Analisi matematica 1 - Teoremi fondamentali per l'esame

Teorema fondamentale dell'algebra

Prima di enunciarlo servono 2 definizioni.

Radice di un polinomio

Radice di un polinomio: dato un polinomio a coefficienti reali o complessi, si può dire che a ∈ ℂ è una sua radice (o un suo zero) se il polinomio si annulla in x = a.

a radice di p(x) ⇔ p(a) = 0

Molteplicità di una radice

Molteplicità di una radice: dato un polinomio a coefficienti reali o complessi e sia n > 1 un numero naturale, si dice che a è una radice di p(x) con molteplicità n ⇔ p(x) divisibile per (x-a)ⁿ ma non per (x-a)ⁿ⁺¹.

Ora possiamo trattare del teorema fondamentale dell'algebra:

Ogni polinomio a coefficienti reali o complessi, di grado maggiore o uguale a 1, ammette almeno una radice complessa.

Conseguenze

Ricordando che ℂ è un campo, e che un campo si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio a coefficienti nel campo ammette almeno una radice appartenente ad esso, per il teorema fondamentale dell'algebra si può dire che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso.

Corollario: ogni polinomio a coefficienti reali o complessi di grado n ammette in ℂ esattamente n radici, ciascuna contata con la sua molteplicità.

Radici di un polinomio di grado n

Quindi, perché le radici di un polinomio di grado n sono al massimo n? Ruffini dice che ogni volta che troviamo una radice x₀ del polinomio, per Ruffini possiamo mettere in evidenza (x-x₀) e quindi P₁(x) = (x-x₀) ⋅ Q₁(x) di grado n-1.

e si continua... P₂(x) (x-x₁)(x-x₂) ⋅ Q₂(x) di grado n-2.

fino ad arrivare a P_n(x) = (x-x₁)...(x-x_n) Max n radici quindi.

Formula di Eulero

Formula di Eulero:

e^iθ = cos θ + i sen θ

e^i⋅π+1 = -1

z = a + ib

z̅ = a - ib

|z| = √(a²+b²)

z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρ e^iθ

z̅ = ρ e^-iθ

P = ρⁿ e^iθ = ρ¹(cos nθ + i sin nθ) Vertici di un poligono regolare a n lati.

Teorema fondamentale dell'algebra

Prima di enunciarlo servono 2 definizioni.

Radice di un polinomio

Radice di un polinomio: dato un polinomio a coefficienti reali o complessi, si può dire che a ∈ ℂ è una sua radice (o un suo zero) se il polinomio si annulla in x = a.

a radice di p(x) ⇔ p(a) = 0

Molteplicità di una radice

Molteplicità di una radice: dato un polinomio a coefficienti reali o complessi e sia n ≥ 1 un numero naturale, si dice che a è una radice di p(x) con molteplicità n ⇔ p(x) divisibile per (x-a)ⁿ ma non per (x-a)ⁿ⁺¹.

Ora possiamo enunciare il teorema fondamentale dell'algebra:

Ogni polinomio a coefficienti reali o complessi, di grado maggiore o uguale a 1, ammette almeno una radice complessa.

Conseguenze

Ricordando che ℂ è un campo, e che un campo si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio a coefficienti nel campo ammette almeno una radice appartenente ad esso, per il teorema fondamentale dell'algebra, si può dire che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso.

Corollario: ogni polinomio a coefficienti reali o complessi di grado n ammette in ℂ esattamente n radici, ciascuna contata con la sua molteplicità.

Radici di un polinomio di grado n

Quindi, perché le radici di un polinomio di grado n sono al massimo n?

Ruffini dice che, ogni volta che troviamo una radice x₀ del polinomio, nel polinomio si può mettere in evidenza (x-x₀) e quindi P(x) = (x-x₀)q₁(x) se si continuasse, P(x) = (x-x₁)(x-x₂)(x-x_n)...q_n-2(x) fino ad arrivare a P(x) = (x-x₁)...(x-x_n) bl Max n radici quindi.

Formula di Eulero

Formula di Eulero:

< = cos Θ + i sen Θ = e^iΘ + 1 = Θ <z = a + ib   z = a - ib   |z|² = a² + b²   z = ρ (cos Θ + i sen Θ) = ρ e^iΘ2^<sub>