Appunti completi del corso di Fisica 2

Università di Modena e Reggio Emilia

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Appunti di Fisica Generale II

Autore: Docenti: Filippo Viappiani Luca Goldoni Andrea Bizzeti

Anno Accademico 2021/2022

Indice

1 Elettrostatica 1

1.1 Modello atomico di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Distribuzioni di carica continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Calcolo del campo elettrico per distribuzioni notevoli . . . . . . . . . 6

1.5 Legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Flusso di un vettore attraverso una superficie . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Angolo solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.3 Formulazione della legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.4 Esempi di calcolo del campo elettrico mediante la legge di Gauss . . . 15

1.6 Potenziale elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Calcolo della differenza di potenziale elettrostatico . . . . . . . . . . . 20

1.6.2 Esempi di calcolo di potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Potenziale e campo elettrico generato da un dipolo . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.1 Forze agenti su un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8 Moto di una carica in un campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9 Conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.1 Induzione completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10.1 Collegamento condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10.2 Energia immagazzinata da un condensatore . . . . . . . . . . . . . . 34

1.11 Corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.11.1 Densità di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.11.2 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.11.3 Effetto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.11.4 Collegamento resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.12 Circuiti in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.12.1 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.13 Carica e scarica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Magnetostatica 44

2.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.1 Particella carica in un campo magnetico uniforme . . . . . . . . . . . 44

2.2 Forza magnetica su un filo percorso da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Spira percorsa da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Sorgenti di campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.1 Campo magnetico prodotto da un filo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.2 Forza magnetica tra due fili percorsi da corrente . . . . . . . . . . . . 51

2.3.3 Circuitazione del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.4 Campo magnetico generato da una spira percorsa da corrente . . . . 54

2.3.5 Campo magnetico generato da una filo di sezione finita . . . . . . . . 55

2.3.6 Campo magnetico generato da un solenoide rettilineo . . . . . . . . . 56

I

2.4 Flusso del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.1 Legge di Gauss per il campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5 Equazioni di Maxwell per campi statici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Elettromagnetismo 58

3.1 Induzione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.1 Forza elettromotrice di movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.2 Forza elettromotrice su una spira in movimento . . . . . . . . . . . . 59

3.1.3 Spira in rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 Autoinduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1 Induttanza di un solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2 Circuiti induttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.3 Circuito RL in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Legge di Ampère-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Equazioni di Maxwell per campi non statici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

II

Elettrostatica

1 Elettrostatica

Alcune sostanze, se strofinate con un panno, acquistano la capacità di attrarre corpi leggeri: questo è possibile poiché la sostanza viene elettrizzata, ovvero avviene un passaggio di carica elettrica dal panno al corpo strofinato. In questo caso si dice che il panno e l’oggetto strofinato si caricano elettricamente.

A seconda delle proprietà del materiale di cui è composto il corpo elettrizzato per strofinio esso si può caricare positivamente o negativamente, ovvero gli può venire trasferita una carica positiva o negativa.

Gli oggetti elettrizzati interagiscono con una forza che può essere di natura attrattiva o repulsiva a seconda del segno delle cariche in gioco.

(a)

(b)

(c)

Si noti come due cariche positive, rappresentate di colore rosso, si respingano come nel caso di due cariche negative, rappresentate in blu. Nel caso di cariche di segno opposto, esse si attraggono.

Quindi cariche di segno uguale si respingono mentre cariche di segno diverso si attraggono.

In base alla facilità con cui la carica, una volta trasferita a un corpo, si distribuisce all’interno dello stesso, si possono dividere i materiali in tre gruppi

• Conduttori, in cui la carica si ridistribuisce uniformemente nel corpo ed è quindi libera di muoversi
• Isolanti, in cui la carica rimane localizzata nel punto in cui è stata trasferita
• Semiconduttori, che presentano proprietà intermedie tra i due tipi descritti in precedenza

I corpi, in natura, sono elettricamente neutri, ovvero la quantità di carica positiva al loro interno è completamente bilanciata dalla quantità di carica negativa; non esistono corpi privi di cariche al proprio interno.

Induzione elettrostatica

Induzione elettrostatica Un materiale conduttore può essere manipolato elettricamente anche senza contatto mediante il procedimento di induzione.

Si avvicina un corpo carico, supposto positivamente, a un conduttore elettricamente neutro.

Il corpo carico attirerà cariche negative e respingerà cariche negative; nel corpo conduttore si vengono quindi a creare due zone di cariche di segno opposto.

Il conduttore, se sufficientemente leggero, può essere sollevato.

1.1 Modello atomico di Bohr

La materia è costituita da particelle elementari, dette atomi, e a loro volta costituite da un nucleo fisso dove risiedono protoni e neutroni e intorno al quale orbitano gli elettroni.

I protoni sono particelle di carica positiva, gli elettroni possiedono carica negativa mentre i neutroni sono elettricamente neutri.

