Analisi matematica 2 - preparazione per orale

Differenzialeth del.

ERocOFAcRYf A AR+: , , Ro& &Ic differenziabileinchedetivate Rinsupponiamo parzialiI continue insianoche le oli =De e..Dim : c dobbiamoYo)(Xo4 chedimostraree= , fy2X0AYo)(X Xo)fx(X0 40)Yo)(yY0)f(x0 -- --, ,lin , 0=x0)2 Y0)2(x (Y0)(x y] (0 +-> --, ,Scriviamo f(X y) f(X0f(xf(x y0)40) y0)f(X0 f(x Y0)y) +- --= ,, ,,, , [X0h(t)variabile X]f(tfunzione y0) tlaconsideriamo voladi unae -= , ,Essendo & oletivabile ad Iporispetto inparzialmente xx][xoh hiCt)detivabile fx(tin 4) =(X0= x) continuaquindie e=> e = ,, , (x)-2(x0)&Applicando 7x=(X0dire h'(x)Lagrange X)chepossiamo : =, X Xo-X)(Xo40)(Xfx(xda f(x xo) =c-f(x040) Y0) concui -= , ,, ,Analogamente (40 fx(XJe f(x -f(X4)cheoviene y) y0)y)(yY0)isyper -=, ,: ,, diref(xcui f(x0 fy(xfx(X 40)(X 40)che 5)(y-4) x0)40) di possiamoterremo perper :+- -, ,, ,=fy2X0 5)AYo)(X Xo)fx(X0 40) x0)fx(xYo)(yY0) fy2XYo)(Xf(x0 y0) x0) y0)(Xfy(X0fx(X0-- -- - -- -+, ,, ,, , , I=x0)2 Y0)2 x0)2(x Y0)2(Y (x (Y+ +-- --(fy2x=(fx(x 40)))xy0(x xo)5)xo)y) fx(x0 fy(x0-- -- ,, ,, +x0)2 x0)2Y0)2 Y0)2(x (x(Y (Y+ +-- --IX 14 VolXol -- chedall'essere =I e auremoe :x0)2 Y0)2x0)2 (xY0)2 (Y(x (Y ++ ---- fy2X0(X0 Yo)(X Xo)fx(X0 40)Yo)(yY0) -- -- (fy2x=(fx(x y0)))xyo)(x xo)0 , 5)xo)y0)= , fx(x0, fy(x0-- -A - ,, + ,,x0)2 Y0)2(x (Y+ -- (fy2x(fx(X y))(x40)lIx x0)5)-xolyo) fx(x0 fy2x0eimat (Xpassando 4) Siyo) cheoviene 0(Xo- - -- -,, + ,,, ,otteniamothdae dei tesilaCC=> .

Derivateth direzionali.

ARoeOFAcRYf A R+: , , direzione &=fammere Rof derivateRo qualunquesecondodirezionaliDIFFERENZABILESe ine in(10) (Tf(0) x)e = ,Dim : EcR² differenziabilefRo in40) Do(x2 xn)(X0 x essendo avremo= := =, ,,[f(x0 40)1 0((xfy2x0 40)2f(x Y0)(X x0)fx(X0 x0)2 (yy0)(yy)y) +- -+ + -- -,, ,, =(Xo+hdz hxz)Riscrivendola A hasii Yopunti +per =, x2)0(nfx(X0 fy(X0-hx2)f(x h240)hx2f(X0 240)hx140) x22x2 Yo + +- +- =, ,,, hadividendo membia 1heambo lim: passando at 0 sipen +perlim R(b) fx(Xo Yo)de+fy(Xo X<VfCRo) dYo) xz Vc= = . .,, .,h 0-

Il graficopendenzaindividua direzionegradiente la di delmaxfunzioniderivazione delle composteth di.

92(t))IcAcR² supponiamo(92(t)IAf R g(I)cAM g(t)-:g: + == ,,,f f(ge(t)I-1R FCt) yz(t))F f(g(t)) It:composta conSaza ==> = = ,,chesupposto : I1) -1differenziabile toe in differenziabileg [Vf(g(to))to g'(tol>F(t)inF e e=> = ,f2) differenziabile ine Ro g(to)=Dim : (III-Rollf(R)