Appunti completi di Analisi matematica 1

Funzione convessa concavao f'crescentef& voltaderivalita convessa1 ==> g'(xo)(Xf(x)f(x)) Xo)+c= -I derivolile volte2 fico)

TEOREMA 8"8 IMI intervoll considerazioni/Analogan+ I:: 0per e,focrivolile volte2 il e'equivalentiSono If inconvesse: ii) Ig"20 inf"so in èInoltre f convessa1 Strettamente=1 Iinse (in )generale vole (non =8 "10 f'è efcrescentedim convessa=sc: 1118' C'è8" so strett Icrescente strett Convesse< c= =>: . ."%oè XxX"fix)OSS strettamente gconvesse: wa= èOSS ammettefunzione f tolestrettamente minime minimoe: se convessauna ,e UNICdim diche puntisupporiemo sione minimeyovo: efiyo) mingf(x0) :: 1 gly1yo) 1f(x1f((YoconvessitàStretta + +< iSe assurde g didove fassume voloreXoyoper minore20=s : munV V!# (f(x) ex)istrettamente) èe dettog ammettechese minimoconvessa =nonPUNTO cI-IRFLESSO fDI dettoDota XoEZ punto di Flesso se: : , 5)5so 5t (x0-= &I+ ex0c ,..concovalo 140-58 convessal X0)in ,/0 in 5)concove) 1x0& +convesse Xo,f(x)ESEMPIO XeIRsenX: : ,cente fe FSeconvessi11 diè flessopunto0s= unsen X- Spere Decret e ilsg conce torgeerette~ glasse+di flesso f/derivaliteèXo perè gpunto Estremo PerLocale= diXo vee g"col (perchéderivalite di flessoey èvolta voLse e o=> minimovo= = g)massimo perGRAFICO FUNZIONESTUDIO dI UNAD Trovare DOMINIOf IRD bene+ procedese si: va , Massimalef(x) grandeldoto (ilD Dominioè Naturale piùtrovasi ilese =...... non ,nel è definire fquale possibile2) (edominioFore aglilimiti fdeli estremiLIMITI siprolungare peròse:3) f' didel disegno ifore Istudio ciniti DIg')agli estremianchee sonose non4) g"(sedel voglio convessitàsegnostudio ladi concovità o5) CoASINTOTIA 0+ e -studiare SEGNO f· di essenziolieventuali SIMMETRIE non· periodicita· ISiESERCIZI ~2)(x + 3+xf(x)· e= -113+X 12X + - = -= X 3+33x +X + & II II -III* in--------------21 derivata destrala+ -2-1 - sinistra ugualie sono3+ inIX >Il " modulo opposte inma segne- ----------L IIII --------i)I------ · ---- - ------------· ·e -1IFacciono contii :↓ IRX3-33 (D 0))3) v((DOMINIO 30 +: -:: - - , * hdel Dominioestremigei sono2) 1eEinLimiti f(x) == efxi e%e3 f(x) o==. 20x f(x) a= =+3 !?Posso /anche èffprolungare danel continua sinistra primamentrepunto-3) siore ora dominioiltuttocontinua inera suo29discontinuità specieè=> ora-3 dipunto diunD IR=> one =: = definitosottintendendoOSS ède derivatala nonse i o(x 2)+ 3X +fixi e= 21 sottointese che(x + ci sempre2) perché in-7)*fix) XF -2( 2* =-e (x ++= =- derivatolaIX 21 0 1+ ==ha sensonon3) -33IR-E-2D fNoi puòobliomogiDominio forzato in-3di , comunque: non= ma, for diporte D(g 1 D(g). =& sog'segno di I X) 2: - DSg'))/5-23dif voloreNessun xper0=80x((1 -3)2X + u(03 XX 33+ 2)--= -= -1 - . ,- 2X +X X ++ 22↑ Costa studiare questo perstudiare di giil segno5) :18EstremiAgli DLimite Die --I'm ein - A:X 3 -- - 3-es E VENlin 0=53y -- freDe ho perchédestra +senso enonjin IxEin& 1g") don /f'lDerivata domsecondaIg"(x) 2X +2= . X+ 3-33EIRDOMINIO 2- -: : .fix"diseguo