Le particelle descritte poc’anzi presentano le seguenti caratteristiche

2 Elettrostatica

1.2 Legge di Coulomb

Si supponga che due cariche puntiformi di intensità rispettivamente Q e Q siano disposte 1 2 a una distanza r tra di loro

Q Q Q Q 1 2 1 2

F F F F 1,2 2,1 1,2 2,1

r r

(a) (b)

Le forze che si vengono a creare in seguito all’interazione fra le due cariche hanno la direzione lungo la congiungente dei centri delle due cariche e, come già trattato, attrattivo nel caso di cariche discordi e repulsivo per cariche concordi.

L’intensità di questa forza, che verrà chiamata forza elettrostatica, è pari a

Q Q 1 2

F = kE 0 2r

Il valore di k è costante e dipende dal mezzo in cui si trovano le cariche. Tale valore può 0 essere scritto in funzione di un altra costante, denominata costante dielettrica e indicata con ε 0

1

k = 0 4πε0

Si supponga di inserire una carica q in un sistema formato da n cariche Q , ognuna posta a i una distanza r dalla carica q i

Qi Q2

ri r2

F Qi 1

q

F r1 1

F F2 n

rn Qn

Per calcolare la forza risultante agente sulla carica q, è sufficiente applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, per cui la forza risultante è pari alla somma vettoriale di tutte le singole forze elettrostatiche dovute all’interazione di q con ogni carica Qi

n nqQ Q X Xi i

F = k û = k q û 0 i 0 i 2 2 r r i i i=1 i=1

3 Elettrostatica

Si noti come per l’espressione della forza elettrostatica in forma vettoriale è stato usato il versore û che individua la direzione del rispettivo r . i i

1.3 Campo elettrico

Si supponga di avere una carica Q fissa, denominata sorgente, e una carica q di prova la cui r distanza da Q è individuata dal raggio vettore la cui direzione è descritta dal versore r̂ . 0

Le cariche sono prese, senza perdere di generalità, entrambe positive

Q q

r̂ r0 F E

F

La forza elettrostatica , secondo la legge di Coulomb, può essere scritta come E

Qq

F = k r̂ E 0 0 2r

Si definisce vettore campo elettrico la grandezza nata dal seguente rapporto

F Q def E

E = = k r̂ 0 0 2 q r

Il vettore campo elettrico non dipende dalla carica di prova q, quindi esiste anche in assenza della stessa, mentre la forza elettrostatica dipende da q e di conseguenza esiste se e solo se esiste q; si può dire che la forza elettrostatica sia la manifestazione del campo elettrico.

La carica q per non perturbare l’ambiente e non generare a sua volta un campo elettrico che interferisca con quello di Q deve avere un valore di carica tendente a zero.

Quindi la definizione corretta del campo elettrico sarebbe

F Q Q def E

E = lim k r̂ = k r̂ = lim 0 0 0 0 2 2 q r r q→0 q→0

Questa nuova definizione porta allo stesso risultato visto in precedenza ma ingloba il ragionamento fatto precedentemente.

Se si suppone che la carica sorgente Q si trovi nello spazio a coordinate (x , y , z ) e che 0 0 0 il punto di osservazione nel quale si vuole calcolare il campo elettrico si trovi alle coordinate (x, y, z), le distanze descritte in precedenza si possono descrivere esplicitamente come segue

− − −r = (x x ) î + (y y )ĵ + (z z )k̂ (1) 0 0 0

p − − − 2 2 2 r = (x x ) + (y y ) + (z z ) (2) 0 0 0

4 Elettrostatica

Il campo elettrico in forma vettoriale assume quindi la seguente forma

− − −Q Q (x x )î + (y y )ĵ + (z z )k̂ 0 0 0

E r = k r̂ = k = k Q 0 0 0 0 3/2 2 3 r r − − − 2 2 2 (x x ) + (y y ) + (z z ) 0 0 0

Da cui si evince facilmente che ogni componente del vettore è come segue

Q  − E = k (x x )  x 0 0  3 r   Q  − E = k (y y ) y 0 0 3 r  Q   − E = k (z z )   z 0 0 3 r

1.4 Distribuzioni di carica continue

All’interno di un oggetto, la carica si può distribuire in maniera continua a seconda della geometria del corpo

