Appunti Elementi di fluidodinamica computazionale per la progettazione meccanica, CFD

Introduzione alla fluidodinamica computazionale

Cos'è la CFD?

Computational: la soluzione del problema fluidodinamico è eseguita al calcolatore. Fluid: l’oggetto dello studio è una sostanza allo stato fluido (liquidi o gas). Dynamics: ciò che si vuole conoscere è il campo di moto del fluido e le forze che agiscono su eventuali corpi solidi.

Problema fluidodinamico

Si ha un nuovo modello di vettura e si vogliono valutare:

• Quale è la sua efficienza aerodinamica? (nel caso dell’automobile il rendimento aerodinamico è il rapporto tra deportanza e resistenza – mentre nell’aereo l’effetto utile è dato dalla portanza)
• Come posso valutare la sua resistenza? E la sua capacità deportante? (Lift e Drag sono sempre perpendicolari tra loro, la direzione del Drag dipende dalla direzione del vettore velocità)

Come posso risolvere il problema?

• Soluzione I: Analisi sperimentale
• Soluzione II: Analisi teorica/analitica
• Soluzione III: Analisi CFD

Soluzione 1: Analisi sperimentale

Prova in galleria del vento: per effettuare la prova è necessario un oggetto reale, di conseguenza si deve realizzare un modello. Il modello viene realizzato solitamente in scala per una questione economica, questo comprende sia la costruzione del modello ma anche la dimensione della galleria del vento che per oggetti grandi deve essere notevolmente più grande per riprodurre le condizioni d’uso reali in ambiente (se avessi un tetto troppo basso rispetto l’auto non schematizzo correttamente l’ambiente).

Infatti, le equazioni di Navier–Stokes sono ricavate in forma adimensionale – “due problemi di fluidodinamica che hanno lo stesso Reynolds sono lo stesso problema”. L’equazione adimensionale è identica a quella dimensionale con al posto della viscosità 1/Re (il reciproco del numero di Reynolds) e priva della densità. Le soluzioni adimensionali sono quindi identiche a pari numero di Reynolds (Re) (e quelle dimensionali corrispondenti sono in similitudine); i risultati ottenuti nella galleria del vento sono discreti e dipendono dal numero e dalla posizione delle prese di pressione inserite.

Di conseguenza, se volessi effettuare una modifica, sarebbe necessario un nuovo prototipo dell’auto da costruire e una nuova prova. Il processo di progettazione è:

• Costoso
• Lento
• Necessita la continua disponibilità della galleria

Soluzione 2: Analisi teorica/analitica

Un problema di aerodinamica è governato dalle equazioni di Navier-Stokes, ben note fin dal 19° secolo, ma:

• Sistema non lineare di equazioni differenziali alle derivate parziali
• Soluzione analitica possibile solo per pochissimi problemi
• Premio da un milione di dollari istituito nel 2000 dal Clay Mathematics Institute per chi contribuisca in modo significativo a una teoria matematica che sveli i segreti nascosti nelle equazioni di Navier-Stokes
• I matematici discutono ancora dell’esistenza ed unicità di una sua soluzione

Per potere trattare analiticamente le equazioni di Navier-Stokes, si può pensare di semplificarle. Ad esempio, si possono trascurare i termini viscosi:

• La teoria aerodinamica classica si basa su quest’ultima ipotesi.
• I risultati così ottenuti sono una pietra miliare per lo sviluppo del campo aeronautico in quanto giustificano fisicamente e matematicamente la generazione di una forza di portanza/deportanza.

Tuttavia, la teoria ha dei limiti:

• Non predice forze di resistenza (paradosso di D’Alembert): è contro ogni evidenza sperimentale. Provate a mettere la mano fuori del finestrino di un’auto in movimento!

Non è soddisfacente una teoria aerodinamica senza resistenza. Ad esempio, per un team di F1 la stima della resistenza aerodinamica non è una informazione trascurabile.

Adeguamento della teoria introducendo il concetto di strato limite (Prandtl 1904):

• Rende possibile la comprensione del fenomeno fisico giustificando la forza di resistenza.
• Impossibile applicarla per analisi quantitative se non per problemi geometricamente semplici (esempio profili alari sottili). Non è adatta a valutare il flusso attorno a corpi tozzi in quanto non prevede il distacco fluidodinamico (in un primo momento il fluido segue la superficie solida, ma ad un certo punto vi è il distacco).