studioX-2per"Co 3f 2x So >( = x= > - -2 -8)1Cir +2 ;- 8"(x)001=( - 2 +per x Is, =gesX(( 2)per 3 -- , f"(x)XE t(-00in +3); E2x 730+ 1x)= = -g" 7(2)1i 00 -o -= .8"(-7/2) I dipunto glesse0 -= in 3)1-12g" so -1 1 -... X 33 +X +- ~1 -. --------------i--N -=--- -- (& / I...IIIII& nelammette èedpunto-3minimo o,massimoI Non ammettehe's81-5) 0 2~: -- ,hef ein volareillocale uniminimo-2 veè Punto-2 Angolosounha due orizzontal +esintati &-Dea */x)-2x1estud f(x1Si : :1 (x2-2x) exPOSSIBILITà studior gix): =29 POSSIBILITà studian &:1) D IRDOMINIO =2) Ein +LIMITI gex =ein f(x) 0=- 5X - 2)eX3) (x) (x)"(2x-2)exg'(x1DERIVATA 2x)e+ -=-=g'se (52 0)1-00in -2) +v, ,Ezvg S Se di lorolaè massimopunteX0 X ~-= Im = = un, è1 Sein 52 di52ga0 locolapunto minimoun- ,2) 2)ex2xe* 2)eX(x) (x)g"(x) + 2x+= -=- TuFsx 22x 11302+ = =-- - M!2 -85 .53) a)"s0 (1 531-00 +in8 +1; v-- ,53)538"ce in ( +11 - -- ,53ing" 11X =o= -ing x0 L: 02x= = ,g(a) 2xdi2 cambio concavità-= ·zehg(zl r(x)= = ↓Sarcse-(studisi gox = EES x220x-nerexie -1 + 1 +-1) - VXEIRIRDominio =: x21 +è PARIf rispetto all'esseysimmetricaOss =: :2) ace(x)& a: x)1:3) x2xi)xz)six 2x(12x(1 12x(1 +++ - --- -= ·& V xzjhx 2x2x)2xE xz)) = (1A(1 + ++ + +-2x2 x41 + +( 2 :2.-. x2)7 x(1x + 2IR-[0)doncy') = -= x28f 2+= =-g'xiso I crescentexose =fixico decrescentefxsose => ESea 2 XPsevesea) giconvessi - (2x) -hx X10seSe o x())(1 +IR1503dom 18")[don /g"l(81 <dong don1= ="10 i8 g(0)dom/f")XXE8 convesse=1 =i-2-&-................----------------- ----T- ICONFRONTO TRA FUNZIONILOCALEDIFORMULAE TAYLORcetrDEFINIZIONE lo e -Irpiccolol figintorno dic: :,,Diciomo di gfche siin cè piccolo scriveeounfe 0 18),fé 0 (g), è& chiaroèè del chicontestoorgi seSelivse f(x), f(x)Equivalentemente dirasi può : IlJc tIR: eimfix+ S(x)Dixigi 0se ec ==...... >CX -Ox")XM 0ESEMPI e in1 se man. mineNEin =o/(X-C14)(x-cu e in se mancoff)I kets2 + se naTroein+NX+ Xnfixi:oRim gin3 e. >2X - 811Pirlin fédicedire faxizo desiche opevolte :pera 1ceTR-IR di8 S intorno:8 8. ...Se è Offi è inOlgige c, SiSr()Sex lin uguaglianzaAllora traeim + Limiti=+x gn(x)g(x) + funzionitraNON-xYfx2f(x)ESEMPIO (x) == ,xi sen(xt)gn(x)g(x) ==senxh e 0(x)? senx"lin = Ox20>X - Xhsenxhein OI+X 0 Xh XI-↑ O x((1 x)x3 sahx2 lin +lim + =IX + +0x(10- x senxh+ + cer-IRDEFINIZIONE /funzioni asintotiche) cerSig: : , , in (oppureDicione fe fegdeche asintotice gainthe lasesintoticle a) seisono Xar X 0esiste due lo duei limitiesistono deisoloseoppure unof(x)f(x) X2X1ein ein +70 o= =+c xx+ +g(x) g(x)Xz EIRX anche Diversise, Gef(x) ancheESEMPLO loro2(x) sen xsenx sono= = >-hz(x) inasintoticheX 2xg(x) = sen oa= glinlin 2 Sinasintoticaè in 2xg Sensenx 2o 2a g == >P0X +> X - XXlimquelliinteressanti in lirI operarecicosì fix 0gexsono = =INFINITESIMOORDINE DI INFINITOdiE ::J diDota IR CEIR, diciono+ ha infinitesimofintorno che di inordine coIx-ckinfinitesima ordine indi al asintoticain se feCo aso aliv XR Xcioé = Seg e sefaxinha0 ordine& infinitesima adodi troa=+ se -E X + 0foCer Ix-ckfixha XEReir lirinfinitoordine di indo e se = = X + 0Ix-ci= Xf ha Zimordine di+d infinito sec todo a= D+1X X- + 0diha ordineESEMPIO infinitesimo in11 osenx. lin Xsen 1=0>X X- inf(x)2 senx:. 