mente

quali sono le cose più importanti da sapere ed a cui fare maggiore attenzione

Versione del file: 1.3

In caso di eventuali modifiche (correzione di errori o altre) la versione del file cambia

Nota dell’autore:

Grazie per il tuo acquisto!

“

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e afÏdabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatÝ, è ciò

che mi permette di continuare questa atÝvità, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Costruzione di Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Statistica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica Applicata alle Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Non c’è vento favorevole per il marinaio che non sa dove andare."

Lucio Anneo Seneca

—

MECCANICA DEI FLUIDI Lezione 1

Lezione 1

Oggetti matematici e Campi

Scalari

Sono dei numeri

Campi scalari

Sono campi, rappresentati da una qualsiasi lettera, che possono variare in funzione di spazio e

tempo (, , , )

Sono invarianti rispetto ad un qualsiasi sistema di riferimento

Vettori

Sono oggetti solitamente definiti da 3 scalari detti “componenti”

È possibile esprimere un vettore in due modi differenti:

Notazione per componenti

1.

Si possono rappresentare come vettori riga oppure colonna

= ( , , ) =

( )

Notazione indiciale (o di Einstein)

Quando lo stesso indice compare due volte significa che è presente una sommatoria

Notazione versoriale

2.

Si legano le componenti ai versori relativi al sistema di riferimento usato

̂ =

= ̂ +

̂ +

̂

Versori: sono vettori di modulo unitario

̂ = (1 , 0 , 0) = ̂ = ̂ ⇒legato ad x

1

=

̂ ⇒legato ad y

̂ = (0 , 1 , 0) =

̂

2

̂

̂ ̂ = ⇒legato a z

= (0 , 0 , 1) = 3

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MECCANICA DEI FLUIDI Lezione 1

Esiste anche un altro modo per definire un vettore; infatti, in generale, per conoscere un vettore

oppure modulo, direzione e verso

servono 3 informazioni: le 3 componenti

Modulo del vettore: 3 √

√

√ 2 2 2

= + + = √ + + = ∑ =

||

=1

• È una quantità sempre positiva

• Non si usa nelle operazioni tra vettori

• È invariante rispetto al sistema di riferimento

Direzione:

Si può indicare con l’angolo/i rispetto ad un sistema di riferimento

| |

tan() = |

|

Verso:

Indica se il vettore è concorde o discorde rispetto agli assi coordinai, specificandolo tramite i

segni degli scalari (componenti) che esprimono il vettore

Campi vettoriali

Sono campi, indicati da una qualsiasi lettera segnata o con un trattino o con una freccia

(vettore), le cui 3 componenti scalari sono anch’esse dei campi (scalari)

Tensori

3

Sono oggetti matematici definiti da componenti scalari, se di ordine n

• Un tensore di ordine 0 è uno scalare

• Un tensore di ordine 1 è un vettore 3 × 3

• Un tensore di ordine 2 è una matrice ,

I tensori si indicano con una lettera segnata due volte, ad esempio e un suo generico elemento

()

si indica come

Convenzione sui tensori

Con “tensore” intenderemo sempre quelli del secondo ordine

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MECCANICA DEI FLUIDI Lezione 1

Tensori del secondo ordine

Sono tensori definiti da 9 componenti, dunque, come precedentemente detto, sono definiti da

3 × 3)

matrici di ordine 3 (ossia di dimensione

=

[ ]

• Gli elementi sulla diagonale vengono detti “elementi diagonali”

• Gli elementi fuori dalla diagonale vengono detto “elementi extradiagonali” (o “rettangolari”)

Ogni riga del tensore può inoltre essere pensata come ad un vettore ed è quindi possibile

riscriverlo come

=

[ ]

I tensori hanno 3 invarianti:

Invariante lineare: del tensore (somma degli elementi diagonali)

1. è la traccia

Invariante cubico:

2. è il determinante del tensore

Invariante quadratico:

3. (non lo useremo) è la somma dei minori principali

Da Gemini

Questi tre invarianti (lineare, quadratico e cubico) rappresentano i coefficienti del poli-

nomio caratteristico le cui radici forniscono gli autovalori della matrice stessa

Campi tensoriali

Sono dei tensori i cui elementi cambiano nello spazio e nel tempo

Si noti che un generico campo tensoriale ha per componenti dei campi tensoriali di 1 ordine

inferiore

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MECCANICA DEI FLUIDI Lezione 1

Operazioni tra scalari, vettori e tensori

Prodotti tra vettori

Prodotto scalare tra vettori

Indicato con un punto tra i due vettori, geometricamente significa proiettare un vettore lungo

le componenti dell’altro (*)

Il risultato è uno scalare: ⋅ = + + =

̂

(*) Quindi per ottenere la proiezione di un vettore lungo la generica direzione basta farne il

prodotto scalare: = → componente scalare in direzione

̂ ⋅

• se i due sono perpendicolari il prodotto è nullo

⋅ = ⋅

• vale la proprietà commutativa:

• il prodotto scalare di un vettore per se stesso risulta nel quadrato del suo modulo

2

⋅ = = ||

Prodotto vettoriale

× ∧),

Indicato con una tra i due vettori (notazione anglosassone, altrimenti indicato anche con

geometricamente risulta in un terzo vettore perpendicolare ai primi due

Il risultato è dunque un vettore e si calcola nel seguente modo:

