Appunti CFD parte teorica simulazione fluidodinamica

Teoria della turbolenza

Le equazioni di Navier-Stokes viste nelle lezioni precedenti stabiliscono un sistema accoppiato di equazioni differenziali altamente non lineari, in grado di descrivere nello spazio e nel tempo il comportamento fluidodinamico di un sistema – in termini di densità, velocità, pressioni, temperature, ecc. Non esiste una soluzione esatta al problema fluidodinamico, e questo rende la fluidodinamica una scienza complessa in quanto la conoscenza delle soluzioni ai nostri problemi deve basarsi su esperimenti di elevato dettaglio o su assunzioni di tipo modellistico.

Il concetto di turbolenza

Il concetto di turbolenza appartiene storicamente a Reynolds, il quale si attribuì il numero (adimensionale). Egli notò in alcuni esperimenti come un flusso che si muoveva in un condotto in modo regolare cominciasse ad esibire delle irregolarità e delle instabilità alle quali dette il nome di regime turbolento (contraltare del regime laminare). Il numero di Reynolds può essere visto come il rapporto fra le forze inerziali e quelle viscose.

Sempre Reynolds stabilì che al superamento di una certa soglia (Re crit), il flusso compiesse una transizione da laminare a turbolento. Quest’ultimo è caratterizzato da una caoticità ed una randomicità che lo rendono estremamente instabile e variabile nel tempo e nello spazio… possiamo allora attuare una decomposizione che ci permette di isolare una velocità media del flusso, alla quale è associata in ogni istante una componente fluttuante.

Il valore medio, a sua volta, può essere espresso in vari modi: classicamente si opera una media temporale di un segnale tempo-variante, ma nulla vieta di operare una media d’insieme (dipendente cioè sia dal tempo che dallo spazio). Questo tipo di scomposizione è detta decomposizione di Reynolds (Reynolds decomposition), e viene applicata anche nei solutori CFD per caratterizzare la pressione, la densità e la concentrazione di specie chimiche.

Per fluidi comprimibili posso anche operare la decomposizione di Favre, in cui la media è pesata sulla densità: anche il segnale di velocità, che è tempo-dipendente, viene scomposto in un valor medio ed una fluttuazione. Nei flussi turbolenti verrà applicata una decomposizione di Favre per il campo di velocità o per l’energia: questo ci permetterà di scrivere delle equazioni formalmente simili alle equazioni di Navier-Stokes originali.

Intensità di turbolenza

L’intensità di turbolenza è definita come lo scarto quadratico medio della fluttuazione di velocità. Tuttavia, di solito ci si riferisce al rapporto (%) fra l’intensità di turbolenza e il valore medio di velocità. Un campo di moto turbolento si distingue per la presenza di una molteplicità di strutture, caratterizzate in base a scale temporali e di lunghezza. Fra esse annoveriamo:

• L = macroscala (caratteristica del moto medio);
• l₀ = scala integrale delle turbolenze;
• l_λ = microscala di Taylor delle turbolenze;
• l_η = microscala di Kolmogorov delle turbolenze;

La macroscala L è tipica delle strutture di flusso più larghe incontrabili nel dominio, ed è molto collegata alla geometria proprio del dominio stesso – come può essere il diametro di un condotto in un flusso nel condotto stesso. Con le scale integrali della turbolenza si identificano le dimensioni delle più grandi strutture turbolente (non di moto) del dominio di interesse. Queste strutture sono caratterizzate da tempi di vita elevati e basse lunghezze d’onda, in modo tale da far restare la scala integrale fra la macroscala e l’ordine inferiore.

Con un approccio analitico, si può usare il coefficiente di correlazione per stabilire quanto due segnali variabili nello spazio e/o nel tempo siano correlati. La lunghezza di scala integrale deriva dal coefficiente di correlazione nel modo esposto; in termini più pratici, si tratta della distanza massima oltre la quale due segnali sono del tutto non correlati fra loro (R → 0).

