Appunti completi del corso "Meccanica dei fluidi"

Noi studieremo fluidi

Schema di mezzo continuo

Vuol dire che il fluido è un "continuo" materiale, senza vuoti. I mezzi continui hanno delle proprietà "intensive", e lo schema di mezzo continuo garantisce che queste proprietà sono funzioni continue del tempo e dello spazio.

Proprietà

Densità: Esprime la massa volumica. L'equazione che dice come varia la densità è l'equazione di stato.

Viscosità dinamica: Capacità del fluido di compiere attrito. È definita tramite un esperimento ideale: si mette in movimento una delle due lastre, e il fluido nella regione vicino a questa lastra si mette anch'esso in movimento con la stessa velocità della lastra, mentre il fluido a contatto con l'altra lastra è fermo. Quindi ci sarà una distribuzione triangolare di velocità. Il fluido quindi è in grado di sentire le azioni tangenziali. La viscosità è la capacità del fluido di reagire ed esercitare delle azioni tangenziali. Forza tangente da applicare alla lastra.

Viscosità cinematica

Comprimibilità: Capacità di un fluido di essere schiacciato. Osservazione sperimentale: si prende un volumetto di fluido e lo si comprime. Per il principio di conservazione della massa dm = 0, quindi la variazione di densità è uguale ed opposta alla variazione di volume. Queste variazioni percentuali di densità e volume sono uguali a dP/ε. L'oggetto nel momento in cui lo si comprime si contrae in ragione della variazione della pressione imposta, e di un coefficiente di proporzionalità ε, detto "comprimibilità".

• Per i liquidi: ε è grande = poco comprimibile.
• Per i gas: ε è piccolo = molto comprimibile.

"Fluido incomprimibile": ε è sufficientemente grande, in modo tale che la variazione di densità sia trascurabile, è quindi che la densità sia costante.

Proprietà dell'acqua

Tensione superficiale: Capacità della superficie del fluido di comportarsi come una membrana elastica. Osservazione sperimentale: la superficie dell'acqua si deforma, e se si tagliasse l'acqua si osserverebbe una forza che tiene sull'oggetto, la tensione superficiale. Equilibrio delle forze: La tensione superficiale è la causa dei fenomeni di "capillarità".

Peso specifico lunghezza sulla quale la tensione superficiale agisce peso della colonnina di fluido. Quindi la risalita capillare è tanto maggiore, quanto più piccolo è il tubicino.

Sforzi

Se ipotizziamo di separare un fluido con una superficie di separazione, le porzioni di fluido delle due parti si stanno scambiando una certa azione: lo sforzo è un vettore. In meccanica dei fluidi lo "stato di sforzo" si rappresenta come una grandezza tensoriale:

Tetraedro di Cauchy

Prendiamo una particella fluida di forma tetraedrica, e facciamo l'equilibrio tra gli sforzi che agiscono sulle quattro facce. Sforzi normali e sforzi tangenziali.

Equazione di equilibrio: La Ax è la proiezione dell'area A sul piano zy, il loro rapporto è un coseno. Indichiamo quindi con n i coseni direttori della direzione normale, cioè gli angoli che la normale alla superficie ha con gli assi coordinati (sono negativi perché la normale è uscente, ma gli sforzi sono entranti).

Normale uscente dalla superficie inclinata tensore degli sforzi sforzi tangenziali sforzi normali. Il tensore degli sforzi è simmetrico: φxy = φyx, ecc. Quindi per avere lo sforzo lungo una direzione, bisogna moltiplicare il tensore degli sforzi per quella direzione.

Statica dei fluidi

Nel caso della statica il tensore degli sforzi si semplifica. Dato che non c'è una velocità che potrebbe causare scorrimenti, non ci sono gli sforzi tangenziali. Inoltre facendo l'equilibrio degli sforzi verticali ed orizzontali sui vari piani risulta che gli sforzi normali sono tutti uguali, quindi il tensore è isotropo.

La pressione è l'unico sforzo che esiste in condizioni statiche (questo è il modo in cui è definita la pressione) pressione Indefinita: scritta in riferimento ad un volume infinitesimo (es: particella di fluido)

Equazioni

Globale: scritta in riferimento ad un volume finito. Equazione indefinita dell'equilibrio statico Dato che siamo in statica, sappiamo già che le forze saranno perpendicolari alle superfici. In questo caso consideriamo anche le "azioni di massa" oltre alle "azioni di superficie".