Il vantaggio di risolvere dal punto di vista analitico è quello di avere una soluzione continua che non si ha né con le analisi sperimentale né con il CFD (data la discretizzazione).

Soluzione 3: Metodi numerici

Computational Fluid Dynamics

Risolvo numericamente le equazioni di Navier-Stokes:

• Le approssimo numericamente, e cioè le discretizzo in una forma algebrica risolvibile da un computer. Costruisco al computer un reticolo di calcolo del dominio fluido (quindi attorno alla geometria del veicolo) e applico ai risultanti volumi di calcolo le equazioni della fluidodinamica approssimate per via numerica.

Nella figura di sinistra vediamo un esempio di mesh non conforme ovvero dove elementi continui non per forza hanno in comune i nodi, ma sicuramente hanno in comune i lati. Le mesh non conformi si utilizzano quando si hanno diversi elementi in moto relativo tra loro. (Supponiamo di avere una turbina con parte rotorica e statorica, quello che si discretizza è il fluido, dove l’oggetto in se rappresenta un buco nel dominio computazionale, il fluido all’interfaccia tra parte statorica e rotorica non può avere un reticolo conforme perché le due parti sono in movimento relativo quindi si perderebbe l’interfaccia)

ES: Nella figura di destra vediamo una griglia poliedrica, ovvero dove si utilizzano poligoni con lati (che non siano quadrati o triangoli). Il boundary è un limite fittizio del mondo fisico (non posso discretizzare l’intero mondo) e deve essere di una dimensione tale per cui, agli estremi, le grandezze fisiche non risentano della presenza dell’oggetto all’interno di esso (infatti quelle che assegnerò sono le condizioni al contorno al boundary pari a quelle di flusso indisturbato).

Il boundary deve essere di tipo “non reflecting”, questo per evitare riflessioni delle onde o delle perturbazioni alle frontiere del dominio. Ciò significa che non si desidera che le onde o le informazioni vengano riflesse indietro nel dominio e causino instabilità o interferenze non realistiche. In generale, l'obiettivo di utilizzare boundary non-reflecting è quello di ottenere risultati più accurati e realistici nelle simulazioni, preservando l'effetto del sistema aperto o di una frontiera trasmissiva, dove le onde possono lasciare il dominio senza riflettersi.

In sostanza, molto spesso il dominio fisico e computazionale non coincidono, questo per evitare dei disturbi e delle imprecisioni nel calcolo delle variabili. Problematiche simili non si presentano solo nel caso di flusso esterno, ma anche nel caso di flusso interno (ovvero quando il fluido è all’interno del solido come nel caso di una tubazione).

Vantaggi del CFD: rispetto all’analisi sperimentale è più veloce e solitamente meno costoso, inoltre, rispetto all’analisi sperimentale, si hanno molti più valori della variabile studiata.

Il problema non è risolto:

• Esiste il problema della turbolenza (sia dal punto di vista fisico che della CFD). La turbolenza in natura più che l’eccezione è la regola.

Esempio di turbolenza si può vedere osservando lo scorrere di un fiume, il fumo di una sigaretta, ecc... Questa è l’interpretazione che ne ha dato Leonardo nel 1500: (i vortici più esterni hanno dimensione caratteristica simile a quella che ha generato la turbolenza, ovvero il canale, mentre al centro i vortici sono più piccoli – quando l’acqua sfocia si creano vortici grandi che producendo energia cinetica turbolenta generano a loro volta vortici più piccoli e così via – ogni volta che un vortice si frammenta cede parte della sua energia cinetica ai vortici più piccoli)

I moti vorticosi a grande scala si frammentano in moti a scala sempre più piccola che rendono il flusso irregolare e impredicibile. Il fenomeno visto precedentemente prende il nome di cascata di energia (energy cascade) e viene utilizzato anche per spiegare le varie generalizzazioni del concetto di turbolenza. Nella meccanica del continuo, una cascata di energia comporta il trasferimento di energia dal moto su grandi scale al moto su piccole scale (chiamata cascata diretta di energia) o un trasferimento di energia da piccole scale a grandi scale (chiamata cascata inversa di energia). Questo trasferimento di energia tra scale diverse richiede che la dinamica del sistema sia non lineare.

