Appunti Analisi matematica II - Primo parziale

CIRCONFERENZA: r(t) = (cos t, sen t) t e [0, 2pi] (centro (0,0) e R = 1)

(antiorario)

(x - x_c)² + (y - y_c)² = R²

CIRCONFERENZA generica → r(t) = (a + R cos t, b + R sen t)

(R e C(a,b))

ELLISSI: r(t) = (a + A cos t, b + B sen t) t e [0, 2pi]

x²/A² + y²/B² = 1

(centro (a,b))

ELICA CILINDRICA: r(t) = (R cos t, R sen t, t) t e [a,b]

SFERA:

x = R sen fi cos theta

y = R sen fi sen theta

z = R cos fi

R e (0,+oo)

fi e [0, pi]

theta e [0, 2pi]

eq. cartesiana: x² + y² + z² = R²    centro (0,0,0)

CILINDRO

x = R cos theta

y = R sen theta

z = t

R e [0,m]

theta e [0, 2pi]

t e [0,m]

eq. cartesiana: x² + y² = R²

CONO

x = t cos theta

y = t sen theta

z = mt

t e R

theta e [0, 2pi)

IPERBOLE EQUILATERA: xy = K    K != 0

K > 0

K < 0

data una curva r(t) e chiusa? e semplice? e regolare?lunghezza di r parametrizzata da...?

esempio: r(t) = (t² cost, t² sent, t²)    t in [1,2]

chiusa se r(a) = r(b) ⇒ r(1) = (cos 1, sen 1, 1) ⇒ non e chiusar(2) = (4 cos 2, 4 sen 2, 4)

semplice se non si interseca⇒ nemmeno una delle compo i e iniettivavx e dom f(x₁) = f(x₂) solo se x₁ = x₂

⇒ t₁, t₂ in (1,2)    t₁ != t₂ ⇒ t₁² != t₂² ⇒ e semplice

regolare se:- r e di classe C¹ in [a,b]- r'(t) != 0   ∀t in (a,b)← le componenti non si annull. o contempor.r'(t) != 0 se |r'(t)| > 0

(puo essere regolare a tratti)

⇒ r'(t) = (2t cost - t² sent, 2t sent + t² cost, 2t)    r(t) in C¹([1,2])

|r'(t)| = √(4t² cos²t + t⁴ sen²t - 4t³ cost sent + 4t² sen²t + t⁴ cos⁴t + 4t³ sent cost + 4t²)= √(4t²(cos²t + sen²t) + t⁴(sen²t + cos²t) + 4t²)= √(8t² + t⁴) > 0    ∀t in [1,2]→ regolare

T(t) = r'(t) / |r'(t)| = (x', y', z') / √x'(t)² + y'(t)² + z'(t)² → versore tangente

lunghezza di una curva (solo se regolare)→ L(gamma) = ∫_a^b |r'(t)| dt

⇒ L(gamma) = ∫₁² √(8t² + t⁴) dt = ∫₁² t(8 + t²)^1/2 dt = 1/2 [ 2/3 (8 + t²)^3/2 ]₁² = 1/3 (2√12³ - 9√9)= 1/3 (24√3 - 9√9)

dato una funzione f(x) la curva e r(t) = (t, -(- t in [a,b]

forma polare -> r(θ) = (f(θ)cosθ, f(θ) senθ) θ in [θ₁, θ₂]

r'(θ) = (f'(θ) cosθ - f(θ) senθ, f'(θ) senθ + f(θ) cosθ)

|r'(θ)| = sqrt(f'(θ)² + f(θ)²)

g(x) = integral from θ₁ to θ₂ |r'(θ)| dθ = integral from θ₁ to θ₂ sqrt(f(θ)² + f'(θ)²) dθ

repolare se f(θ)² + f'(θ)² != 0

calcolare integral over gamma f ds dove f(x,y) = .... e gamma e paramet. da r(t)=...

esempio: integral over gamma f ds dove f(x,y) = 9 - x² - 4y² e gamma parametrizzato da r(t) = (cost, sent) t in [0, pi/2]

integral over gamma f ds = integral from 0 to b f(r(t)) |r'(t)| dt

r'(t) = (-sent, cost)

|r'(t)| = sqrt(sent²t + cos²t) = 1

f(r(t)) = 9 - cos²t - 4sen²t

integral over gamma f dt = integral from 0 to 2pi (9 - cos²t - 4sen²t) dt = ...

massa, baricentro, momento di inerzia?

m = integral over gamma rho ds = integral from a to b rho(r(t)) |r'(t)| dt

x̄ = 1/m integral over gamma x rho ds = 1/m integral from a to b x(t) rho(r(t)) |r'(t)| dt

ȳ = 1/m integral over gamma y rho ds = 1/m integral from a to b y(t) rho(r(t)) |r'(t)| dt

z̄ = 1/m integral over gamma z rho ds = 1/m integral from a to b z(t) rho(r(t)) |r'(t)| dt

S(x,y,z) = dist ((x,y,z), asse)

I = integral over gamma S² rho ds = integral from a to b S²(r(t)) rho(r(t)) |r'(t)| dt

• data la funzione f(x,y) determinare il dominio D e rappresnt e calcolare ?f(x0,y0)

esempio: f(x,y) = ln(4 - x² - y²) / ((y - 1) √x)

√f(1,0)

4 - x² - y² > 0

(y - 1) √x &#