1 IR)infinitesimoordine essendo(daha [0di& 8resterin E]o : +,1fixie he ordine infinitesimo 2di3 +a. x21 + 1 x2lin 1+ ↑-+ xX - 1x2x)↓ fix he d:ordine 2 a +infinite1 += x2lin 1 + 1=+0->X xh=fixI di infinitoordine.5 Le in13lin 3=ot>x - *& di6 hafixi ordina infinito e in o=. =f(x)7 I 111. x 1CERf di ordineè infinito di ordinese infinitesimeè inin aaso =un aunfx?f(x)ESEMP10 X +=: ordine& diha infinitesimo in1 0ordinehe di& infinite 2 +0 X" x(x= (x)X((ex) +lin +x ==3 0x2+X 2- XIn x"generale xg(x += mingkingdi ordinef ininfinitesimoè· oun- n3ordinedi maxEKinfinitof +s· e aun , lin (=& è di xpiccolo in 0 seoun = X0 (XEinfinitesimo diè limf ordine se130un ot+xXè inquesto vole f Asinteticase oa di infinitesimoOSSERVAZIONE f alliache ordine insupponiamo oasoE p& sexOein S= X I+0-> iX aaß+X seX B0 xse=BC O =X EIRX = 0M infinitesimofunzioni infinitesime hanno dile ordinetutteNon· XlogfixiESEMPIO X=: Xlogxzo VasIn eEocBax0 seveime :OPERAZIONI TIPO POTENZADIGLI PICCOLICON OPer positivesemplicità consideriamoinconsideriamo piccoli potenze0 intereeoJ , E 0IR dif + intornog :, e& o(x)in0gé o(x) : 0? Stqualchef(x)f(x)Cim + 0 noper m=x+ 0 xm De: Smindnis S (stesse considerazioni.=m :Xm !0(x")0(xu) 0(x) [k 23.1 + minm= = ,,x 2ESEMPIO o(x)x) i o(x) x3xx3ex2 0(x) ++ 10=> 0X -X0(xno(x) o(XY) + 4)2. · = =88 k+nf(x)f(x) X 0= - 0XK XmXm -v*0(x+))" +4)(0(x3 =. (xk 0(xm) n3minGkxx)La +· m == , x2)o(xSitixY)0(xfé ++ 0>-30Y -Xm (x +x2x4)0(x x ++ ase mirx Xm+x-OVk.5 0(x)o(xn) =e nO(x)(xn) 0(XY)e& Se O>Xk tendo e! cerloDefinizione grandel fitir , e intorno disia: dice 7grande tdi in costanteSi Ksof seao c.wa .Ig(x) VXEFKIg(x)= X C,è Digif insi scriveefix) XhESEMp1 : =èf o(x) in oO(xifé 0in di& infinitesimoordine 2ha in osenx)g(x) = .Dexi xhè (g(x))in o =g ( eha yoordine di 2infinitesimo esiselinNon vor& deboleO è dicondizione più ouna=>SVILUPPi ASINTOTICI FORMULA TAYLORE DI5- IR XoEIR5 di8. intorno> , Xfex XEIRsupponiamo che +lim 0= ,1x0(xx 51m- -cioé infinitesimodiordinaf la Yoind CS-Six-X(x-yof(x) Xom lin-X(X-XoV e v-o(x- infetti =, uXoX + (X /Xo-(X-Xo)WX è fdetta parte principale diO derivabileOSSERVAZIONE : f(x) gext-fixolf(x) è infinitesima in Do= f(xo)f(x)fax Xeno - ==X-xe fixi-fixolSe èf èderivalite in inyo Asinzotect oX-Xoa, gex-fixol diordineha ininfinitesimo 1 Xo~ha f'(xa(x& faxe Xo)principaleparte1 - - Xe-faxa -f'(xol(xf(x) xalin - 0=X 1 Xo- X Yo- f(xo)(Xf(x) f(x) o(xxo)ecioè H* Xo)- --- xo)f(xo(x(f(xaf(x) --- ↓RETTA TANGENTEfaxol(X-Xo) !f(x-/fixadomande ordine di infinitesimopotrebbe 31+ as 2avere: esempio,go(x-xl)? X(X-Xol2liwf(x-(f(xC5x70 sorásí+ PARTElaseC .. f(x)Xo)2 f'(xo)(xdi(x f(xo)PRINCIPALE XH Xe- - - -XOEIRLEMMA cheintervalloI contiene Xo: , 1m -<(2)&. indesivoliti volte diso closseo CmAllora : S f(xa g(xd=f'(x0) g'(xd=lim f(x) f(x) f"(xa)