• Se il corpo è unidimensionale si definisce la densità lineare di carica, indicata con λ, come il rapporto fra un elemento di carica infinitesimo e la lunghezza del segmento infinitesimo nel quale si trova tale carica

dq q

dl

l dq def

λ = dl

Se la distribuzione di carica è uniforme, la stessa proporzione si estende alle grandezze totali

q

λ = l

• Se il corpo è bidimensionale si definisce la densità superficiale di carica, indicata con σ, come il rapporto fra un elemento di carica infinitesimo e la superficie del cerchio infinitesimo nel quale si trova tale carica q

dq

dS S

5 Elettrostatica

dq def

σ = dS

Se la distribuzione di carica è uniforme, la stessa proporzione si estende alle grandezze totali

q

σ = S

• Se il corpo è tridimensionale si definisce la densità volumetrica di carica, indicata con ρ, come il rapporto tra un elemento di carica infinitesimo e il volume del cubo infinitesimo nel quale si trova tale carica q

dq

dτ τ

dq def

ρ = dτ

Se la distribuzione di carica è uniforme, la stessa proporzione si estende alle grandezze totali

q

ρ = τ

1.4.1 Calcolo del campo elettrico per distribuzioni notevoli

Filo uniforme posto lungo l’asse orizzontale Si supponga di disporre un filo di lunghezza 2l e carica q lungo l’asse x in modo simmetrico rispetto l’origine e posizionare il punto d’osservazione lungo l’asse y

asse y

dE dE

αy y

dE x α r dq q asse x

x

−l l

Il modulo del campo elettrico elementare dE, per definizione è dato da

dq

dE = k 0 2 r

6 Elettrostatica

Le sue componenti lungo gli assi si possono trovare come segue

 dq dE = k sin(α)  x 0  2 r dq cos(α) dE = k  y 0  2 r

La densità lineare è ritenuta costante e, per definizione, vale

q

dq = λ = dx 2l

Per rendere possibile il calcolo del campo elettrico totale occorre esprimere tutte le variabili in funzione di un unica variabile, in questo caso l’angolo α

y ⇒ x = y tan(α) dx = dα (3) 2 cos (α)

y ⇒ y = r cos(α) r = (4) cos(α)

Effettuando le dovute sostituzioni, il valore di dE è il seguente

x 2 λk dx cos (α) y dq 0 sin(α)dα = sin(α) = λk sin(α) = λk sin(α)dα dE = k 0 0 x 0 2 2 2 r r cos (α) y 2 y

Lo stesso procedimento si applichi a dE y

2 cos (α) dq dx y λk 0 dE = k cos(α) = λk cos(α) = λk cos(α)dα = cos(α)dα y 0 0 0 2 2 cos (α) r r y 2 y

Per trovare il valore delle componenti totali E ed E occorre integrare le componenti elementari nella variabile α; gli estremi di tale integrazione si possono trovare con la seguente costruzione geometrica asse y

y

−α α 1 1

r r 1 1 asse x

−l l

7 Elettrostatica

l l ⇒ r sin(α ) = l sin(α ) = = 1 1 1 p r 2 2 y + l 1

Si proceda con il calcolo delle due componenti del campo elettrico

α α α λk λk 1 1 1 0 0 dE = sin(α)dα = sin(α)dα = 0 (5) E = x x y y −α −α −α 1 1 1

α α α α λk λk λk 1 1 1 1 0 0 0 dE = E = cos(α)dα = cos(α)dα = 2 cos(α)dα (6) y y y y y −α −α −α 0 1 1 1

qk qk l λk k q 0 0 0 0 sin(α ) = sin(α ) = = 2 = (7) 1 1 p p y ly l y 2 2 2 2 y + l y y + l

Il campo elettrico è diretto solamente lungo l’asse y e la sua espressione vale

k q λl 0

E = ĵ = ĵ p p 2 2 2 2 y y + l 2πε y y + l 0

Nell’ipotesi di campo lontano, ovvero quando la lunghezza del filo è di ordine inferiore rispetto alla distanza del punto di osservazione dalla sorgente, il campo elettrico vale

k q 0 ≪ ∼ E ĵ l y y |y|

ovvero è assimilabile a quello di una carica puntiforme.

Nell’ipotesi di filo infinito, ovvero quando la lunghezza del filo è di ordine superiore rispetto alla distanza del punto d’osservazione dalla sorgente il campo elettrico vale

2k λ 0 ≪ ∼ E y l ĵ |y|

Anello uniforme

Anello uniforme Si supponga di voler calcolare il campo elettrico presente sull’asse che passa per il centro di un anello circolare uniformemente carico di raggio R; l’asse è normale al piano in cui giace l’anello

dq r

R dE

α x

α

x asse x

dE

dE y

Il modulo del campo elettrico elementare dE, per definizione è dato da

dq

dE = k 0 2 r

8 Elettrostatica

Le sue componenti lungo gli assi si possono trovare come segue

 dq dE = k cos(α)  x 0  2 r dq dE = k sin(α)  y 0  2 r

La densità lineare è ritenuta costante e, per definizione, vale

q

dq = λ = dl 2πR

Poiché le cariche sono distribuite su una circonferenza, ogni componente dE presenta una y componente simmetrica dovuta a una carica sfasata di un angolo giro che la annulla

dq r

R dE

dE s,y

s

α α

α α

x asse x

dE

dE y

r

dq

Quindi il campo elettrico sarà diretto solo lungo l’asse x e per ottenere il suo modulo è necessario integrare lungo la circonferenza la componente elementare dE x

dq x k λx k λxd