Questo concetto gioca un ruolo importante nello studio della turbolenza completamente sviluppata e fu descritta per la prima volta da Lewis F. Richardson negli anni '20. Si consideri ad esempio la turbolenza generata dal flusso d'aria attorno a un edificio alto: i vortici (che contengono energia) generati dalla separazione del flusso hanno dimensioni dell'ordine di decine di metri. Da qualche parte a valle, la dissipazione ad opera della viscosità avviene, per la maggior parte, in vortici alle microscale di Kolmogorov: dell'ordine di un millimetro per il caso considerato. Sulle scale intermedie, non c'è né una immissione diretta di energia né un tasso significativo di dissipazione viscosa, ma c'è un trasferimento netto non lineare di energia dalle scale grandi a quelle piccole.

È difficile anche solo dare una definizione rigorosa della turbolenza. Il problema dell’utilizzare le CFD nel caso di turbolenza è il numero di elementi, infatti, nel caso di turbolenza si hanno vortici sempre più piccoli che richiedono una discretizzazione sempre più elevata.

Problema della turbolenza

Horace Lamb (uno dei padri fondatori dell’idrodinamica) affermava nel 1932: "Io sono ora un uomo vecchio, e quando morirò e andrò in cielo vi saranno due questioni per le quali chiederò delucidazioni. La prima è l'elettrodinamica quantistica, e la seconda è il moto turbolento dei fluidi. Per la prima sono piuttosto ottimista di poter avere una risposta." Richard Feynman (premio Nobel per la fisica nel 1965) definì il problema della turbolenza come il più importante problema non risolto della fisica classica.

La pelle degli squali presenta piccole scanalature che riducono la forza di attrito. In correlazione con quanto accade per la pelle degli squali, sugli aerei sono previste delle scanalature (riblets) di dimensioni 0.1 mm che possono ridurre i consumi di carburante degli aerei anche del 7-8%.

La pallina da golf sfrutta la turbolenza: lo strato limite laminare è più fragile di quello turbolento e si distacca prima. La scia è più larga e la resistenza di forma è più grande.

Dal punto di vista numerico, la risoluzione diretta di un flusso turbolento (approccio DNS Direct Numerical Simulation) richiederebbe un numero di volumi/punti di calcolo così grande da risultare improponibile ad alti numeri di Reynolds. Stima delle richieste computazionali per la simulazione della fusoliera di un aereo lunga 30 m che viaggia a 800 km/h:

• 710 Terabytes di memoria RAM
• 2710–7 · operazioni in virgola mobile 142.8 • 10

Usando il super computer parallelo IBM Blue Gene/L del 2006 (131000 CPU e operazioni in virgola mobile al secondo, ovvero 280 Teraflops): circa 80000 anni di calcolo 7 • 10. Ad oggi la potenza dei più grandi computer paralleli è dell'ordine dei 200 Petaflops (2 operazioni al secondo): circa 1100 anni di calcolo. Un Intel Core i7-4790 3.6GHz 4 core CPU (2017) è capace di 10¹¹ flops, la stima del tempo di calcolo è 22 milioni di anni. Quindi il DNS per questo tipo di problemi non si può utilizzare, ma solo per casi più semplici.

Anche problemi apparentemente semplici possono nascondere notevoli difficoltà, ad esempio, il flusso in un condotto è teoricamente molto più stabile (soluzione laminare) rispetto a quanto osservato nella realtà. Il Reynolds critico sperimentale è molto più grande rispetto a quanto si analizza dalle simulazioni. L’effetto della turbolenza viene spesso modellato modificando opportunamente le equazioni di Navier-Stokes (approccio Reynolds Averaged Navier-Stokes RANS, ovvero equazioni mediate alla Reynolds). Si aggiungono poi al sistema originale nuove equazioni (i modelli di chiusura per la turbolenza) per descrivere, con un approccio statistico, le grandezze tipiche della turbolente, ad esempio l’energia cinetica turbolenta.

• Sono modelli teorici-sperimentali non sono quindi le equazioni esatte di governo del fenomeno fisico.
• Questi modelli funzionano bene per certi tipi di problemi su cui sono stati calibrati ma non sempre sono affidabili.
• Esiste un numero molto grande di modelli:
• Alcuni modelli hanno un numero di equazioni maggiore di quello del set di equazioni originali di Navier-Stokes.
• È necessario sapere scegliere quello più adatto.
• I flussi di transizione sono particolarmente difficili per questi modelli (coesistenza di regioni laminari e turbolente).

