Appunti Analisi 2 - seconda parte

Revisionato il 09/09/2026

di Giuliab17

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Questo pdf contiene la seconda parte del corso di Analisi 2, ovvero i seguenti macroargomenti (teoremi, dimostrazioni, definizioni, formule, metodi di svolgimento, esempi): funzioni definite …

Esame Analisi 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Vessella Sergio

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2021-2022

80 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Funzioni definite implicitamente

f: ₂ → , g 2 (R), g(x_,y) = 0

D è un insieme chiuso in Rad n decimato.

Ogni D aperto.

Quale è dimostrare di?

Esiste c max = {(x₀,y₀) ∈ D t.c. g(x₀,y₀) = max g

Se questo punto cade all'interno di D (quando soddisfa: x₀ e y₀=1) allora il gradiente si annulla: ∇f(x₀,y₀)={0,0}

Se in una situazione di max e min incontrato, quindi dobbiamo vedere cosa succede sulla frontiera.

max g^[a,b]

min g^[a,b]

Se con una funzione - e alcuni variabili non si trovano negli estremi di un intervallo, ma si ha una frontiera.

Teorema della funzione implicita (3.26 p.84)

y = g(x)

Forma esplicita.

y - g(x) = 0

Forma implicita.

Io ho: I (x,y) = 0

Esempio

x² + y² = 1

x² + y² - 1 = 0

∇f(x,y) = {y²,-x₀}

y = ^±1,; y² = x²

Foglium in Cartesio.

T (x,y) : x^y - y = x₀

Non posso trovare nessun grado splin - il che non mette / /asse y- questo vale incontrare il grafico in un solo punto.

Funzioni definite implicitamente

(24/03)

ℝⁿ → ℝ

f ∈ C²(ℝ)ⁿ

f(x, y) = 0

(x₀, y₀)

Se esiste il max = ∃(x₀, y₀) ∈ D t.c. g(x₀, y₀) = max_D g.

Se questo punto cade all'interno di D (quando localizzato: x₀, y₀, z₀+1) allora il gradiente si annulla: ∇f(x₀, y₀) = (0,0).

Sì ma una situazione di max è più rinuncente quindi dobbiamo vedere cosa succede sulla frontiera.

max g[a,b]

min g[a,b]

Con una funzione a più variabili non si lavora sugli estremi di un intervallo, ma si ha una frontiera.

Teorema della funzione implicita (3.26 p.84)

y = g(x)

Forma esplicita.

y - g(x) = 0

Forma implicita.

∃o h : f(x,y) = 0

f(x, y) = x² + y² - 12x + 2y

y' = 0

y' = - (x / y)

Foglium alla Cardano.

x³ + y³ - xy = 0

x y(x) + y² - xy = ± √1 - x²

y = x + y = xy = - x

Qui non posso vedere nessun grado primario, posso non vedere difficile y, questo sale incontrare il grafico in un solo punto.

Enunciato delle funzioni implicite

(29/03)

f ∈ C¹(A)

A insieme aperto di R²

(x_o, y_o) ∈ A t.c. f(x_o, y_o) = 0

Ipotesi:

∂f/∂y (x_o, y_o) ≠ 0

⇒ allora ∃ I_{x_o} ∃ J_{y_o} ∃ g: I_{x_o} → J_{y_o} t.c.

(g ∈ C²(I_{x_o}))

{ f(x, y) = 0 } ∩ I_{x_o} × J_{y_o}

{ f(x, y) = 0 } → grafico di g

g^'(x_o) = - ∂f/∂x(x_o, y_o)/ ∂f/∂y(x_o, y_o)

f(x_o, y_o) ≠ 0

Se sostituisco y = g(x) → f(x, g(x)) = 0

f(x, y) = y - g(x)

∂f/∂y(_, y) = 1 ≠ 0

f(x_o, y_o) = 0

f(x_o, y_o) ≠ 0

... − → se nel punto posso chiarire rispetto a y − x² ≠ 0 posso "tagliare" il grafico con la tangente e f(x, y) posso descrivere come f(x, y) = y − g(x)

(x_o, y_o)

Si può vedere il grafico della funzione.

(x_o, y_o)= 0

(c, φ)

Anche non ho da conclusione.

∂f/∂y(x_o, y_o) ≠ 0

x² + y² = r²

(c, φ) := 0

x = g(x) si influenza

φ(x, y)

φ(x_o, y_o) = 0

x = h(y)

Funzioni implicite e grafico locale

(29/03)

β ∈ c¹(A) se ϵ puncture si annulla nel punto

β(x₀, y₀) = 0 e se ∇β(x₀, y₀) ≠ (0,0)

Allora β(x,y) = 0 posso esprimere in un intorno del punto come grafico di una funzione rispetto alle variabile x o y.

Se ho β_x(x_o, y_o) ≠ 0 X = h(Y)

Se ho β_y(x_o, y_o) ≠ 0 y = β(x)

Se ho ∇β(x_o, y_o) ≠ (0,0) e β_r(x_o, y_o) ≠ 0 quando in un intorno posso “ritopulare” in rettangolo.

y = β(x)

y = y_o + ( _{2 β_{( x_o, y_o )}}/(∂y β_{x(x_o, y_o)}))(x - x_o)

∇β(x_o, y_o) ( x - x_o y - y_o ) = 0 → eq tangente

Nel caso in cui ∇β(x_o, y_o)) ≠

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