Accelerazione: usato per rappresentare la generica variazione di una grandezza quando ci si sposta di una certa distanza.

Risultante delle forze: questa equazione vale sempre. Questa equazione è di un ordine di infinitesimo superiore rispetto al tetraedro di Cauchy, perché ci sono dei volumi (dxdydz), non delle aree. Questo fa sì che si debbano considerare anche le azioni di massa, che hanno lo stesso ordine (dw).

Legge di Stevino

Ipotesi:

• Fluido Pesante: l'azione di massa f è l'accelerazione di gravità.
• Fluido Incomprimibile: la densità è costante.

Quindi possiamo scrivere: se la densità è costante lo sarà anche il peso specifico γ, quindi lo si può portare dentro le derivate della pressione.

Altezza piezometrica quota geodetica quota piezometrica.

Conseguenze della legge di Stevino

• La pressione è una funzione di z: Questo ci dice che le superfici orizzontali sono isobare. Quindi la superficie del fluido è orizzontale, perché dato che la pressione è quella atmosferica, secondo la legge di Stevino deve essere un'isobara. Il legame tra pressione e quota è lineare.
• Spostandosi verso il basso la pressione aumenta.
• Spostandosi verso l'alto si incontra un punto in cui la pressione idealmente si annullerebbe, ed è il valore della costante della legge di Stevino. Questa quota definisce un piano, chiamato "piano dei carichi idrostatici".

Per passare dalla pressione in un punto alla pressione in un altro punto: La pressione in un punto si può calcolare anche a partire dal piano dei carichi idrostatici: Pressione assoluta: pressione che si ha in un certo punto Pressione relativa: è la differenza tra la pressione assoluta del punto e la pressione atmosferica.

Esempi:

• Acqua
• Mercurio: È più comodo disegnare il diagramma delle pressioni nel caso della pressione relativa, perché il "piano dei carichi idrostatici relativo" si trova all'interfaccia con l'atmosfera.

La legge di Stevino non cambia utilizzando la pressione relativa, perché tanto varia di una costante, quindi il gradiente delle pressioni non cambia.

Fluidi stratificati

La superficie di interfaccia è orizzontale sempre per la legge di Stevino. Se per assurdo ammettessimo che non fosse così: Applicando la legge di Stevino si trova che l'unica soluzione possibile è che zA = zD, e che zB = zC. Dato che il fluido 2 sta sotto, è più pesante, quindi avrà una curva più pendente.

Fluidi di piccolo peso specifico (aeriformi)

Negli aeriformi la pressione è costante. Il PCI è all'infinito, perché la densità è quasi nulla. Gas quindi se il contenitore è aperto, si ha una condizione al contorno perché si conosce il PCIrel, se invece il contenitore è chiuso servirà qualcos'altro per conoscere la pressione in determinati punti.

Piezometro

Il piezometro si riempie fino alla quota del PCI, perché sopra non è contrastato da un gas in pressione. Gas: Se si attaccasse il piezometro al gas, esso se ne andrebbe, e quella porzione di contenitore si porterebbe a pressione atmosferica. Questo farebbe sì che il PCI si sposti in basso all'interfaccia, non è che il fluido sale per raggiungere il PCI. Se fosse a pelo libero, il piezometro si riempie fino alla stessa quota, per il principio dei vasi comunicanti.

Manometro

È come un piezometro, ma è riempito da un fluido di peso specifico γm. (è un caso di fluidi stratificati). Il manometro permette di calcolare la pressione all'interfaccia tra i due fluidi: da questa si può calcolare poi la pressione in tutti i punti del fluido.

Manometro differenziale

Serve per trovare la differenza di quota tra i PCI dei due serbatoi: Se i serbatoi fossero chiusi (e riempiti) si potrebbe ancora calcolare δ, ma non si possono sapere le quote dei PCI, se ne sa solo la differenza.

Manometro metallico

La pressione che segna è quella all'altezza del manometro stesso. Per i manometri che misurano la pressione di gas invece è indifferente la quota, perché tanto abbiamo visto che i gas sono a pressione costante.

