Simulazione fluidodinamica CFD - Appunti teoria

Introduzione equazioni N-S: ipotesi del continuo

Il fluido è considerato come un "continuo" se la cella computaz. è molto più grande del cammino libero tra le molecole, in modo da poter trascurare le iterazioni molecolari.

NB Le proprietà macroscopiche (V, ρ, P, T) e le loro derivate spaziali e temporali sono considerate come una media d'insieme delle infinite molecole dentro la cella.

Tale ipotesi è valida se il numero Knudsen è < 0,01.

Kn = _l/_L

Cammino libero tra le molecole.

Lunghezza caratteristica della cella.

NB Per Re↑↑ il numero di Knudsen si può scrivere come

Kn = M_a/Re ⋅ √(γΠ)/2 cp/cv

Introduzione equazioni N-S: ipotesi del continuo

Il fluido è considerato come un "continuo" se la cella computaz. è molto più grande del cammino libero tra le molecole, in modo da poter trascurare le iterazioni molecolari.

Le proprietà macroscopiche (v, P, ρ, T) e le loro derivate spaziali e temporali sono considerate come una media d'insieme delle infinite molecole dentro la cella.

Tale ipotesi è valida se il numero Knudsen è < 0,01.

Kn = _L/_L

Per Re↑↑ il numero di Knudsen si può scrivere come

Kn = _Ma/_Re · √(_γπ/₂)

Regimi in base a Kn

Si possono distinguere 4 regimi in base a Kn:

• Continuo → Kn < 0,01
• Slip flow → 0,01 < Kn < 0,1
• Di transizione → 0,1 < Kn < 3
• Moto libero molecole → Kn > 3

NB Le eq. N-S sono completamente valide per Kn < 0,01 e producono buoni risultati in Slip flow.

→ dal moto di transizione in poi è necessario usare approcci statistici!!

es. [Flussaggio iniettore GDI]

Distacco di vena

• Si formano dei vortici con forte depressione (p_ass = 5 ÷ 100 Pa) e basse temperature
• → Aumenta notevolmente cammino libero molecolare e con esso anche il n° Knudsen che può diventare > 0,01

Analisi del passaggio da proprietà intensiva a estensiva

* Analizziamo passaggio prop. intensiva -> estensiva.

Proprietà intensiva.

Volume occupato da CM.

Proprietà estensiva.

Equazione conservazione per un CV

* Equazione conservazione per un CV.

Volume CV (prop. intensiva).

Superficie che racchiude CV.

Velocità fluido.

Versore uscente + velocità spostam. CV.

NB Flusso netto attraverso sup. che circondano VC di φ oppure Flusso convettivo della grandezza φ attraverso VC.

N-S: conservazione massa

1. Tasso variazione massa dentro al VC.

   ∂_t (ρ δx_i δx_j δx_k) = ∂_tρ δx_i δx_j δx_k

   Dimensioni VC nelle 3 direzioni.

   Flusso netto di massa nell' elemento fluido.

   ρμ_i + ∂(ρμ_i)/∂x_j · 1/2 δx_j

   ρμ_k ∂(ρμ_k)/∂x_k 1/2 δx_k

   ρμ_i - ∂(ρμ_i)/∂x_i · 1/2 δx_i

   ρμ_j - ∂(ρμ_j)/∂x_j · 1/2 δx_j

   NB I flussi usciti sono negativi!

   Sommo i 6 termini e ottengo

   ∂ρ/∂t + ∂(ρμ_i)/∂x_i + ∂(ρμ_j)/∂x_j + ∂(ρμ_k)/∂x_k = 0

   Eq. continuità ∂ρ/∂t + div (ρμ̅) = 0

Derivata materiale

Richiamiamo eq. continuità

∂_t(ρϕ) + div (ρϕu) = 0 → ∂_tρϕ + div (ρϕu) = 0

Scalare.

Sviluppo derivata.

∂_tρϕ + div (ρϕu) = ρ[∂_tϕ + u · div ϕ] + ϕ[∂_tρ + div (ρu)]

= 0 per eq. continuità

∂_tρϕ = _Dtρϕ per DEF.

Ottengo

∂_tρϕ + div (ρϕu) = ρ_Dtρϕ

Tasso variazione di ϕ nell'elemento fluido [Approccio Euler.]

Flusso netto di ϕ dovuto alla convezione nell'elemento fluido [Approccio Euler.]

Variazione totale di ϕ seguendo la particella fluida [Approccio Lagrang.]

Altra DEF. di derivata materiale

_Dtu = ∂_tu + u · div u

N-S: conservazione quantità moto

1. Tasso variazione q.ta' moto dentro al VC.

∫_VC DMi/Dt = ∫_VC ∂Mi/∂t + div (∫_VC β Ui Mi)

∫_VC DMj/Dt = ∫_VC ∂Mj/∂t + div (∫_VC β Uj Mj)

∫_VC DMk/Dt = ∫_VC ∂Mk/∂t + div (∫_VC β Uk Mk)

2. Somma forze su particella fluida.