Analisi 2: formulario ed esercizi

Formulario grandezze geometriche - Lunghezze, aree, volumi

Lunghezze (in R³)

Γ P t P(t) in R³ a ≤ t ≤ b

L = ∫_a^b |P'(t)| dt

∫_a^b √x'² + y'² + z'² dt

Forma parametrica

Forma cartesiana

{ y = g(x) z = z(x)

x = x x ∈ [a, b]

Parametro variabile di integrazione

In termini monomi in R²

L = ∫_c^b √1 + y'² + z'² dx

R² - Θ possibile considerare la forma polare

{ p(t) σ(t)

s σ-t Θ ρ-ρ(σ) parametro: σ

Diagramma delle figure (approssimazione monomorfo)

ds_s√ρ²σ' ² + ρ' ² dt = √ρ' ² + ρ² dΘ

Aree

In R²

α(T) = misura (T) = ∫_T 1 dT

Forma cartesiana

∫_a^b dx ∫_α(x)^β(x) 1 dy = ∫_d^c dy ∫_α(y)^Ψ(y) 1 dx

In polari

∫_Ψ^φ ∫₀^R(&igma;) ρ dρ

ρ-convessa

Formulario grandezze geometriche → lunghezze, aree, volumi

Lunghezze (in R³)

Γ P(t) P(t) in R² a ≤ t ≤ b

L = ∫_a^b |P'(t)| dt = ∫_a^b √(x'² + y'² + z'²) dt

Forma parametrica

Forma cartesiana

• Y = y(x) z = z(x)

x = x x ∈ [a, b] parametro variabile di integrazione

In termini monomi in R²

R² → è possibile considerare la forma polare

ρ(t) ρ(t)

s = s · t ρ = ρ(t) parametro: ϑ

Disegno della figura

dρ dt

ds = √(ρ'² dϑ² + dρ²) = √(ρ'² + ρ'²) dt

√(ρ² + ρ²) dϑ

Aree

In R²

a(T) = misura(T) = ∫ t dt = ∫_α(y)^β(x) dx ∫_α(x) dy

∫_c^d dy ∫_γ(y) dx

Forma cartesiana

In polare

∫_α^β dγ ∫ ρ(ϑ) pdϑdρ = ds T

ρ-convexa

Formule di Green

(Dominio sempre a sx)

∫₆ x dy - ∫₅ y dx + 1/2 ∫₆ x dy y dx

Quando sovrappongo vari seni e coseni

Esempi → circolare, raccordo

Quindi queste formule son utili quando P0 due è difficilmente descrivibile in forme cartesiane

Aree in R³

S: P:(u,v) x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v)

a(S) = misura(b) = ∫_S dS = ∫_B [P_xu + P_yv] dudv

a(S) = ∫_B √[(∂(x,y)/∂(u,v))² + (∂(y,z)/∂(u,v))² + (∂(z,x)/∂(u,v))²] dudv

Jacobiani

Coefficiente jacobiano (componenti lungo k)

Componente di 1

Componente di J

2 casi particolari:

S P:(x,y) = ?

σ(3): ∫_B √[1 + g_x² + g_y²] dxdy

∫_c a(t) √[x'² + y'²] dt

x = x(t) y = y(t)

c: a ≤ t ≤ b

Superficie cilindrica

Generatrici // asse z

Volumi (R³)

V(E) = ∫_α^β(t)1 dT ∫_α(t)¹ dz - integrazione per fili

V(E) = ∫_c^d dζ ∫_T(z) dT - integrazione per strati

V(E) = ∫_S ψ N dS

Momenti

Momento statico - M_x

M_x = ∫_Ω x dΩ

x_cm = _M/_misio(Ω) = ∫_Ω x dΩ / ∫_Ω dΩ

Momento di inerzia - J

Jasse: ∫_Ω δ² dΩ

Esercizi (da testi d'esame)

• È compresa tra le piane z = 0 e la sup. S z = β(x,y) (che si proietta su z>0 in definito delle rette y = x² + e della curva di equazione y = φ(x) x + y² = x³) Superficie di rotazione come l'asse x con l'etto di rotazione

(Regola)

π contiene in S che si proietta su ₁ ∫₀ √(1 + φ'(x) x²) ¹

Nel trovare il massimo derivata nulla

Calcolare gli elementi di lunghezza, di area di volume

Funzione ^∂β/_∂φ arco ab ^∂b/_∂φ messa statica su Γ

ℓ(α) = √∫₀¹(1 + φ(x)) dx

√∫₀¹ dx

ℓ(Γ) = √∫₀¹ (1 + φ'(x) + μ²(x)) dx

μ(x) = ∂x - 4ιx³/z/√x - x²

∫₀¹ (≤2-x²)/1-x² dx

Volume

V(E) = ∫₀ ¹ √(x² - y²) dt - ∫₀ ¹ dx ∫₀ ^x √(x² - y²) dy

(Ottenuto col metodo)

∫_r dt ∫₀ ^{√(r2 - y2)} d2

∫₀ ² x cos t dt

∫₀ ² d2

∫_x ^{arc sin x} ω t dt

y₄ = x² + x sin t

Solved: x → t = arc sin x

cos(arc sin x) = √(1 - x²)

sin(arc sin x) = x

t = arc sin x

cos t = √(1 - x²)

Area

a(t): ∫₀ ¹ dx ∫₀ ¹ dy - 1/6

a(5): ∫₀ ¹ √(x'² + y'²) dt . ∫₀ √(u + x'/x² - y, y²/x² - y) dt

∫₀ ¹ dx ∫_x ¹ -2x/(x² - y²) dy - 2/18

∫₀ ^k μ(x) ds

∫₀ √(x² - x⁴)(1 + 4x²) dx

Calcolare il momento statico rispetto all'asse x

A2 = ∫_r dt ∫_c -2 d2

Esercizi

• Tema d'esame giugno 2018

f(x,y) = 3x - x³ - xy

Q(1; √3) f(Q) = -1

Il grafico della superficie attraverso lo sviluppo in questo punto Q.

f_x(Q) = -3

f_y(Q) = 2/3

f_xx(Q) = -6

f_xy(Q) = -2/3

f_yy = -2

f_xyz = 0

x = 1 + h

y = √3 + k

h = Δx = x - 1

k = Δy = y - √3

Sviluppo di Taylor nelle vicinanze di Q

f_Q = -1 + (3h - √3k) + (1/2) (-6h² - 4√3 hk - 2k²) + (1/3!) (-6h³ - 6hk²) + o (ρ³)

ρ = √(h² + k²)

Suicidio sul piano tangente

β_Q = -1 + (3h - √3k)

Δβ_Q ≠ 0 - (3h² + 2√3 hk + k²) = - (3h + k)²

I segni di Taylor sono semplificazioni polinomiali.

Il segno di un polinomio è più facile da studiare.

Il segno di un'inflessioni è il segno delle parte principale.

Quindi per k ≠ √3 - Δβ è strettamente negativo (muovendosi lungo la direzione definita da h e k fissati ad altri valori)