Le microscale di Taylor di turbolenza sono le scale intermedie, collegate alla velocità di deformazione del moto medio. Formalmente sono espresse come:

Le microscale di Kolmogorov sono le più piccole scale che possono essere associate ad un campo di moto turbolento, e si tratta di una dimensione oltre la quale il degrado delle strutture di moto degenera direttamente in attrito per agitazione molecolare – in altre parole, gli effetti molecolari qui non sono più trascurabili.

Numero di Reynolds e scale di turbolenza

Così come abbiamo definito diverse scale di lunghezza, definiamo diversi numeri di Reynolds turbolenti, associati ognuno alla rispettiva scala di lunghezza. Si mostra che esiste una relazione fra le scale più grandi e quelle più piccole, dipendente proprio dai numeri di Reynolds appena espressi. Si capisce allora come al crescere di Re, si dilati il range di strutture di moto presenti nel flusso turbolento – sia in numero che in dimensioni. Ciò rende la struttura più difficile da modellare, in quanto al crescere di Re i fenomeni locali diventano sempre più piccoli (ragione per cui per coglierli bisognerà scendere sempre più nel dettaglio, sia spaziale che temporale).

Il dilemma della turbolenza

Se dovessimo risolvere tutte le strutture turbolente esistenti nel caso in esame, non esisterebbe un computer abbastanza potente da garantirci una soluzione analitica; d’altronde, da un punto di vista ingegneristico questo non è nemmeno indispensabile, dato che siamo interessati a capire come si evolva la macrostruttura turbolenta (o magari quanto sia dissipativa, ecc.).

In una visione d’insieme, una conoscenza rigorosa delle scale integrali è più che sufficiente per valutare il design di un componente, un oggetto, ecc. Pertanto l’approccio corretto sarà quello che andrà a simulare con modelli teorico/empirici gli effetti indotti dalle scale che non potremmo effettivamente calcolare – in quanto troppo piccole. Ciò comporta problemi, in quanto l’effetto di queste ultime non è assolutamente trascurabile: l’accuratezza globale dipenderà dall’accuratezza del modello col quale esprimiamo le scale a noi ignote.

Ipotesi di similarità di Kolmogorov

Un esempio del fatto che ingegneristicamente non sia necessario conoscere nella loro interezza tutte le scale è la risoluzione – con un metodo numerico estremamente raffinato – delle strutture di moto turbolente che si instaurano nella camera di combustione di un motore per effetto dell’apertura della valvola di aspirazione. In un case study del genere siamo più interessati a conoscere l’attitudine del motore a generare tumble o swirl, o magari se si abbia la propensione a generare un distacco di vena che penalizza l’efficienza del condotto… ad ogni modo si tratta di fenomeni macroscopici, non microscopici.

1° ipotesi di similarità di Kolmogorov

In una struttura turbolenta omogenea (cioè dove l’energia cinetica turbolenta è la stessa nello spazio), i vortici turbolenti tendono ad essere statisticamente indipendenti dalla direzione – in altre parole, sono isotropi. Kolmogorov stabilì che nel moto turbolento le strutture più grandi, che risentono del moto medio e della geometria del sistema, sono necessariamente anisotrope; man mano che si scende con la dimensione delle scale, esse “perdono” memoria della direzionalità preferenziale attribuita al campo di moto e sono allora statisticamente isotrope.

Si crea dunque una sorta di doppio binario, dove le scale maggiori di una certa lunghezza caratteristica l presentano da strutture non più isotrope ma anisotrope; le scale minori di tale soglia presentano strutture che restano perfettamente isotrope. Per parecchi Re si può stimare che l ≈ l₀/6, e questo ci aiuta in quanto – per la loro forte connotazione isotropa – la statistica delle microscale può essere considerata universale. Questo fa sì che le microstrutture della turbolenza diventino autosimilari, indipendentemente dal campo di moto medio e dalle condizioni al contorno. Il range in cui le scale sono inferiori a l è detto “range di equilibrio universale”.