Esiste una via intermedia Large Eddy Simulation (LES): si modellano solo le strutture turbolente più piccole, mentre quelle più grandi sono calcolate direttamente. Nella figura in alto si vede la cascata di energia mentre sotto come vengono risolti con i vari approcci: il vantaggio dei LES è quello di ridurre di molto il numero di elementi della mesh, mentre nei RANS risolvo direttamente solo quelli visibili ad occhio nudo. L’accuratezza ha un andamento inverso rispetto il costo computazionale (le DNS sono quelle che richiedono il maggior costo computazionale ma hanno anche l’accuratezza migliore).

Flusso turbolento attorno ad una sfera: apparentemente banale… utilizzando modelli RANS molto comuni si commettono errori sulla resistenza dell’ordine del 50% anche con calcoli molto accurati.

In conclusione

• I risultati vanno analizzati molto criticamente.
• Usare un software di simulazione senza conoscere la fluidodinamica e la modellistica è quasi come pensare che un software di videoscrittura possa occuparsi anche dei contenuti di un documento.
• L’abilità e la competenza dell’utente è fondamentale anche nella generazione del reticolo di calcolo.
• Nella fase di generazione della griglia l’utente deve considerare la presenza, in prossimità delle pareti, di strati limite (zone caratterizzate da forti gradienti, ma quale è il loro spessore?), di eventuali zone di separazione (non so dove siano posizionate a priori) e, per flussi comprimibili ad elevato numero di Mach, di onde d’urto (zone di discontinuità anche queste posizionate in luoghi non noti a priori).

Richiami equazioni di governo sulla fluidodinamica

Per ricavare le equazioni di governo per un flusso incomprimibile (densità costante) si ha un sistema con:

• Equazioni di conservazione della massa + equazioni di conservazione della quantità di moto (a rigore le Navier-Stokes sono solo quelle di conservazione della quantità di moto, mentre l’equazione di continuità esisteva già da prima; in generale ci si riferisce sempre a Navier-Stokes).

Il sistema ha nel caso più generale 4 variabili indipendenti (la pressione e le 3 componenti della velocità, mentre la densità è nota) ed altrettante equazioni differenziali. Esistono diversi approcci per ricavare tali equazioni, qui prendiamo nuovamente in considerazione quello che utilizza il teorema del trasporto di Reynolds (per una generica quantità).

Volume materiale e di controllo

In figura è rappresentata l'evoluzione nel tempo di un Volume Materiale che contiene sempre la stessa massa (o meglio sempre le stesse particelle di fluido, di conseguenza non c’è flusso di massa, il volume materiale è “impermeabile”) e a cui si può associare la grandezza estensiva:

() = ∫ ()

La grandezza estensiva è l’integrale sul volume materiale (che è funzione del tempo) della grandezza intensiva β moltiplicata per la densità.

Diversamente, il Volume di Controllo Fisso (tratteggiato in verde) viene attraversato dalle particelle di fluido; anche a questo posso associare la grandezza estensiva.

() = ∫ 0

In questo caso il volume non cambia più nel tempo, non viaggia con il flusso, ma il flusso può entrare ed uscire. è la proprietà estensiva (dipende dall’estensione del sistema quindi dalla massa), mentre è la proprietà intensiva correlata a ( diviso la massa), è la densità, il vettore velocità e) il versore normale alla superficie ed uscente dal volume di controllo = La tra volume materiale e di controllo può essere vista anche come la differenza tra sistema di riferimento

Euleriano (volume di controllo fisso) e Lagrangiano (volume materiale).

(),

Ovviamente le due grandezze al di là del nome, sono diverse. Come sono collegate? O, più precisamente, come sono collegate le loro derivate nel tempo? Tramite il teorema del trasporto di Reynolds.

Il teorema del trasporto di Reynolds

() = ∫ + ∮ ⃗ ∙ ̂ ⃗(velocità)

Il termine a sinistra dell'uguale rappresenta la derivata di (proprietà estensiva) valutata prendendo in esame il volume materiale (volume che contiene le stesse particelle di fluido in quanto non c'è flusso di massa).