̂

̂

̂

× = det

| |

Prodotto tensoriale tra vettori

Il risultato è un tensore e si calcola scrivendo il primo vettore come un vettore colonna ed il

secondo come un vettore riga

[

= ] =

]

[ ]

[ () =

Inoltre il generico elemento del risultato si indica con

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MECCANICA DEI FLUIDI Lezione 1

Prodotti tra vettori e tensori

Prodotto misto vettore-tensore

Il risultato è un vettore e si calcola nel seguente modo:

[ = (

⋅ = ] + + ) ̂ + … = ( ) ̂

]

[

̂

(*) Per ottenere la proiezione di un tensore lungo la generica direzione basta farne il prodotto

scalare: = → componente vettoriale in direzione

̂ ⋅

Prodotto matriciale tra tensori

Il risultato è una matrice e si calcola eseguendo il prodotto matriciale (riga per colona) tra i due

tensori

= = mat 3 × 3

[ [

] ]

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MECCANICA DEI FLUIDI Lezione 1

Operatore Nabla

Esso è definito come:

̂

, , )= ̂ +

̂ +

∇=(

Essendo un “operatore” è privo di significato quando da solo ed assume un significato sola-

mente quando viene applicato ad un altro oggetto matematico

Noi lo tratteremo come un vettore

Applicazioni di nabla

Gradiente

Applicandolo ad uno scalare si ottiene il gradiente di uno scalare (è un vettore)

̂

̂ +

̂ +

∇ = = grad ()

Applicandolo ad un vettore tramite prodotto tensoriale si ottiene il gradiente di un vettore (è

un tensore)

[ = grad ()

∇= ] =

]

[ ]

[

=

(∇ )

Un generico elemento si indica come

Significato del gradiente

Il gradiente è un vettore che indica la direzione di massima crescita dell’oggetto conside-

rato

Il gradiente di un asse coordinato è il suo versore associato

̂

̂ +

̂ + = ̂

grad () = ∇ =

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MECCANICA DEI FLUIDI Lezione 1

Invece il gradiente della generica direzione risulta nel suo versore associato, che presenta

come componenti scalari i 3 coseni direttori che la caratterizzano:

̂

̂

̂ +

̂ + ̂ +

̂ +

̂ =

̂ = cos() ̂ + cos()

̂ + cos()

∇ = =

coseni direttori:

coseni degli angoli che forma con gli assi coordinati (rispettivamente , , )

Divergenza

Applicandolo ad un vettore tramite prodotto scalare si ottiene la divergenza di un vettore (è

uno scalare)

∇⋅= + + = = div ()

Applicandolo ad un tensore tramite prodotto scalare si ottiene la divergenza di un tensore (è

un vettore)

∇⋅= [ ] + + = = ̂ = div ()

=

[ ]

Rotore

Applicandolo ad un vettore tramite prodotto vettoriale si ottiene il rotore (è un vettore)

∇ × = rot ()

Laplaciano

Dalla divergenza del gradiente di uno scalare si ottiene il laplaciano dello scalare (è uno scalare)

2 2 2

2

∇ ⋅ ∇ = div (grad ()) = + + = ∇

2 2 2

Invece dalla divergenza del gradiente di un vettore si ottiene il laplaciano di un vettore, ossia

un vettore che per componenti presenta il laplaciano dello scalare associato a tale componente

2 2 2 2

∇ ⋅ ∇ = ∇ = (∇ , ∇ , ∇ )

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MECCANICA DEI FLUIDI Lezione 1

MECCANICA DEI FLUIDI

Unità di misura

In questo corso utilizzeremo principalmente le seguenti unità di misura fondamentali:

• Lunghezza

• Tempo

• Massa

Dai prodotti tra queste unità fondamentali si possono ottenere varie grandezze

grandezze geometriche, [] =

• Produttorie di lunghezza: sono le del tipo , come la

distanza, l’area, ed il volume (etc.)

grandezze cinematiche, [] =

• Produttorie di lunghezza e tempo: sono le del tipo ,

come la velocità, l’accelerazione (etc.) grandezze dinamiche, [] =

• Produttorie di lunghezza, massa e tempo: sono le del tipo

, come la viscosità dinamica e la pressione (etc.)

Fluidi ed ipotesi del continuo

In questo corso considereremo sempre i fluidi “da lontano”, cioè sufficientemente lontani da

non vedere le singole molecole del fluido; ossia li considereremo sempre a livello macrosco-

pico. Da un punto di vista matematico questo significa effettuare la media delle grandezze

microscopiche che caratterizzano ogni singola molecola del fluido, ottenendo delle grandezze

macroscopiche medie che descrivono l’intero fluido (o meglio che descrivano localmente un

volume infinitesimo di fluido).

Grazie a questo approccio è possibile considerare il fluido come un contiuo da poter trattare nei

matematicamente questo significa che è possibile usare

termini della meccanica del continuo;

gli strumenti di derivata ed integrale (quindi di divergenze, gradienti, etc.).

Considerando invece il fluido a livello microscopico (da vicino) tra le molecole si possono

osservare dei vuoti, il fluido dunque non è continuo ma “diviene” discreto; matematicamente

non si possono più usare derivate ed integrali ma si è costretti a ricorrere a sommatorie ed altri

strumenti. Si rende necessario dunque analizzare i fluidi in termini della meccanica statistica

(che si occupa del discreto).

Da Gemini:

mezzo continuo

L’ipotesi