2° ipotesi di similarità di Kolmogorov

In tutti i flussi turbolenti con Re sufficientemente elevato, le scale comprese fra la scala integrale e una dimensione superiore alle scale di Kolmogorov (l_η ≤ l ≤ l₀) hanno caratteristiche univocamente determinate dalla grandezza ε di dissipazione dell’energia associata alla turbolenza, e sono indipendenti dalla viscosità ν. Questo ci dice che le grandi scale e le scale intermedie non risentono della viscosità molecolare del fluido. Posso allora introdurre una nuova scala caratteristica l_DI, con l_DI ≈ 60 l_η per molti Re… parallelamente si creano due nuovi subrange:

• l_η ≤ l ≤ l_EI (Inertial subrange) → Il moto è determinato unicamente da effetti inerziali, e possiamo trascurare completamente gli effetti viscosi;
• l_DI < l (Dissipation subrange) → Il moto inizia a percepire in maniera via via crescente degli effetti viscosi, fino a dissipare la propria energia in energia interna proprio a causa della viscosità molecolare;

Spettro dell’energia turbolenta

Possiamo allora creare uno spettro dell’energia turbolenta, dove vediamo che muovendoci da destra verso sinistra il contenuto energetico delle scale viene progressivamente perso per dissipazione (per via della maggiore diffusione). La parte destra del grafico è un range in cui la turbolenza è alimentata dall’energia posseduta dal moto medio, mentre nei range più a sinistra si ha – come detto – la dissipazione dell’energia stessa. Nella zona fra esse comprese, si ha un equilibrio fra produzione e dissipazione, che si manifesta come trasferimento di energia alle scale più piccole.

Si può definire un wavenumber, che vale [1/m]. A questo punto ci chiediamo: come si distribuisce l’energia cinetica turbolenta al variare delle sue scale caratteristiche? In altre parole, vogliamo trovare una funzione che leghi lo spettro di energia al wavenumber. L’ultima espressione identifica l’intero spettro energetico in funzione dei parametri contenuti nella formula – si tenga conto che f_η è una funzione di tipo dissipativo, mentre f_L è di tipo produttivo. Nel range inerziale, dove questi ultimi due contributi si bilanciano e c’è il trasferimento di energia alle scale inferiori (energy cascade), possiamo esprimere lo spettro con la formula precedente, laddove le due funzioni citate si elidono.

Turbolenza e natura deterministica delle equazioni di Navier-Stokes

La caratteristica saliente di un campo di moto turbolento è la sua randomicità: allora ci aspettiamo, da un punto di vista fisico, che la ripetizione di un esperimento porti ad una situazione fluidodinamica diversa esperimento per esperimento. D’altra parte, le ipotesi nelle quali abbiamo ricavato le equazioni di Navier-Stokes sono ipotesi strettamente deterministiche, per cui otteniamo una conclusione opposta a quanto detto.

Questo paradosso si spiega col fatto che è impossibile replicare lo stesso esperimento infinite volte (seppur per parametri infinitesimi di differenza), e il Reynolds ci dà idea di questo al suo repentino variare. Anche da un punto di vista di calcolo, introducendo una piccolissima perturbazione nelle equazioni di Navier-Stokes di un problema non-stazionario, si produce una soluzione finale diversa da quanto ci saremmo attesi.

Vortici turbolenti (turbulent eddies)

L’analisi di un flusso turbolento mostra un ampio spettro di strutture con elevata rotazionalità: si tratta di vortici turbolenti, il cui tempo di vita varia largamente – le strutture più grandi sopravvivono di più, e viceversa. La presenza dei vortici determina l’elevato mescolamento interno tipico dei flussi turbolenti, vale a dire una delle differenze più percepibili rispetto ad un moto laminare. Qualsiasi struttura si formi, parte dalle scale più grandi; poi si ha una deformazione chiamata “vortex stretching” a causa del moto medio, da cui si ha una rottura che genera strutture sempre più piccole. È in questo processo che avviene la già citata energy cascade, fino a quando le strutture non sono così piccole da degradare la loro energia in attrito o energia interna. La quantità di moto complessiva viene conservata in questo processo di deformazione, mentre – come più volte ripetuto – le piccole scale sono largamente dominate da fenomeni viscosi.

