Federico II - Formato appunti universitari
Analisi matematica I
Riassunti ordinati, formule essenziali ed esempi svolti.
Pensato per studenti di Ingegneria - Università degli Studi di Napoli Federico II.
Limiti - Continuità - Derivate - Integrali - Successioni.
Appunti rielaborati per studio universitario. Ideali per ripasso rapido, preparazione esami scritti e recupero dei concetti base.
Analisi Matematica I - appunti universitari rielaborati pag. 2
Come usare questi appunti
Questi appunti sono costruiti per attirare l'attenzione di chi deve preparare Analisi 1: ogni sezione contiene definizioni essenziali, formule operative, esempi brevi e avvisi sugli errori più frequenti. Il taglio è universitario ma resta leggibile, adatto a studenti del primo anno di Ingegneria.
Indice dei contenuti
- Numeri reali, funzioni e dominio
- Limiti: forme indeterminate e metodi
- Continuità e teoremi fondamentali
- Derivate e studio di funzione
- Successioni e serie: idee base
- Integrali indefiniti e definiti
- Esercizi modello e checklist finale
Perché è vendibile
- Impaginazione pulita, leggibile anche da telefono e tablet;
- Formule in box separati, facili da fotografare o ripassare;
- Esempi svolti brevi, utili prima dello scritto;
- Linguaggio universitario ma non inutilmente complicato.
Nota etica: il materiale è originale e rielaborato. Non va presentato come dispensa ufficiale del docente o dell'università. Materiale originale di studio - non sostituisce libro, lezioni o dispense ufficiali.
Analisi Matematica I - appunti universitari rielaborati pag. 3
1. Numeri reali, funzioni e dominio
Analisi 1 parte dall'idea che una funzione collega una variabile indipendente x a un valore f(x). Prima di calcolare limiti, derivate o integrali bisogna sapere dove la funzione è definita: questo insieme si chiama dominio.
Regole rapide per il dominio
| Caso | Condizione da imporre | Esempio |
|---|---|---|
| Denominatore | Diverso da 0 | 1/(x-2): x != 2 |
| Radice pari | Radicando >= 0 | sqrt(x-3): x >= 3 |
| Logaritmo | Argomento > 0 | ln(x+1): x > -1 |
| Tangente | cos x != 0 | tan x: x != pi/2 + k*pi |
| Composizione | Tutte le condizioni insieme | ln(sqrt(x)-2): sqrt(x)-2 > 0 |
Formula mentale:
Dominio = tutti i valori di x che non rompono le operazioni presenti nella funzione.
Attenzione: nei logaritmi non basta mettere l'argomento diverso da zero. Deve essere strettamente positivo. Invece nelle radici pari il radicando può essere anche zero.
Esempio svolto
Trovare il dominio di f(x) = ln(x-1)/(x2-4). Le condizioni sono: x-1 > 0, quindi x > 1; e x2-4 != 0, quindi x != -2 e x != 2. Unendo le condizioni resta x > 1 con x != 2. Quindi D = (1,2) U (2,+infinito).
Per lo studio di funzione, il dominio è il primo filtro: se lo sbagli, tutto il resto rischia di essere sbagliato.
Materiale originale di studio - non sostituisce libro, lezioni o dispense ufficiali.
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2. Limiti: significato, forme e strategie
Il limite descrive il comportamento di una funzione quando x si avvicina a un valore, anche se in quel punto la funzione non è definita. Non interessa necessariamente il valore esatto della funzione nel punto, ma il comportamento vicino al punto.
Scrittura fondamentale:
limx -> a f(x) = L significa: quando x si avvicina ad a, f(x) si avvicina a L.
Forme indeterminate principali
| Forma | Perché è indeterminata | Strategia tipica |
|---|---|---|
| 0/0 | Numeratore e denominatore si annullano | Scomposizione, razionalizzazione, limiti notevo |
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