Depressione relativa

Consideriamo un serbatoio chiuso con un piezometro, che si riempie fino ad una certa quota: Depressione! se la P* fosse 0, si avrebbe il vuoto!

Dalla legge di Stevino sappiamo che: quindi dato che vuol dire che P < 0, per questo si parla di "depressione". In pressione assoluta, la depressione di ha quanto P* < Patm. Il serbatoio non può essere più alto del PCI assoluto, perché poi anche la P* diventerebbe negativa, quindi si pone un'altezza massima che può avere il serbatoio: Il fluido in teoria può raggiungere il PCI assoluto, ma non può andare oltre.

Se abbiamo un serbatoio con due fluidi: gas. In realtà il liquido non può raggiungere il PCI assoluto perché se la pressione scende sotto un certo valore, ovvero quella della "tensione di vapore", il liquido vaporizza, e quindi il diagramma sarà fatto così: quindi la condizione non è più: ma è:

Metodo di determinazione delle spinte del fluido sulle superfici di contorno

Superficie piana

Consideriamo il PCI e il piano inclinato che contiene la superficie di interesse:

Retta di sponda: le spinte sono forze, quindi sono sforzi su delle superfici. Dato che siamo nel caso statico, lo sforzo è solo la pressione: Stevino. Baricentro: (media di tutte le coordinate) pressione nel baricentro. La forza però NON è applicata nel baricentro, ma allora dove è applicata?

Centro di spinta

Così come la risultante della spinta dà la stessa forza che darebbe la distribuzione di pressione, il momento della risultante è uguale al momento esercitato dalla distribuzione delle pressioni.

Momento risultante, momento della risultante (trascuriamo la scrittura vettoriale) momento d'inerzia della superficie rispetto alla retta di sponda momento statico rispetto alla retta di sponda. I momenti d'inerzia si possono trasportare su un qualsiasi asse parallelo: retta di sponda asse passante per il baricentro, parallelo alla retta di sponda eccentricità. Si può quindi riscrivere il momento d'inerzia in questo modo: momento d'inerzia baricentrico. Possiamo quindi scrivere: troviamo quindi che il centro di spinta è più lontano del baricentro rispetto alla retta di spinta.

Coordinate del centro di spinta: solitamente tratteremo superfici simmetriche, quindi sia il baricentro che il centro di spinta stanno sull'asse di simmetria della superficie.

Vediamo perché baricentro e centro di spinta non coincidono: Distribuzione delle pressioni eccentricità. Nel baricentro c'è la pressione media, quindi la distribuzione di pressioni sarà equivalente ad un rettangolo con lato uguale alla pressione media. Il centro di spinta invece è spostato perché le zone più lontane dalla retta di spinta hanno sia pressioni maggiori, sia bracci maggiori, e quindi pesano di più. Il centro di spinta è come se fosse il baricentro della distribuzione delle pressioni. Eccentricità:

Superficie curva

Si usa il "metodo dell'equilibrio globale".

Equazione globale dell'equilibrio statico: Per passare dall'equazione indefinita all'equazione globale basta integrare sul volume: teorema di Green (A è la superficie di contorno del volume) risultante delle azioni di massa, risultante delle spinte sulla superficie di contorno del volume finito è sempre un equilibrio tra le azioni di massa e le azioni di superficie.

Prendiamo un contenitore che ha una superficie curva: Per un qualunque volume che si considera all'interno del contenitore, vale l'equazione globale. Consideriamo allora un "volume di controllo" che contiene la superficie curva. Il volume di controllo deve essere:

• Chiuso
• Delimitato dalla superficie curva di interesse + più superfici piane

Spezziamo l'integrale di π in vari integrali relativi alle varie superfici: Scrivendo l'equilibrio otteniamo: principio di azione-reazione.

Calcoliamo la spinta sulla superficie curva:

Cinematica dei fludi

Definizioni

Velocità: Regola di derivazione Euleriana. Accelerazione: differenziale totale: accelerazione convettiva accelerazione locale (non dipende dallo spazio). Volendo si possono scrivere:
Lagrangiano segue una specifica particella
Punto di Vista: Euleriano osserva uno specifico punto nel tempo

Rappresentazione grafica del campo di moto

• Traiettoria: Luogo dei punti occupati da una certa particella che si sta muovendo.
• Linee di corrente: Linee che punto per punto sono tangenti al vettore velocità. Non sono più legate al moto delle particelle, ma sono legate a come è fatto il campo vettoriale di velocità.
• Linee di fumo (o di emissione): Si prende un punto, e si unisce con una linea tutte le particelle che nel tempo sono passate di lì. In moto permanente queste linee sono tutte uguali.