Volendo riassumere le proprietà di un flusso turbolento non dette in precedenza, possiamo dire che:

• La turbolenza è altamente tridimensionale per via dello sviluppo dei vortici nello spazio, anche in geometrie 2D;
• Il mescolamento interno tipico della turbolenza è detto anche “diffusione turbolenta”, in quanto si tende a ridurre i gradienti locali proprio come farebbe un trasporto diffusivo a gradiente. Questo suggerisce un approccio modellistico che tenda a mimare il comportamento mostrato includendo un’ulteriore viscosità oltre a quella molecolare;
• La simulazione numerica di un flusso turbolento è un processo estremamente difficile;

Pro e contro della turbolenza nei processi industriali

Come sempre, ci sono fattori contrastanti nei fenomeni turbolenti: da un lato l’incrementato mescolamento nel moto fa sì che il mixing di specie chimiche e lo scambio termico siano agevolati ed esaltati (questo è molto utile nei motori a combustione interna, capaci di adattarsi molto facilmente al tempo a disposizione per far avvenire il ciclo grazie proprio alla turbolenza), ma dall’altro vengono esaltati anche fenomeni di attrito (dissipativi) – a discapito dell’efficienza.

Studio della turbolenza

La maggior parte degli approcci mirano ad ottenere una visione macroscopica della turbolenza, come spiegato all’inizio della lezione. I metodi di modellazione della turbolenza possono anche essere classificati – dal più semplice al più complesso:

Reynolds Equations

Engineers are normally interested in knowing just a few quantitative properties of a turbulent flow, such as the average forces on a body (and, perhaps, its distribution), the degree of mixing between two incoming streams of fluid, or the amount of a substance that has reacted.

In Reynolds-averaged approaches to turbulence, all of the unsteadiness is averaged out i.e. all unsteadiness is regarded as part of the turbulence. On averaging, the non-linearity of the Navier-Stokes equations gives rise to terms that must be modeled, just as they did earlier.

Modelling is not simulating!! The complexity of turbulence, which was discussed briefly above, makes it unlikely that any single Reynolds-averaged model will be able to represent all turbulent flows so turbulence models should be regarded as engineering approximations rather than scientific laws.

Recalling the Reynolds decomposition rationale, in a statistically steady flow, every variable can be written as the sum of a time-averaged value and a fluctuation about that value:

1, where ′ , = + , = lim , ׬ 0→∞

Here t is the time and T is the averaging interval. This interval must be large compared to the typical time scale of the fluctuations; thus, we are interested in the limit of → ∞.

The Favre decomposition rationale is also recalled: 1lim , , ׬ 0෨ ෨, where ′′ →∞ , = + , = 1lim , ׬ 0→∞

Again with t the time and T the averaging interval. 2෨

If T is large enough, and do not depend on the time at which the averaging is started. If the flow is unsteady, time averaging cannot be used and it must be replaced by ensemble averaging. 1 σlim ( ,) ,1 =1෨ and →∞σ , = lim , , = =1 1 σ→∞ lim ,=1→∞

where N must be large enough to eliminate the effects of the fluctuations. This type of averaging can be applied to any flow. Applying Reynolds averaging to the NS equations yields the Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) equations. Time averaging for a statisticallysteady flow (left) and ensembleaveraging for an unsteady flow (right) From the definition of Reynolds decomposition, it follows that the average of the mean value is the value itself ( while the average of the fluctuation is null by definition (′ = ), = 0).