Analisi matematica 2 - La chiave segreta per il successo accademico

Funzioni a due variabili

Indice

• Funzioni a due variabili p.2
• Derivata direzionale p.3
• Continuità, derivabilità, differenziabilità p.4
• Punti stazionari p.6
• Punti di minimo e massimo vincolati p.8
• Curve di livello p.11
• Limite a due variabili p.12
• Serie di funzioni p.13
• Serie di potenze p.15
• Integrali doppi p.19
• Integrali tripli p.23
• Funzioni a due variabili p.2
• Derivata direzionale p.3
• Continuità, derivabilità, differenziabilità p.4
• Punti stazionari p.6
• Punti di minimo e massimo vincolati p.8
• Curve di livello p.11
• Limite a due variabili p.12
• Serie di funzioni p.13
• Serie di potenze p.15
• Integrali doppi p.19
• Integrali tripli p.23
• Equazioni differenziali p.27
• Problema di Cauchy p.30
• Equazioni differenziali lineari (1 ordine) p.32
• Equazioni differenziali lineari (2 ordine) p.33
• Integrali di linea e le curve p.38
• Integrali curvilinei p.42
• Forme differenziali p.43
• Funzioni implicite p.48
• Formule di Gauss-Green p.50

Funzioni a due variabili

Funzioni a due variabili d(x, y) = z x ∈ ℜ → ℜ (x, y) → z

Esempi: d(x, y) = x² - xy + yz d(0, 0) = 0 - 0 + 0 = 2 d(1, 0) = 1 - 0 + 0 = 3

Come determinare il dominio di una funzione a due variabili?

d(x, y) = x² + y²/3 ≥ x² = ℜ³

d(0, y) = -√(5 - x²)²

d(x, y) = log(1 - x²)

d(x, y) = x²/_{x² - y}, x² - y ≠ 0

d(0,0) = x_{x < y}√_{x² - x} = x²/y² - 2

d(x, y) = arco_{x² + y² = 1}

d(x, y) = log |y||x| ≥ 0 |y| < 0 x² - y² ≤ 0

Posso calcolare la funzione nei punti interni e nelle funzioni d(0,0) = 0 + 0 ≤ 0 - x² < c

Derivata direzionale

Derivata direzionale (,) ∆⊆ℝ²= (₀,₀) ∈ ∆̅ =(,)̂+̂̅̅ = (/‖̅‖₂ /‖̅‖₂)̅_ℎ = ̅_ℎ = (,)= (,) ≠ (,)(,) ≠ (,)[₁′](,)=?̂,̂ −‖̅‖= √2_ℎ→∞|ℎ ̂ ̂| ℎ₂ ∉ ℝ

‖̅‖ = 1+0 = √1 = 1 ‖̅‖ = 0+1 = √1 = 1

(,) = ² ₂(,) =̅ =(o,1)(_{0,0) = ∂(0,0)}(² + 4)₁′(₀,₀)

Continuità, derivabilità, differenziabilità

Continuità, derivabilità, differenziabilità considerando J(x)x = x₀ J(x, y)(x₀, y₀) x = x₀

Derivabile continua derivabile J(x, y)(x₀, y₀) J(x, y) = { x²/y(x, y) ≠ (0,0) 0(x, y) = (0,0)

J'(0,0) = lim h→0 J(0,0+h) - 0 lim h→0 h²/h h→0 (o+h)0/h = lim{(h+h)0/h = 0 h→0 lim h→0 0 = o

lim k→0 J(0,k) - 0 lim k→0 -k/(0²+k²)k lim k→0 -k/(0²+k²)k = 0 lim k→0 0 = o

lim x→0, lim x→0 y→0 lim x→0,y→0 lim y→0 x→0 lim y→0 x²/x²+k²

lim x→0 y→0 lim y→0 x→0 lim x→0 lim x→0 lim x→0 lim y→0 x_x = x_x y_x = x_x

lim x→0 y→0 lim y→0 lim x→0 lim 1 = 0 lim x→0 x/(0²+y²)

J'(0,0) = lim k→0 J(h,k) - 00 - 0 J(0,0+k)0 - 0 x/(0²+h²)h lim y→0 -k {h,k, x∈R₂} P = (x