Accelerazione locale e accelerazione convettiva.

Tipi di moto

• Vario: c'è una dipendenza dal tempo.
• Permanente (stazionario): NON c'è una dipendenza dal tempo (in realtà poi avremo casi monodimensionali, basta che non ci sia dipendenza della velocità da una sola direzione).
• Uniforme: NON c'è una dipendenza dallo spazio.

Esempio: consideriamo un tubo.

Caso di moto vario: Caso di moto permanente: Se l'apertura del rubinetto è fissa si è nel caso di moto permanente. Si ha moto vario quando si sta variando l'apertura del rubinetto a monte del tubo, perché ci sarà un transitorio, e quindi la velocità delle particelle nei vari punti varierà. Anche se il moto è permanente, in vari punti del tubo ci possono essere velocità diverse, ma questo è dovuto alla geometria del tubo. Ciò che rende ragione di questa variazione di velocità è l'accelerazione convettiva.

Equazione di continuità (conservazione della massa)

Equazione indefinita

Dobbiamo considerare solo la componente u, che è perpendicolare alla faccia, e che quindi corrisponde effettivamente a un flusso di massa entrante nella superficie la massa entrante nell'intervallo temporale dt è pari a quella contenuta in una regione lunga udt.

Massa entrante e massa uscente da facce opposte: (sviluppo in serie al primo ordine). Scriviamo l'equilibrio tra ciò che entra e ciò che esce in totale nel volumetto: (se c'è squilibrio fra massa entrante e massa uscente, termine di accumulo il fluido reagisce modificando la sua densità).

Moto permanente: la divergenza trasforma un vettore in uno scalare. Fluido incomprimibile:

Equazione globale

Per passare dall'equazione indefinita a quella globale bisogna integrare sul volume: teorema della divergenza componente perpendicolare della velocità area del volume, non della sezione portata portata massica portata volumetrica.

Moto permanente: Fluido incomprimibile:

Equazione di continuità per correnti

Tubo di flusso: regione di spazio compresa tra linee di corrente, non c'è passaggio di fluido attraverso la sua superficie laterale, dato che le linee di corrente sono tangenti alla velocità, quindi questa regione dello spazio si comporta come un tubo. Ascissa curvilinea.

Ipotizziamo che questo tubo di flusso sia deformabile: massa uscente accumulo massa entrante. Moto permanente: Fluido incomprimibile:

Dinamica dei fludi

Equazione indefinita dell'equilibrio dinamico

Come nel caso statico consideriamo tutte le forze agenti: adesso però gli sforzi non sono dovuti solo alla pressione come nel caso statico (sviluppo in serie al I ordine) (azione di massa).

Scriviamo l'equilibrio: (Conservazione della Quantità di Moto) il prodotto tra nabla e il tensore degli sforzi, dà esattamente l'equazione di equilibrio; questa per esempio è la componente x dell'equazione di equilibrio. Tutte le equazioni che abbiamo scritto finora però hanno un numero di incognite troppo elevato, quindi andranno messe a sistema:

• Conservazione della massa
• Conservazione della quantità di moto (la densità è funzione della temperatura)
• Equazione di stato

Equazioni: 1 scalare, 1 vettoriale = 3 (x,y,z) TOT 1 scalare. Incognite: TOT.

Vediamo adesso come scrivere ulteriori equazioni:

Legame costitutivo (o Legge Reologica)

Lega sforzi e velocità: Non è un principio fisico, è un MODELLO, quindi il legame costitutivo non è unico, dipende dalle ipotesi che si fanno. Legame costitutivo di fluido perfetto (o ideale): Quindi secondo questo modello, anche se il fluido si sta muovendo, non ci sono azioni tangenziali agenti sul fluido.

Equazione di Eulero (equazione indefinita dell'equilibrio dinamico per un fluido perfetto): Vediamo se il legame costitutivo ha effettivamente reso il sistema risolubile.